Доклад на тему: "Роль пропорции в решении практических задач"

архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида. Там, в частности проводится доказательство основного свойства пропорции.

Понятия «пропорция» вводится как верное равенство между двумя частными от деления одного числа на другое: 20:4=30:6, то есть два различных примера частного имеют одно и то же значение, поэтому между ними ставить знаки «равно». Другими словами, пропорцией называется верное равенство между двумя частными от деления одного числа на другое число. Из этого определения вытекает следствие: «Произведение крайних членов равно произведению средних членов». Вот и вся теория. А как велика роль этой теории в практике, в производственной деятельности, на уроках химии, физики, географии, труда и т. д. Причем в этом случае работает модель а * в = с, по сколько пропорция а : в = с : к сводится к этой модели.

Содержание любой задачи, приводящейся к пропорции, может быть записано по следующей схеме:

а _______ в ( а соответствует в )

с _______ к ( с соответствует к )

Из такой записи соответствий вытекает верное равенство: или а : с = в : к отсюда а * к = с * в ( произведения чисел по диагонали записи равны между собой, т. е. а *к = в * с, если речь идет о прямо пропорциональной зависимости величин ) или же

2) а : с = к : в отсюда а * в = с * к ( произведение чисел по строке записи равны между собой, т. е. а * в = с * к, если речь идет об обратно пропорциональной зависимости величин ).

Рассмотрим ряд задач:

1. Найти число градусов, соответствующих 1,05 радианам.

Решение: В этой задаче будем ссылаться на известное соотношение: 180 град. соответствует 3,14 рад. Теперь имеем таблицу соответствий:

3,14 _______ 180

1,05 _______ Х

Зависимость прямо пропорциональная, поэтому имеем равенство: 3,14 * Х = 1,05 * 180

Х=60,19 градус.

1. Масштаб карты составляет 1 : 1000000.

Определить воздушную протяженность между городами, расположенными друг от друга по карте 7 см.

Решение: Составим таблицу соответствий

1 см ____ 10км

7 см ____ Х км

Зависимость между величинами в этой задаче прямо пропорциональная, поэтому имеем равенство:

1 : 7 = 10 : Х

Х = 70 (км ).

1. Железный лист с площадью 5 м^2 имеет массу 8кг. Определите массу другого листа из того же сорта с площадью 120 м^2.

Решение: Составим таблицу соответствий.

8 кг ____ 5 м^2

Х кг _____ 120 м^2

Зависимость прямо пропорциональная, поэтому имеем равенство

8 * 120 = Х *5

Х = 192 (кг.)

1. 6 трактористов вспахали участок за 12 часов. За сколько часов вспашут такой же участок 8 тракторов , если тракторы будут работать с той же производительностью?

Решение:

6 тракторов _____ 12 часов

8 тракторов _____ Х часов

Зависимость величин обратно пропорциональная, поэтому имеем равенство:

6 : 8 = Х : 12

6 * 12 = Х * 8

Х = 9 ( часов ).

Характерной чертой всех задач, приводящихся к пропорции, является то, что при их решении учащиеся руководствуются одним и тем же дедуктивным способом мышления: имеется определенное условие взаимосвязи количественных отношений двух величин, и исходя из этой взаимосвязи, требуется определить другие количественные соотношения тех же величин, причем способ решения и записи условия один и тот же: произведение крайних членов равно произведению ее средних членов, которое сводится к знакомой схеме а * в = с.

Применение пропорции упрощает ход решения многих задач. Так, учащиеся при решении задач по нахождению дроби числа или числа по его дроби нередко делают ошибки в выборе действия. Если же научить их при решении таких задач применять пропорцию, то подобные ошибки не появляются. Например, «Рабочий израсходовал в магазине 60 рублей из своей зарплаты , чти составляет 2/7 от его месячного заработка. Сколько денег он получить за этот месяц?».

Решение: Составим таблицу соответствий из условия задачи:

60 руб____2 части

Х руб ____ 7 частей

60 * 7 = Х * 2

Х = 120 ( рублей ).

Как видим, можно провести много примеров-задач, при решении которых применяется пропорция. Это задачи на смеси, сплавы, растворы, коллективную работу, расходы продуктов и т. д. Подобные задачи развивают у учащихся логическое мышление, приучают их пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал ,превращают знания в необходимый элемент практической деятельности. Выполняя такие задания, учащиеся с какой бы жизненной ситуацией не столкнулись бы учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.

Тема «пропорция» имеет широкое применение в такой области, как подобие фигур. Как известно, линейные размеры подобных фигур находятся в одном и том же отношении, следовательно, имеет пропорцию: отношение двух высот в одном треугольнике равно отношению соответствующих высот в другом треугольнике. Аналогичное утверждение верно и по отношению к любым другим линейным размерам подобных фигур.

Однако эта зависимость не применяется учащимися в решении практических задач, учащиеся не умеют построить, например, многоугольник, который был бы подобен данному, но линейные размеры были бы в 2 раза меньше или больше линейных размеров данного. Ведь с такими заданиями люди встречаются на каждом шагу. Например, имеется приусадебный участок. Нужно нанести план этого участка на лист бумаги или наоборот, небольшой рисунок нужно изобразить в увеличенных размерах. Во всех этих случаях имеется то же самое равенство ( а * в = с ) в качестве модели, так как длина одного из отрезков одной фигуры равна длине соответствующего отрезка другой фигуры, умноженной на число к (коэффициент подобия). Значит, для решения подобных задач достаточно знать два компонента из трех, а третий компонент находится с их помощью. Например, нужно построить многоугольник с коэффициентом подобия к=2. Это означает, что длина соответствующей стороны искомого многоугольника в два раза больше, а углы у подобных многоугольников, одинаковые. Если сторона АЕ=2,5, то ей соответствующая сторона равна 5 см. И здесь работает понятие пропорция.

2,5 см _______ 1 часть

Х см _________ 2 части. Отсюда

Х = 2,5 * 2 = 5 (см ).

Часто встречаются и обратная задача: «Даны две подобные фигуры. Определить коэффициент их подобия». И при решении подобных задач работает пропорция:

2,5 см ____ 1 часть

5 см ______ Х частей. Отсюда:

2,5 * Х = 5 * 1

Х = 2 (ч ).

Задач, сводящихся к пропорции, очень много. Задача, имеющая практическое значение и приводящая к математической модели, заставляет учащегося мыслить и повышает его интерес к предмету. Вот, например, такая задача: «Определить расстояние до лодки, находящегося на море, треугольники СЕД и СВА подобны. Так как их углы равны. На берегу измерим длины отрезков СЕ, ЕД и СВ. составим пропорцию:

СЕ _______ ЕД

СВ _______ ВА. Отсюда:

ВА = ЕД * СВ / СЕ

Аналогично определяется ширина реки ( канавы и т. д. ).

В природе многие количественные соотношения находятся как бы в пропорции. В частности и части человеческого тела. Расстояние между двумя зрачками глаз у человека в 10 раз меньше расстояния от его носа до большого пальца вперед вытянутой его руки, где буквами Г обозначены глаза , а буквой П- палец вытянутой руки. Треугольник, образованный этими точками, равнобедренный , где высота из вершины в 10 раз больше основания. Такое соотношение можно использовать для приближённого определения расстояния до недоступного предмета, образуя другой треугольник , подобный данному. (рис.1б). пусть предмет Д расположен на некотором расстоянии, но он не доступен для измерения расстояния до него