Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера – Венна.

Повторим:

2. Обозначение операций:

1. Операции над множествами:

• А∩В
• Ā
• А\В = А∩
• АUВ

• 1 - объединение
• 2 - пересечение
• 3 - дополнение (отрицание)
• 4 - дополнение (разность)

Сопоставьте вопросы левого столбца ответам правого столбца:

1. А∩А=А и А∪А=А

2. А∩В=В∩А и В∪А=А∪В

3.

4.

5. А∩(В∩С)=(А∩В)∩С и А∪(В∪С)=(А∪В)∪С

6. А∩(В∪С)=(А∩В)∪(А∩С) и А∪(В∩С)=(А∪В)∩(А∪С)

7.

8. А∪(А∩В)=А и А∩(А∪В)=А

1. закон идемпотентности

2. закон ассоциативности

3. закон склеивания

4. закон Моргана

5. закон дистрибутивности

6. закон поглощения

7. закон двойного отрицания

8. закон коммутативности

А∩Ā = U; А∩Ā = Ø; Ū = Ø; А∩U = A; A∩U = U; AUØ = Ø; ᴧ - знак дизъюнкции; ν – знак конъюнкции;

• В левый столбец выбрать верные высказывания

• В правый столбец выбрать не верные высказывания

• Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера-Венна .

• Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству.И точками вне круга, если они не принадлежат множеству.

• Основные операции над множествами
• – объединение,

• - пересечение,

• - дополнение(разность)

• – дополнение

могут быть проиллюстрированы

диаграммами Эйлера-Венна.

• С помощью диаграммы Эйлера-Венна изображена операция А∩В=А
• диаграмма Эйлера-Венна изображает разность А-В в случае когда множество В включено в множество А.

Примеры:

Примеры:

• диаграмма Эйлера-Венна отображает следующую операцию над множествами:

- (А∩В)∪(А∩В∩С)

- (А∩С)∪(А∩В∩С)

- (А∩С)∪(А∩В)

Закон дистрибъютивности

• объединения множеств относительно пересечения А∪(В∩С)

пересечения множеств относительно объединения А∩(В∪С)

Задача №1:

На трех станках должны пройти обработку 80 деталей.

Известно, что

• 10 из них были обработаны на всех трех станках,
• 20 только на первом и втором,
• 5 только на первом и третьем,
• 15 только на втором и третьем.

Определить, сколько деталей было обработано только на одном станке, если известно:

• 1) что на каждом из станков было обработано одинаковое число деталей;
• 2) детали, обрабатываемые на втором станке, обязательно проходили обработку на первом или на третьем станке.

Определить также, все ли детали прошли обработку хотя бы на одном из станков?

Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А, на втором через В, на третьем через С.

Число деталей, обработанных на трех станках, есть число элементов множества и равно 10. Только на первом и втором станках прошли обработку 20 деталей. Помещаем эту цифру в соответствующее множество. Аналогично проставляем цифры 5 и 15 из условия задачи.

Число деталей, прошедших обработку только на первом станке, обозначим через X, на третьем через У, только на втором через Z.

Решение:

Х

20

Z

10

5

15

У

Из условия задачи Z = 0. Число деталей, обработанных на каждом из станков одинаково, следовательно,

X + 20 + 10+ 5 = У + 15 + 10 + 5 = 20 + 10 + I5 + 0. Получаем систему двух уравнений c двумя неизвестными. Отсюда определяем Х = 10; У = 15.

Следовательно, только на одном станке (первом, втором или третьем) прошли обработку Х + У + Z = 25 деталей;

Хотя бы на одном станке обработано 10 + 20 + 10 + 5 + 15 + 15 + 0 = 75 деталей.

Следовательно, 80 – 75 = 5 деталей не были обработаны ни на одном из станков.

Задача №2: Лекции по экономике посещают 20 студентов, по математике – 30. Найти число студентов, посещающих лекции по экономике или математике, если

• а) лекция проходят в одно и то же время;

• б) лекции проходят в разные часы и 10 студентов слушают оба курса.

• Решение:

(Х∩У)U(У∩Z)

Задача №3

Выпишите операции над множествами по диаграммам Эйлера-Венна.

Самостоятельно: Выпишите операции над множествами по диаграммам Эйлера-Венна.

1 вариант:

2 вариант:

Домашнее задание

• С. 42 №2
• С. 43 №5
• С. 44 №12
• С. 45 №22,23
• С. 46 №25