Длина окружности и площадь круга. Контрольная работа

Длина окружности и площадь круга.

Контрольная работа

1. Найдите длину окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ = 6 см, угол С равен 60⁰.

2. Чему равно отношение площади квадрата к площади, вписанного в него круга?

3. Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найдите площадь вписанного круга.

Решение

1 . А

В С

Длина окружности вычисляется по формуле С = 2 R. Чтобы найти длину радиуса описанной около треугольника окружности, воспользуемся теоремой синусов в её расширенном виде: = = = 2R. Отсюда найдём R= . R = = см = 24 см. Следовательно

С = 2 см = 48

2 .

Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата. Тогда площадь круга равна R², а площадь квадрата равна (2R)² = 4R². Отсюда, отношение площади квадрата к площади круга найдём:

4R² : R² = 4 : .

3 . А

12см

М К

14 см

В 30см N C

Круг вписан в треугольник АВС и касается сторон треугольника в точках М, N, и К. По условию АК = 12см, КС = 14 см, ВС = 30 см. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем: АК = АМ = 12см, СК = СN = 14 см. Учитывая, что сторона ВС = 30см, найдём ВN = 30см – 14 см = 16см. Следовательно, ВМ = ВN = 16см. Отсюда, стороны треугольника равны: АС = 12см + 14см = 26см, АВ = 12см + 16см = 28см. По формуле Герона найдём площадь треугольника АВС. S = , где p = . p = = 42.

S = = = = 6 = 336 (cм²). С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле: S = pr. Тогда r = S: p. r = 336см²: 42см = 8см. А площадь вписанного круга будет равна: S = . S = 8² = 64 cм².