Дистанционное занятие по теме: Логарифмические уравнения

Задания для студентов ОГБПОУ Ивановский педагогический колледж на период обучения с применением электронных и дистанционных технологий

Преподаватель: Родионова М.В

Задание с

Почта: mari5379@mail.ru , задание отправлять в текстовом редакторе Word (вставить фото)

Специальность:

44.02.05 Коррекционная педагогика в начальном образовании

Группа: 1 К

Учебная дисциплина: ОУДб.04 Математика

Тема урока: «Логарифмические уравнения».

Цель:

повторить и закрепить понятия логарифма числа и свойства логарифмов. Познакомить и закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появления типичных ошибок.

Знания, умения, навыки, необходимые в ходе урока:

• знание понятия логарифма числа, логарифмической функции, свойств логарифмической функции;

• знание квадратичной функции и её свойств;

• умение выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;

• умение применять свойства логарифмов при преобразовании выражений, содержащих логарифмы;

• умение решать квадратные уравнения;

• использовать умение переносить ранее усвоенные знания в новую ситуацию.

Теоретический материал и источники информации для выполнения заданий :

1. Решение простейших уравнений: Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a 0, a ¹ 1.

log _a f(x) = b, a 0, a ¹ 1.

log _f(x) b = c, b 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

если log_b a = c, то a = b^c.

Решить уравнение

log₂ x = 3.

Решение.

Область определения уравнения x 0.

По определению логарифма x = 2³, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

1.Уравнения вида log_a f(x) = b, a 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a^b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

log₃(5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 0; х 1/5.
log₃(5х– 1) = 2,
log₃(5х – 1) = log₃3²,
5х - 1 =9,
х = 2.

Ответ: 2.

Пример2. Решить уравнение

Решение.

Область определения уравнения находится из неравенства

ОДЗ: 2х² – 2х – 1 0.

Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х² – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х² – 2х – 1 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х₁ = –1, х₂ = 2.

2.Уравнения вида log_f(x) b = с, b 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))^c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример 3. Решить уравнение

log_x–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x)

к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида log_a f(x) = log_a g(x) , а 0, а ¹ 1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения log_a f(x) = log_a g(x) к уравнению

f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения.

В данном уравнении f(x) 0, g(x) 0,

а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример4. Решить уравнение

log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

Потенцируя данное уравнение, получаем х² – 3х – 5 = 7 – 2х,

х² – х – 12 = 0, откуда х₁ = –3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x)

с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

 

• log_b a + log_b c = log_b (ac), где a 0; c 0; b 0, b ¹ 1,

• log_b a – log_b c = log_b (a/c), где a 0; c 0; b 0, b ¹ 1,

• m log_b a = log_b a ^m, где a 0; b 0, b ¹ 1; mÎR.

  Пример 1. Решить уравнение

log₆ (x – 1) = 2 – log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

ОДЗ:

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ (x – 1) + log₆ (5x + 3) = 2,

log₆ ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

 Пример 5. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

ОДЗ:

(3x – 1)(x + 3) 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) ² = 0. По определению логарифма

(х + 3) ² = 1, х = –4, х = –2.

Число х = –2 посторонний корень, так как не удовлетворяет ОДЗ

Ответ. х = –4.

 Пример 6. Решить уравнение

log₂ (6 – x) = 2log₆ x.

Решение. На области определения 0 x x = x², откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида

 

Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 x

Так как 3 = log₂8, то на области определения получим равносильное уравнение, используя свойства логарифмов: log_b a – log_b c = log_b (a/c),

(2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

  Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Ответ. х = 6.

 Пример 8. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x –1, x ¹ 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ¹ 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)–1)² = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3.Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида где a 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

 

Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид t² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) 0.

 

Пример 1. Решить уравнение

lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения:

ОДЗ: х 0 – интервал (0; ¥).

Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

ОДЗ:

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х x | = –x и следовательно

Введём новую переменную t = log₃ (–x), tÎR. Квадратное уравнение

t ² – 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = –9.

 Некоторые другие методы решения

Пример1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х 1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log₂x, получим квадратное уравнение

t² - 3t + 2 = 0,

t₁ = 2, t₂ = 1, тогда log₂ x = 2 или log₂ x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.

Методические рекомендации к практическому занятию:

вспомнить основные формулы, алгоритм решения различных задач по данной теме, , справочный материал, интернет ресурсы и теоретический материал, используя лекцию и учебник ( в библиотеке)

А.Г Мордкович Алгебра и начала анализа Часть 1. Учебник стр.304-308

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Логарифмические уравнения».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий логарифмических уравнений в лекции и учебнике, записать лекцию в тетрадь, решить примеры.

3. Выполнить и оформить самостоятельную работу в тетради для самостоятельных работ записать решение.

4. Отправить на почту :mari5379@mail.ru , задание отправлять в текстовом редакторе Word (можно вставить фото в редактор)

Упражнения для закрепления:

Решить уравнения по образцу:

Самостоятельная работа по теме: «Логарифмические уравнения».

Вариант 1.

_{ } = -2

2. _{ } = _{ }

3._{ } = _{ }

4._{ }=2

5.lg ² х = lgх +6

Вариант 2

1. _{ } = _{ }

2._{ } = _{ }

3._{ }=_{ }

4._{ }=2

5. lg ² х = 4 - 3lgх

Задания 1-3 оцениваются в 2 балла; задание 4-5 в 3 балла

Максимальный балл за работу- 12 баллов.

Критерии оценивания:

от 10 -12 баллов –«5»

от 7 до 9 баллов –«4»

от 4 до 6 баллов –«3»

от 0 до 3 баллов –«2»

Рекомендуемые источники информации:

1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). Мордкович А.Г. М.: Мнемозина, 2005 стр.287-325 теория по логарифмам (учебник в библиотеке можно взять)

2. Кочеткова И.А. Математика. Практикум [Электронный ресурс]: учебное пособие/— Электрон. текстовые данные Кочеткова И.А., Тимошко Ж.И., Селезень С.Л. Минск: Республиканский институт профессионального образования (РИПО), 2018.— 505 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/84874.html.— ЭБС «IPRbooks

Дополнительные источники:

1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа. М.:ИЛЕКСА, 2015. – 208 с.

2. Роганин А.Н., Лысикова И.В. Математика в схемах и таблицах. М.: ЭКСМО, 2015. – 256 с.

Интернет-ресурсы

1. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов.

2. www.fcior.edu.ru – Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов.

1. Интернет-урок: официальный сайт: https://interneturok.ru/

2. Канал инфоурок: https://www.youtube.com/user/upiterra/videos

3. Электронная библиотека для вузов и ссузов Юрайт: официальный сайт https://biblio-online.ru/

4. Российская электронная школа: официальный сайт: https://resh.edu.ru/

5. Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: официальный сайт: www.iprbookshop.ru.

6. Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

7. Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177