Дифференциалдык теңдемелер жөнүндө түшүнүк

Дифференциалдык теңдеме жөнүндө түшүнүк

Табият таануунун жана жаратылыштын закондорун окуп үйрөнүүдө эң оболу алардын математикалык модели түзүлөт. Мисалы, физиканын, техниканын, биологиянын, экономиканын ж.б. тармактардын маселелерин чыгарууда, адегенде ал тармактардын закондорунун негизинде, берилген маселенин моделин түзүп алабыз. Айрым учурларда, ал математикалык модель белгисиз функцияны, анын аргументтерин жана туундуларын кармаган функция болот. Мындай теңдемелер дифференциалдык теңдемелер деп аталат. Ушуга байланыштуу дифференциалдык теңдемелерди чыгаруу, бирден бир зор маанидеги математикалык маселе болуп саналат.

Дифференциалдык теңдеме деп, бир же бирден көп өзгөрүлмө чоңдуктардан көз каранды болгон белгисиз функцияны жана анын туундуларын кармаган теңдемени айтабыз. Ал эми теңдемени канааттандарган функциялар дифференциалдык теңдеменин чечими деп аталат.

Дифференциалдык теңдеменин чечимин табуу аны интегралдоо, ал эми чечиминин графиги – интегралдык ийри деп аталат.

Биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдемени жалпы учурда

(1)

көрүнүшүндө жазууга болот.

Эгерде (1) теңдемени биринчи тартиптеги туундуга карата чечүүгө мүмкүн болсо, б.а.

(2)

анда аны туундуга карата чечилген биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдеме деп атайбыз.

Эгерде изделүүчү функция бир гана өзгөрмөдөн көз каранды болсо, анда теңдеме кадимки дифференциалдык теңдеме деп аталат. Эгерде изделүүчү функция эки же андан көп өзгөрмөлөрдөн көз каранды болсо, анда теңдеме жекече туундудагы дифференциалдык теңдеме деп аталат. Дифференциалдык теңдемедеги белгисиз функциянын туундусунун эң жогорку тартиби, ал дифференциалдык теңдеменин тартиби деп аталат.

Мисал. - биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдеме,

- экинчи тартиптеги дифференциалдык теңдеме,

- үчүнчү тартиптеги дифференциалдык теңдеме деп аталышат.

Биз негизинен (2) көрүнүшүндөгү кадимки дифференциалдык теңдемелерди карайбыз. Көп учурда кадимки деген сөз айтылбай калат да, жөн эле дифференциалдык теңдеме деп аталат.

(1) теңдме ( x, y ) чекитинин координаталары менен ушул чекитке интегралдык ийриге жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффиценти менен байланышты түзөт.

Демек, (2) дифференциалдык теңдемене Oxy тегиздигиндеги багыттардын талаасы берет. Биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдеменин геометриалык мааниси ушундай.

Ийринин бардык чекиттеринде багыттар талаасы бирдей болсо, анда ал ийрини изоклина деп атайбыз. Изоклиналардын жардамында жакындаштырылган түрдө интегралдык ийрилерди тургузууга болот. десек, изоклинанын теңдемесин алсак болот, б.а. .

Мисал. Изоклиналардын жардамында теңдемесинин интегралдык ийрилеринин графигин чийгиле.

Чыгаруу: Бул теңдеменин изоклиналарынын теңдемеси б.а.

Oxy огуна параллель болгон түз сызыктары болот. Түз сызыктардын чекиттеринде Ox огу менен a бурчтун түзө тургандай кылып багытка ээ болгон кесиндилерди жүргүзөбүз. Туундунун геометриялык мааниси боюнча бурчтун тангенси С га барабар болуш керек: .

С га ар кандай маани берип көрөбүз:

С = 0 болгондо x = 0 болот, анда tga = 0, ошондуктан a = 0;

алдык. Бул изоклиналарда Ox огуна белгилүү бурч менен бир топ багыттуу кесиндилерди жайгаштырып, алардын багыты боюнча ийрилерди тургузабыз. Алар параболалардын көптүгүн берет.

Жалпы учурда дифференциалдык теңдемени интегралдоо чексиз көп чечимдерге алып келет (алар бири биринен турактуу гана чоңдукка айырмаланат). Мисалы, теңдемесинин чечими функциясы болот жана ошондой эле

функциялары да чечим болот. Жалпылап айтканда, чечим

түрүндө болот.

Дифференциалдык теңдеменин конкреттүү чечимин алуу үчүн изделүүчү функция кандайдыр бир кошумча шартты канааттандырыш керек.

Эгерде болгондо функциясы берилген маанисине барабар болсо, б.а. болсо, анда баштапкы шарт берилди деп эсептейбиз. Баштапкы шарт

түрдө жазылат.

Каалаган турактууну кармап турган функциясы биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдеменин жалпы чечими болушу үчүн:

1. Ар бир С нын фиксирленген маанисинде функциясы дифференциалдык теңдеменин чечими болушу керек.

2. (3) баштапкы шартты канааттандыра тургандай С турактуу чоңдугунун конкреттүү маанисин табууга мүмкүн болуш керек.

Биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдеменин жекече чечими деп, жалпы чечиминен С турактуу чоңдугунун конкреттүү маанисинде алынган функцияны айтабыз.

Эгерде дифференциалдык теңдеменин жалпы чечими айкын эмес түрдө табылса , б.а. Ф көрүнүшүндө болсо, анда мындай чечим дифференциалдык теңдеменин жалпы интегралы деп аталат. Ал эми Ф барабардыгы тендеменин жекече интегралы деп аталат.

Геометриялык жактан функциясы Oxy тегиздигиндеги интегралдык ийрилердин көптүгүн берет, ал эми функциясы бул көптүктүн чекити аркылуу өтүүчү бир ийриси болот.

(2),(3) маселеси Кошинин маселеси деп аталат.

Теорема. Эгерде (2) теңдемедеги функциясы жана анын туундусу чекитин камтыган кандайдыр бир D областында үзгүлтүксүз болсо, анда (3) баштапкы шартты канааттандырган жалгыз функциясы жашайт.

Бул теореманын геометриялык мааниси төмөнкүдөй: чекити аркылуу дифференциалдык теңдеменин жалгыз интегралдык ийриси өтөт.