Диаграммы Эйлера-Венна

Тема: Диаграммы Эйлера- Венна.

Вспомним операции над множествами на примере:

Вычислить указанное множество, если
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}, A={1;2;3;4;7;9}, B={3;4;5;6;11;12;13}, C={2;3;4;7;8;12;13;14}, D={1;7;14}

I вариант: \;

II вариант: ;

III вариант: ;

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Круги были изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Леонард Эйлер (1707 - 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) —математик, механик, физик. Адъюнкт по физиологии, профессор физики, профессор высшей математики, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Джон Венн (1, английский логик. Работал в области логики классов, где создал особый графический аппарат (так называемые диаграммы Венна), нашедший применение в логико-математической теории «формальных нейронных сетей». Венну принадлежит обоснование обратных операций в логическом исчислении.

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры. Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии:

Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости. Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств и называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера-Венна заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Основные операции над множествами:

1) 2) 3) А\В; 4) В\А; 5) .

Пример 1. Представить множестводиаграммой Эйлера–Венна.

Построим общую диаграмму, показанную на рис. 2.8,а. Прямоугольник – универсальное множество U. Круги – множества A, B, C.

Рисунок 1.1 – Диаграммы к Примеру 1

Заштрихуем В диагональными линиями в одном направлении, а – в другом (рис. 2.8,б). Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество. Выделим это множество цветом. На новой копии диаграммы заштрихуем эту область линиями одного направления,a A — другого. Вся заштрихованная на рис. 2.8,в область представляет объединение множествА и, т.е. множество.Выделим эту область цветом.

Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграмм Эйлера–Венна справедливость соотношения

.

Это свойство дистрибутивности слева операции пересечения относительно объединения .

Пусть U= {а,b,с,d,e}.

А= {а,b},В= {а,с,d},С= {b,с,d,e}.

Для левой части равенства получаем

= {a, b}({а,с, d}{b, с, d, e}) = {a, b}{а, b, с, d, е}= {а, b};

для правой части равенства имеем

=({a, b}{а, с, d})({a, b}{b, с, d, e}) = {a}{b} = {a, b}.

Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают.

Построим теперь диаграммы Эйлера–Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 2.9,а, правая – на рис. 2.9,б. Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей рассматриваемого соотношения.

На примере задач:

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий.  Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество школьников, изучающих английский ("А");

• множество школьников изучающих французский ("Ф");

• множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0: 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1: 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0: 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1: 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0: 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1: 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0: 8-х школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600.  600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три: 

• множество задач по алгебре ("А");

• множество задач по геометрии ("Г");

• множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0). 

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1: школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0: школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1: 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0: школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1: 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0: 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1: 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

U=1000.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

x=1000-900=100. 

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.