Дистанционный урок "Системы счисления"

Системы счисления.

Подготовка к ЕГЭ

Подготовил учитель информатики и ИКТ

МБОУ «Лицей №3» г. Курчатова

Бурашникова Екатерина Александровна

2018 г.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых цифрами.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

Например, в числе 555 первая 5 стоит в позиции сотен, вторая 5 – в позиции десятков, третья 5 – в позиции единицы (555=500+50+5)

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание .

Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите .

Алфавиты некоторых позиционных систем счисления:

Система счисления

Двоичная

Основание

Алфавит

2

Пятеричная

Восьмеричная

0, 1

5

Десятичная

0, 1, 2, 3, 4

8

Шестнадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

16

0-9, А, B, C, D, E, F

Рассматриваемые вопросы

I. Алгоритм перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную .

II. Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в любую другую

III. Алгоритм перевода целого числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

IV. Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

V. Представление целых чисел в компьютере

I. Алгоритм перевода целого числа из любой системы счисления

в десятичную

• Нумеруем цифры в числе с конца, начиная с нуля;
• Каждую цифру (слева направо) умножаем на основание СС, возведенное в степень, равную номеру цифры в числе;
• Складываем полученные произведения.

4

2

0

2

0

2

1

0

1

2

2

2

0

1

1

6

=

110

+

=

+

*

*

*

10

2

II. Алгоритм перевода целого числа из десятичную системы счисления

в любую другую

Системы счисления

• Последовательно выполняем деление данного десятичного числа на основание новой СС до тех пор, пока не получится частное меньше делителя;
• Начиная с последнего частного, записываем последовательно остатки – это и будет число в новой СС.

5

2

2

2

4

5 =101

1

2

1

10

2

0

Задания из ЕГЭ

1. Переведите в десятичную систему двоичное число 101001 2

5 4 3 2 1 0

101001 2  = 1*2 5  + 0*2 4  + 1*2 3  + 0*2 2  + 0*2 1  + + 1*2 0  = 32 + 8 + 1 = 41 10

Ответ: 41.

2. Чему равна сумма чисел 30 5  и 41 8 ? Результат запишите в двоичной системе счисления.

1 0

30 5 =3*5 1 + 0*5 0 = 15 + 0 = 15 10

1 0

41 8 =4*8 1 + 1*8 0 = 32 + 1 = 33 10

30 5 + 41 8 = 15 10 + 33 10 = 48 10

48 10 = 110000 2

Ответ: 110000.

48

0

24

12

0

6

0

3

0

1

1

Задания из ЕГЭ

3. Вычислите сумму чисел х и у при x = B3 16 , у = 110110 2 . Результат представьте в десятичной системе счисления.

Переведём числа х и у в десятичную систему счисления:

1 0

B3 16 =11*16 1 + 3*16 0 = 176 + 3= 179 10

5 4 3 2 1 0

110110 2 = 1*2 5 + 1*2 4  + 0*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1  + 0*2° = 32+ 1б + 4 + 2 = 54 10 .

179 + 54 = 233

Ответ: 233.

4. Вычислите разность X-Y двоичных чисел, если Y=100 2, Х=1010100 2 . Ответ запишите в двоичной системе.

2 1 0

100 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 4 10

6 5 4 3 2 1 0

1010100 2 = 1*2 6 + 1*2 4 + 1*2 2 = 64 + 16 + 4 = 84 10

84 - 4=80

80 2 40 2 20 2 10 2 5 2 2 2

80 40 40 20 20 10 10 5 5 2 2 1

0 0 0 0 1 0

80 10 = 1010000 2

Ответ: 1010000

10110100; 10011011 10110100 = 10110100. Таким образом, имеем одно число, большее, чем A4 16 +20 8 . Ответ: 1. " width="640"

Задания из ЕГЭ

5. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе: 10001011, 10111000, 10011011, 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем A4 16 +20 8 ?

Переведем числа в десятичную систему счисления:

1 0

A4 16 = 10*16 1 + 4*16 0 = 164

1 0

20 8  = 2*8 1 = 16

164 + 16 = 180 10 .

Переведем полученное число в двоичную систему счисления другим способом, используя разложение на сумму степеней двойки. Вспоминая, как переводится число из двоичной системы в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, остальные нули.

180 10  = 128 + 32 + 16 + 4 = 2 7  + 2 5  + 2 4  + 2 2 = 10110100 2 .

Сравним его с данными нам в условии двоичными числами:

10001011

10111000 10110100;

10011011

10110100 = 10110100.

Таким образом, имеем одно число, большее, чем A4 16 +20 8 .

Ответ: 1.

Задания из ЕГЭ

6. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 517?

I способ по алгоритму

517

1

258

0

129

64

1

0

32

16

0

0

8

0

4

0

2

0

1

517 10  = 1000000101 2

II способ, используя разложение на сумму степеней двойки

517 10  = 512 + 4 + 1 = 2 9  + 2 2  + 2 0 =1000000101 2

Ответ: 3.

7. Как записывается число 754 8 в шестнадцатеричной системе счисления?

2 1 0

754 8 = 7*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 448 + 40 + 4 = 492 10

492 16 30 16

480 30 16 1

12 14

492 10 = 1ЕС 16

Ответ: 1ЕС

III. Алгоритм перевода целого числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

8 = 2 3

• Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево;
• Затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Например, хотим число 10101010 перевести из двоичной системы счисления в восьмеричную.

• 10101010

• 010 2 = 1*2 1 = 2, 101 2 = 1*2 2 + 1*2 0 = 5, 0 10 2 = 1*2 1 = 2

• 10101010 2 = 252 8

III. Алгоритм перевода целого числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

16 = 2 4

• Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на  группы по четыре цифры (тетрады) , справа налево;
• Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру. Если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. 

Например, хотим число 11101100101001 пе­ре­ве­сти из дво­ич­ной системы счис­ле­ния в шестнадцатеричную.

• 11101100101001

• 1001 2 = 1*2 3 + 1*2 0 = 9

0010 2 = 1*2 1 =2

1011 2 = 1*2 3 + 1*2 1 + 1*2 0 = 11 = В 16

00 11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3

3. 11101100101001 2 = 3В29 16

IV. Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр ( триаду ).

Например, хотим число 331 8 перевести из восьмеричной системы счисления в двоичную.

3 8 = 0 11 2 , 1 8 = 00 1 2 , 331 8 = 11011001 2

Для перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру числа преобразовать в группу из четырех цифр ( тетраду ).

Например, хотим число D7 16 перевести из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

D 16 = 13 10 = 1101 2 , 7 16 = 0 111 2 , D7 16 = 11010111 2

13 2 6 2 3 2 7 2 3 2

12 6 6 3 2 1 6 3 2 1

1 0 1 1 1

 1001 1010, 1001 1011  1001 1010, 1011 0100  1001 1010.   Ответ: 3. " width="640"

Задания из ЕГЭ

8. Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе: 10001011; 10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9A 16 ?

9 2 4 2 2 2 10 2 5 2 2 2

8 4 4 2 2 1 10 5 4 2 2 1

1 0 0 0 1 0

9 16 = 1001 2 , А 16 = 1010 2 , 9A 16 = 10011010 2

Те­перь сравним число 9A 16  = 10011010 2  с предложенными числами:

1000 1011 

1011 1000  1001 1010,

1001 1011  1001 1010,

1011 0100  1001 1010.

Ответ: 3.

Задания из ЕГЭ

9. Даны 4 целых числа, записанных в различных системах счисления: 31 10 , F1 16 , 261 8 , 711 8 . Сколько среди них чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц?

Переведем все числа в двоичную систему счисления:

31 10 = 16 + 8 + 4 +2 + 1 = 2 4  + 2 3  + 2 2  + 2 1 + 2 0 = 11111 2 .

F1 16 = 1111 000 1 2 (F 16 = 15 10 =1111 2 , 1 16 = 000 1 2 )

261 8 = 10110001 2 (2 8 = 0 10 2 , 6 8 = 110 2 , 1 8 = 00 1 2 )

711 8 = 111 00 1 00 1 2 (7 8 =111 2 , 1 8 = 00 1 2 )

Ответ: 3.

10. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 6 единиц. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

При переводе из двоичной в восьмеричную систему счисления должно получаться четырёхзначное число. Для этого нужно, чтобы в двоичной системе счисления число состояло из четырёх триад. Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи (содержит 6 единиц): 001 000 011 111 2  = 1037 8 .

Ответ: 1037.

Задания из ЕГЭ

11. Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 6 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

При переводе из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления должно получаться четырёхзначное число. Для этого нужно, чтобы в двоичной системе счисления число состояло из четырёх тетрад. Наибольшее число, удовлетворяющее условию задачи (содержит 6 нулей): 1111 1111 1100 0000 2  = FFC0 16 .

Ответ: FFC0.

12. Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполнено неравенство 11011100 2  x  

11011100 2  = DC 16 .

Между DC 16 и DF 16 два натуральных числа DD 16 и DE 16

Ответ: 2.

V. Представление целых чисел в компьютере

Все данные (и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном виде. Самым традиционным видом данных, с которым работают компьютеры, являются числа. Компьютер может работать только с ограниченным множеством целых чисел.

В памяти компьютера числа хранятся в двоичной системе счисления. Чтобы перевести привычные для нас десятичные числа к виду, понятному компьютеру, нужно воспользоваться алгоритмом перевода из десятичной системы счисления в двоичную.

Для хранения больших чисел используются ячейки. Каждая такая единица содержит до 8 бит информации. Поэтому можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом отрезке памяти может составлять 1 байт.

Память ПК отводит под этот процесс всего одну ячейку. Таким образом, максимум в одном слоте могут быть значения от 0 до 11111111, т.е. может располагаться значение от 0 до 255. Однако это относится исключительно к целым неотрицательным числам. Если же компьютеру понадобится записать отрицательное значение, всё пройдет немного по-другому.

Теперь давайте посмотрим, как происходит представление чисел в компьютере, если они являются отрицательными. Для размещения значения, которое меньше нуля, отводится две ячейки памяти, или 16 бит информации. При этом 15 уходят под само число, а первый (крайний левый) бит отдается под соответствующий знак. Если отрицательный, то записывается "1", если положительный, то «0». Оставшиеся 15 бит информации отводятся под число.

Представление целых чисел в памяти компьютера не является такой уж трудной задачей. Хотя она немного усложняется, если речь идет об отрицательном значении. Для записи числа, которое меньше нуля, используется дополнительный код. Чтобы его получить, машина производит ряд вспомогательных операций.

• Сначала записывается модуль отрицательного числа в двоичном счислении. То есть компьютер запоминает аналогичное, но положительное значение.
• Затем проводится инвертирование каждого бита памяти. Для этого все единицы заменяются нулями и наоборот.
• Прибавляем «1» к полученному результату. Это и будет дополнительный код.

Задания из ЕГЭ

• Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128) ?

1) Переводим число 128 в двоичную систему счисления :

128 = 2 7 = 10000000 2

2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов. Наше число содержит 8 разрядов. 3) делаем инверсию битов (заменяем 0 на 1 и 1 на 0):

10000000 2 → 01111111 2

4) добавляем к результату единицу

01111111 2 + 1 2 = 10000000 2

это и есть число (-128) в двоичном дополнительно коде. В записи этого числа 1 единица

Ответ: 1.

Задания из ЕГЭ

2. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35) ?

1) Переводим число 35 в двоичную систему счисления :

35 =32 + 2 + 1 = 2 5 + 2 1 + 2 0 = 100011 2

2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов. Наше число содержит 6 разрядов. У нашего числа не хватает две цифры до 8 разрядов, надо добавить впереди нули - 00100011

3) делаем инверсию битов (заменяем 0 на 1 и 1 на 0):

00100011 2 → 11011100 2

4) добавляем к результату единицу

11011100 2 + 1 2 = 11011101 2

это и есть число (-35) в двоичном дополнительно коде. В записи этого числа 6 единиц

Ответ: 6.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

Сложение

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = (заем из старшего разряда) 1

1 - 1 = 0

Умножение

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 * 0 = 0

1 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Деление

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления.

Спасибо за внимание!