Дифференциалдык теңдемелерди түзүүгө алгоритм

УДК

Мектеп математикасында дифференциалдык тендемелерди түзүүгө жана аларды чыгарууга үйрөтүү

Дуйшеналиева У.Э. – ага окутуучу, ТалМУ,

е-mail:uruma77@mail.ru

Аннотация: Макалада мектеп математикасында дифференциалдык теңдемелерди окуп өздөштүрүү үчүн теңдемелерди түзө билүү, маселени чыгара билүүгө үйрөтүүнүн маанилүүлүгү каралган. Дифференциалдык теңдемелерге келтирилүүчү маселелерди чыгаруудагы аткарылуучу кадамдардын удаалаштыгы берилген. Маселенин дифференциалдык моделин түзүүгө жана аларды чыгарууга мисалдар келтирилген.

Аннотация: В статье рассматривается важность обучения составления уравнений и решения задач для освоения дифференциальных уравнений в школьной математике. Задана последовательность выполняемых шагов в решении задач приводящихся к дифференциальным уравнениям. Приведены примеры на составления дифференциальных моделей задач и их решения.

Annotation: In article the concept political elite from the point of view of science also mentoring to governors on the example of work Zhusupa Balasagyn is stated.

Ачкыч сөздөр:Саясий элита, “Куттуу Билим” чыгармасы, өлкөдөгү саясий элита, башкаруучуларга арналган накыл сөздөр.

Ключевые слова: Политическая наука, труд “Благодатное знание”, политическая элита страны, наставничество в адрес правителей

Key words: Political science, the work "Fertile Knowledge", p

Дифференциалдык теңдемелерди окутууда теориялык материалды жакшы өздөштүрүү үчүн теңдемелерди түзө билүү жана маселелерди чыгаруунун ролу чоң. Мындай маселелерди чыгаруудагы аткарылуучу кадамдардын удаалаштыгы:

1-этап. Тамгалык белгилеништер менен дифференциалдык тендемелерди түзүү;

2- этап. Тиешелүү дифференциалдык теңдемени чыгаруу жана тамгалык чечилишти алуу, ал чыгарылышты анализдөө;

3- этап. Чыгарлыштын сандык жообун алуу, б.а. экинчи этапта алынган формулаларга сандарды коюу.

Биринчи этапта дифференциалдык тендемелер тилинде кубулуштардын математикалык жазылышы табылат. Бул этап так математикага тиешелүү болбойт, бирок реалдуу кубулуштарды изилдөөдө эң негизги кадам болуп саналат.

Экинчи этапта алынган дифференциалдык тендемелерди чыгаруу үчүн математикалык анализди колдонушат. Биринчи эки этапта маселенин сандык берилиштерин колдонуу өтө татаал жана кийинки чыгарылуучу анализ үчүн туура эмес болуп калат. Эгерде маселеде кээ бир же бардык чоңдуктардын тамга аркылуу белгилениши болбосо, анда аларды киргизүү талап кылынат. Себеби алынган маселенин жообунун тууралыгын билүү керек.

Үчүнчү этапта формулаларга берилген маанилер коюлат.Эсептөөлөрдү маселенин шартында берилген тактыкта жазуу керек.

Маселе. Каалагандай чекитине жүргүзүлгөн жаныманын координаталар окторунун арасына камтылган бөлүгү, ошол жануу чекитинде тең экиге бөлүнө тургандай болгон ийри сызыкты тапкыла.

Бул маселени чыгаруу үчүн изделген ийри сызыкта жатуучу каалагандай М(х,у) эрктүү чекитин алалы. Ал ийри сызыктын тендемесин y=f(x) М(х,у) чекитинде ийри сызыкка жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффициенти болору белгилүү. Экинчиден ал бурчтук коэффициент ушул М(х,у) АВ кесиндисинин дал ортосунда жатышы керек деген шарттан табылышы зарыл.

МА=МВ

ОАВ жана NMB үч бурчтуктарынын окшоштуктарынан ON=NB=x

Мына ошондуктан

tg =-

б.а. болот. Мында дагы биз издеген у функциясы менен анын туундусун жана көз каранды эмес х өзгөрмөсүн байланыштырган дифференциалдык теңдемеге ээ болдук. Бул теңдемени функциялары (мында С- каалагандай турактуучоңдук) канааттандыра тургандыгын көрүүгө болот.Чындыгында эле
; дагы ка барабар, мына ошондуктан болот.

Ошентип, каралып жаткан маселедеги шартты канааттандыра турган чексиз көп ийри сызыктарды табууга болот, алар тен жактуу гиперболалардын жыйыны болуп, координата октору ал гиперболаларга асимптоталар болушат. Бул чексиз гиперболалардын ичинен белгилүү бир чекиттин координаталарын канааттандырган чыгарылышын бөлуп алуу керек болсун. Мисалы М(1,2) чекитин алалы. Анда С турактуу чоңдугунун С=С₀ маанисин 2= деген шарттан табабыз, мындан С₀=2 экендигин алабыз. Натыйжада чексиз көп гиперболалардын ичинен М(1,2) чекити аркылуу өткөн гиперболанын теңдемеси болот жана жогорудагы дифференциалдык теңдеменин чыгарылышы болот.

түрүндөгү дифференциалдык теңдемелер. Радиоактивдүү ажыроо

Радиоактивдүү ажыроонун негизги закону атомдордун жалпы санынан көз каранды болбогон каалагандай фиксирленген кичине убакыт аралыгында ажыраган атомдордун санынын ошол убакыттын баштапкы моментинде болгон атомдордун жалпы санына болгон катышында турат. Радиоактивдүү ажыроо ядролордун ажыралышын түшүндүрөт, ал эми заттын кадимки абалында ядролор бири-бири менен аракеттенишпейт, электрондук кыртыштары гана өз ара аракеттенишет. ушул себептүү каралып жаткан атомдун ажыроосу атомдордун санынан көз каранды болот. кичине убакыт аралыгында ажыраган атомдордун саны га пропорционалдуу. y(t) аркылуу убакыттын t моментинде ажырабаган заттын массасын белгилейли. убакыт аралыгында y(t)-y(t+ активдүү ажыроонун негизги законун төмөндөгүдөй жазууга болот:

.

Бул барабардык канчалык кичине болсо , ошончолук тагыраак болот. Мындагы коэффициенти турактуу жана берилген затты мүнөздөйт: убакыт бирдигинде ( бирдик өтө кичине деп алынат) жеке бир атомдун ажыроосунун ыктымалдыгына барабар. Табылган катышты - га бөлүп жана y(t) га көбөйтүп, төмөнкүчө жазып алууга болот:

. болгондо жогорудагы болжол барабардыктын маанисинин тактыгы өскөндүктөн, пределге өтүү менен радиоактивдүү ажыроонун дифференциалдык тедемесин берген так барабардыкты алабыз. , (1)

Эрктүү түрдө (1) теңдемеси үчүн баштапкы шартты билдирген заттын баштапкы санын берүүгө болот.

у(0)=у₀ (2)

Эгерде (1) теңдемеси (2) шарты менен жалгыз чыгарылышка ээ болсо, анда каралуучу процесс туура сүрөттөлгөн деп эсептөөгө болот.

у(0)=у₀ шарты коюлган (1) тендемесин чыгаралы. Кандайдыр бир интервалында y(t) болот. (1) тендемесин y(t) функциясына бөлүп, барабардыгын алабыз. Татаал функцияны дифференцирлөөнүн эрежесинин жана формуласынын негизинде теңдемени түрүндө жазууга болот. Бир эле функциянын эки баштапкы функциясы бири-биринен турактуу санга гана айрымалангандыктан , же y(t)= , мында С _. маанисин коюп, С= у₀ экендигин алынат жана акыркы жыйынтыгында

y(t)= у₀ (3)

Эгерде у₀ болсо, (2) баштапкы шартын канааттандырган (1) теңдемесинин чыгарылышы (3) түрүндө болот. Эгерде у₀ болсо, y(t) функциясын (-у₀) баштапкы шарты ошол эле тендемени канааттандырган -y(t) функциясын кароого болот. Мындан (3) формуласы кайрадан алынат.

у₀ учурун карайлы. Физикалык маселеде бул учурда болот ( эгерде эч кандай зат болбосо, анда ажыроодо эч нерсе калбайт дегенди түшүндүрөт). Бирок (2) баштапкы шартын канааттандырган (1) теңдемесинин чыгарылышы жөнүндөгү математикалык маселеде у₀ болгон учурда чыгарылышы болушу мүмкүн. Мындай чыгарылыш жок экендигин далилдөөгө болот. Мындан ары физикалык маселеде бардыгы айкын түшунүктүү болсо, математикалык негиздерди эске албоого болот.

функциясын y(t)= z(t) түрүндө жазып алууга болот. Мында z(t)=const болушу керек. Мындай түрдөгү жазуу жаңы z(t) өзгөрмөсүн киргизгендигибизди түшүндүрөт. y(t)= z(t) (1) теңдемесине коёбуз. Көбөйтүү үчүн дифференцирлөөнүн эрежесин колдонуп, +(- ) =- . Мындан =0 жана б.а. z(t)=С=const, бул y(t)= С экендигин түшүндүрөт. Жеке учурда , эгерде у(0)= у₀=0 болсо, анда (1) тендемесинин жалгыздыгы далилденди.Алынган формулалардын негизинде коэффициентинин маанисин аныктайлы.Заттын радиоактивдүү ажыроосун мүнөздөөчү Т жарым ажыроосунун мезгилин киргизели. у₀ = , же , мындан Т= , же = алынат. Чыгаруу үчун формула төмөнкү түргө келет:

у= у₀ у₀ = .

Демек , мында Т- жарым ажыроонун мезгили.

Жарым ажыроонун эң маанилүү мезгилдерин көрсөтөлү: Т_u=4,5 10⁹- өтө кеңири таралган ²³⁸U урандын изотобунун жарым ажыроо мезгилинин чоңдугу; T_Ra=1600 жыл. ¹⁴С углероддун радиоактивдүү изотобу үчүн жарым ажыроо мезгили =5700 жыл. Бул изотоп казылып алынган организмдердин жаш курагын радиокөмүртектүү методдун жардамы менен аныктоо үчүн колдонулат. Бул изотоп тирүү организмге гана кирет, тирүү организмдеги ¹⁴С изотобунун саны менен изилденүүчү казылып алынган үлгүдөгү ушул изотоптун санын салыштырып, ал үлгүнүн болжолдуу жашын аныктоого болот.

түрүндөгү дифференциалдык теңдемелер. Суунун агып чыгуусу

Эксперименттик факт катары өтө чоң эмес тешик аркылуу суунун агып чыгуу ылдамдыгы , мында - эркин түшүүнүн ылдамдануусу, - суу агып чыгуучу тешиктин үстундөгү суунун деңгээлинин бийиктиги. Мында - өзгөрмөсүнүн функция экендигин белгилей кетели, демек суунун агуу ченемине жараша агып чыгуу ылдамдыгы азаят. Эгерде энергиянын сакталуу законунан үчүн формуланы чыгарууга аракет кылсак, анда алынат. Ал эми 0,6 коэффициенти илээшчектик бар болгондугуна байланыштуу.

Суунун агып чыгуусунун дифференциалдык тендемесин түзөлү. - тешиктен жогору бийиктигинде түтүктүн кесилиш аянты, бийиктиги суунун агып чыгуусун сүрөттөөчү убакыттан функция болсун. дан га чейинки убакытта бийиктик (терс сан болот) чоңдугуна өзгөрөт, ал эми агып чыккан суюктуктун көлөмү болжолдуу түрдө . Башка жагынан алып караганда суу агып чыгуучу тешиктин кесилиш аянты убактысында кесилиштүү жана бийиктиктүү цилиндрден чыккан суунун көлөмүндөй суу агып чыгары айкын көрүнүп турат. нын кемиши менен үчүн эки формуланын тууралыгы жогорулайт. үчүн табылган туюнтмаларды барабарласак, алынат. Эки жагын га бөлүп жана умтулгандагы пределге өтүү менен төмөндөгү формулалар алынат:

• же

Төмөндөгүдөй конкреттүү маселени чыгаралы: Цилиндрдин багынын бийиктиги 2 м жана негизинин диаметри 1 м, бактын түбүндө диаметри 1 см тешиктен канча убакытта суу толугу менен агып чыгат?

Мында же , бактын неизинин радиусу, м; бактын тешигинин аянты, бактын тешигинин радиусу, м; , мындан алынат. бул тендеменин чыгарылышы радиоактивдүү ажыроонун тендемесинин чыгарылышындай табылат. Тендеменин эки жагын бөлөбүз. же татаал функцияны дифференцирлөөнүн формуласы боюнча мындан .

бактын бийиктиги баштапкы шартынан С коэффициентин аныктайбыз.

Жыйынтыгында, ;

Бардык суунун агып чыгуу моменти төмөндөгүдөй мүнөздөлөт: болгондуктан, теңдемесинен бардык суунун агып чыгуу убактысын табууга болот же

Эсептөөлөр маанилүү болгон бир эле цифра менен жүргүзүлдү, себеби берилген маселе ушундай тактыкта берилген.

Жогоруда , мында турактуу сан дифференциалдык теңдемеси чыгарылды. жалпыланып жазылган теңдемеси ушуга окшош чыгарылат: анын чыгарылышы болгондо интеграл аркылуу туюнтулат. Теңдемени турүндө жазып алалы. Эгерде - функциясынын баштапкы функциясы болсо, б.а. же , анда татаал функциянын дифференцирлөөнүн эрежеси боюнча ,мындан алынат. теңдемесинен ти өзгөрмөсүнөн функция деп аныктоого болот. Атмосфералык басым

Деңиз деңгээлинен бийиктигинен абанын басымынын көз карандылыгын табалы. Бул учурда абанын горизонталдуу кыймылы (б.а. шамал) менен байланышкан эффекттерден жана бийиктиктен көз каранды болгон абанын температурасынын өзгөрүшүн эске албайбыз. Жердин бетиндеги басым (деңиз деңгээлинде) атм (б.а.1 атмосфера), ал эми абанын тыгыздыгы (деңиз деңгээлинде) барабар экендигин белгилей кетели. Фиксирленген температурада( га барабар деп алабыз)

абанын басымы менен тыгыздыктын байланышы керек болот . Бул байланыш универсалдык газдык закондун формуласы менен берилет

, мында газдын басымы, газдын ээлеген көлөмү, газдын массасы, газдын молярдык массасы, газдын абсолюттук температурасы, универсалдык газдык турактуу. болгон учурда , же , же , мында газдын тыгыздыгы. катышы бирдей эле С турактуусу менен берилген температурада турган каалагандай газдын(биздин учурда абанын) көлөмү үчүн туура болот. С турактуусун абаны деңиз деңгээлинде алуу менен табууга болот, мында , мындан жана жыйынтыгында жана нын байланышы же формулалары менен берилет. Басымды бийиктиктен функция деп табабыз, б.а. . бийиктигинен бийиктигине өтүүдөгү басымдын өзгөрүүсүн карайлы. кесилиштүү абанын тик мамычасын алып, жана бийиктиктеринин ортосундагы бөлүктү карайлы.

Бул бөлүк үчүн тең салмактуулук шартын жазалы: сырттан таасир эткен күчтөрдүн суммасы нөлгө барабар. Сырткы күчтөр вертикаль боюнча багытталышкан жана өйдө жагынан , ылдый жагынан басымды жана салмагын түшүндүрөт. Бардык күчтөрдү белгилерин эске алуу менен эсептейбиз (оң багыт- тын өсүү багыты, б.а. жогоруну көздөй).

Буларды эске алуу менен экендигин алабыз, ал эми салмагы болот. жана ортосундагы мамычанын көлөмү ка барабар экендигин белгилей кетели. Ушул себептүү, анын массасы (бул жакындатылган формула, себеби , бийиктигинен бийиктигине чейинки кесиндиде өзгөрөт, бирок тын кемиши менен тактык жогорулайт). Жыйынтыгында тең салмактуулук шарты түрүнө келтирилет. Эки жагын ка бөлүп жана умтулгандагы пределине өтүү менен же алынат.

Жогоруда келтирилген формуласы боюнча тыгыздыгын аркылуу туюнтуп алабыз. үчүн
же , мында дифференциалдык теңдемеси алынат. Мындай теңдеме радиоактивдүү ажыроо теориясынан кездешкен, анын чыгарылышы

.

коэффициентин жана ар кандай бийиктиктеги басымынын маанилерин табалы.

.

Демек , мында километрде берилген бийиктик.

Жогорудагы формула боюнча алынган ар кандай бийиктиктеги тын маанилерин таблицасын келтирели. Эсептөөлөрдү төмөндөгүдөй жүргүзүүгө болот:

ж.б.

Реактивдүү самолеттор учкан 20 км бийиктикте Жердин бетиндегиге караганда аба 10 эсе кем болорун белгилей кетели.

Бул жыйынтыктар басымды түздөн-түз барометрдин жардамы менен өлчөөдөн алынган жыйынтыктар менен болжолдуу түрдө дал келишет.Ошондуктан жогорудагы божомолдор акталат.

Табият таануу илимдеринин маселелерин чыгаруунун жүрүшүндө кандайдыр бир функцияны, анын аргументин жана функциянын туундуларын байланыштыруучу тиешелештиктер орун алышат. Мейли физикалык, биологиялык же ж.б. кандайдыр бир процесс изилденип жатат дейли. Бизди убакыттын өтүшү менен ошол процесстин мүнөздөгүчтөрүнүн б.а. кандайдыр бир чоңдуктун (температуранын, басымдын, массанын ж.б.) өзгөрүшү кызыктырат. Процесстин жүрүшү жөнүндө жетиштүү маалыматтар болсо, биз анын математикалык моделин тургузууга аракет жасайбыз.Андай маалыматтар көбүнчө дифференциалдык теңдеме түрүндө жазылат.

Кадимки дифференциалдык моделдерди тургузуу процессинде изилденүүчү маселенин табияты кайсы илимдин областы менен байланыштуу экендигин так билишибиз керек. Мисалы, механикада болсо бул Ньютондун закондору, электр чынжырлары теориясында – Кирхгофдун закондору, химиялык реакциялардын ылдамдыктарынын теориясында – массалардын кыймылдарынын закону жана башка болушу мүмкүн.

Практикада дифференциалдык теңдемелерди түзүүгө мүмкүндүк берүүчү закондор белгисиз болгон учурлар да кездешет, мындай учурда ар түрдүү божомолдорго (гипотезаларга) таянууга туура келет. Эгерде алынган дифференциалдык теңдемелердин негизинде чыккан изилдөөнүн жыйынтыктары математикалык модель катары тажрыйбалык берилиштер эске алынса, анда айтылган гипотеза чыныгы абалды туура сүрөттөйт дегенди түшүндүрөт.