Дослідницька робота «Історія виникнення квадратних  рівнянь»(додаток №2 до проекту "Квадратні рівняння")

Дослідницька робота: «Історія виникнення квадратних  рівнянь»

• Мета дослідження – вивчення історії виникнення квадратних рівнянь.

• Завдання:

вивчити наукову літературу по темі;

простежити історію виникнення квадратних рівнянь.

• Об'єкт дослідження: квадратні рівняння .
• Предмет дослідження: історія виникнення квадратних рівнянь.

• Актуальність теми :
• Розв’язуванням квадратних рівнянь люди займалися ще з давніх віків. Хотілося б дізнатися історію виникнення квадратних рівнянь.
• У шкільних підручниках немає інформації про історію виникнення квадратних рівнянь.

• Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково-популярною літературою.

Спостереження, порівняння, аналіз .

Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні. .

• У Стародавньому Вавилоні необхідність розв'язувати рівняння не тільки першого, але і другого степеня була викликана потребою вирішувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики.

Вимірювання території земельної ділянки в Уммі (Межиріччя). Глиняна табличка

Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні.

• Приклад, взятий з однієї глиняної таблички цього періоду.
• «Площа, яка складається з суми двох квадратів, становить 1000. Сторона одного з квадратів становить сторони іншого квадрата, що зменшені на 10. Які сторони квадратів?»
• Це призводить до рівнянь, розв'язання яких зводиться до розв'язування квадратного рівняння , що має додатний корінь .
• Насправді розв’язування у клинописному тексті обмежується простим перерахуванням етапів обчислення, необхідного для розв'язування квадратного рівняння:
• «Піднеси до квадрату 10; це дає 100; відніми 100 від 1000;
• це дає 900» і т. д

Як складав і розв’язував Діофант квадратні рівняння

Діофант Олександрійський -

давньогрецький математик , який жив приблизно в III ст. н. е.

Як складав і розв’язував Діофант квадратні рівняння

• Завдання: «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20,

а добуток - 96»

• Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х, інша ж менше, тобто 10 - х. Різниця між ними 2х.
• Звідси рівняння:

(10 + х)(10 - х) = 96

або ж:

100 - х²= 96

х²- 4 = 0 (1)

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Розв’язок х = -2 для

Діофанта не існує, так як грецька математика знала тільки додатні числа.

• Якщо ми вирішимо цю задачу, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до розв’язування рівняння
• у(20 - у) = 96,
• у² - 20у + 96 = 0. (2)
• Ясно, що, вибираючи в якості невідомого піврізницю шуканих чисел, Діофант спрощує розв’язування; йому вдається звести задачу до розв’язування неповного квадратного рівняння (1).

Квадратні рівняння у Індії

Частина сторінки з алгебри Бхаскари «Видиса Ганіта» (обчислення коренів)  

Квадратні рівняння у Індії

Одна із задач відомого індійського математика

XII ст. Бхаскари:

«Обезьянок резвых стая,

Розв’язування Бхаскари свідчать про те, що він знав про кількість коренів квадратних рівнянь.

Відповідне рівняння задачі

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая,

( 1/8 х)²+12=х

На поляне забавлялась.

Бхаскара пише під виглядом х²- 64х = -768 і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додають до обох частин 32²,отримуючи потім:

А двенадцать по лианам…

х² -64х+32²=-768+1024,

(х-32)²=256,

Стали прыгать, повисая… 

х-32=±16,

Сколько ж было обезьянок,

х 1 =16, х 2 =48. 

Ты скажи мне, в этой стае?»

Квадратні рівняння у Китаї (1 тисячоліття до н. е.).

«Математика в дев’яти книгах» - це перший математичний твір з ряду класичних в стародавньому Китаї, чудовий пам'ятник стародавнього Китаю часу династії Ранньої Хань

(206г. до н. е. – 7 р. н. е..).

Квадратні рівняння у Китаї (1 тисячоліття до н. е.).

• Китайська задача:

Розв’язування.

(х+1) 2 =х 2 +5 2 ,

х 2 +2х+1= х 2  +25,

2х=24,

х=12,

12+1=13

Відповідь:12чі; 13чі.

«Є водойма зі стороною

10 чі. В центрі її росте очерет, який виступає над водою на 1 чі. Якщо потягнути очерет до берега, то він як раз торкнеться. Питається: яка глибина води і яка довжина очерету?»

Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

«Я склав коротку книгу про обчислення алгебри та алмукабали, містить в собі прості і складні питання арифметики, бо це необхідно людям.»

Ал-Хорезмі Мухаммед бен-Муса -один з найвідоміших середньовічних вчених IX століття, засновник класичної алгебри.

Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х²+ 21 = 10х).

«Квадрат і десять коренів дорівнюють 39».

x 2  + 10 x  = 39 (IX ст.) .

Розв’язування автора приблизно таке: « Розділити навпіл число коренів, отримаєш 5, помнож 5 само на себе, від добутку відніми 21, залишиться 4. Добудь корінь з 4, отримаєш 2. Відніми 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь».

В своєму трактаті він пише: «Правило таке: Розділити навпіл число коренів, вийде в цій задачі п'ять. Додай це до тридцяти дев’яти, буде шістдесят чотири. Добудь з цього корінь, буде вісім, і відніми з цього половину числа коренів, тобто п'ять, залишиться три: це і буде корінь квадрата, який ти шукав»

Квадратні рівняння у Європі XII-XVII ст.  

Французький математик

Франсуа Вієт

Італійський математик Леонардо Фібоначчі

• Квадратні рівняння - це фундамент, на якому стоїть велична будівля алгебри. Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих степенів розв’язувалися нашими далекими предками. Ці рівняння розв’язували в різних і віддалених одна від одної країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися в будівництві, у військових справах, і в побутових ситуаціях.

• В даний час вміння розв'язувати квадратні рівняння необхідно для всіх. Вміння швидко, раціонально і правильно розв’язувати квадратні рівняння полегшує вивчення багатьох тем курсу математики. Квадратні рівняння розв’язуються не тільки на уроках математики, а й на уроках фізики, хімії, інформатики. Більшість практичних задач реального світу теж зводиться до розв'язання квадратних рівнянь.

Дякую за увагу!