Доводящие карточки

Доводящая карточка

Разложение многочлена на множители 

Цель:

• способствовать деятельности учащихся по самостоятельному выводу алгоритма разложения многочлена на множители способом группировки на основании применения переместительного и сочетательного законов сложения и распределительного закона умножения;

1. Вынесение за скобки общего множителя.

Для вынесения общего множителя из скобки используется распределительное свойство умножения: (a+b)·c=ac+bc. Запишем данное выражение в обратном порядке, получим: ac+bc=(a+b)·c. Величина с называется общим множителем.

Пример: 1) 2а + 2b = 2(a + b)

2) 6m+9n = 3· 2m+3·3n = 3· (2m+3n)

Для вынесения за скобки отрицательного общего множителя используется правило знаков: если выражение заключено в скобки, перед которым стоит знак « ˗ » , то при раскрытии скобок знаки слагаемых заменяются на противоположный.

Пример: –ax +ay = –a (х – у)

Задание 1: Вынесите общий множитель:

1) a² –a b

2) 8m²n – 4mn³

3) (a +b) –x (a +b)

.

1. Способ группировки.

Рассмотрим многочлен 5x +5y +m x +my. Для разложения многочлена на множители ответьте на вопросы:

- Есть ли общий множитель у всех слагаемых? Что вы увидели?

- Есть ли общий множитель, если рассматривать выражение по 2 слагаемых?

Ответив на вопросы, сделаем выводы:

5x +5y +m x +my = ( 5x +5y ) +(m x +my) = 5 (x +y) + m (x +y)

В новом выражении видим, из 4 слагаемых получили два слагаемых, которые снова имеют один общий множитель (х+у). Вынесем его за скобки.

5 (x +y) + m (x +y) = (x +y) (5 +m)

Получили произведение. Значит, объединяя слагаемые в группы, многочлен представили в виде произведения.

Объединив решения выражения, получим запись:

5x +5y +m x +my = ( 5x +5y ) +(m x +my) = 5 (x +y) + m (x +y) = (x +y) (5 +m)

Рассматривая этот же пример можно воспользоваться способом группировки, сгруппировав другие слагаемые:

5x +5y +m x +my = 5x+m x+5y+my = x(5 +m) + y (5 +m) =(x +y) (5 +m)

Результат получится такой же, как и в первом случае.

Из вышесказанного выведем алгоритм разложения на множители методом группировки:

а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Используя вышеуказанные примеры и метод разложения на множители, разложите на множители следующие выражения:

Задание 2: Разложите на множители:

1. ах+ ау- х – у 7) x y+ 2y-2x-4

2. ав-8а-вх+8х 8) 2сх – су – 6х + 3у

3) x ² m- x²n + y² m- y²n 9) х² +x y+ xy²+y³

4) 7а-7в+ аn – b n 10) x⁴ +x³y- xy³-y⁴

5) x y+ 2y+2x+4 11) ху² – ву² – ах + ав + у² - а

6) y²a-y²b+x² a- x²b 12) х² – 5х + 6

1. Решение уравнений с применением способа группировки.

Пример:

x²+3x+6+2x=0

x(x+3) +2(3+x) =0

(x+3) (x+2) =0

Получили выражение, в котором два множителя. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. А значит:

или x+3= 0; или x+2= 0

х = - 3 или х = - 2

Ответ: х=-3 х=-2.

Задание 3: Решите уравнения:

1) у³ – 2у² + у – 2 =0

2) х² + х³ = х³ + х⁴,

3) х³ – 8х² + 3х – 24 = 0,

4) у² – 2у = 3у – 6

5) х² – 15х + 56 = 0

Задание 4: Вычислите 2,7·6,2 – 9,3·1,2 + 6,2·9,3 – 1,2·2,7

Проверь себя:

Задание 1:

1) a² –a b = a(a – b)

2) 8m²n – 4mn³ = 4mn (2m – n²)

3) (a +b) –x (a +b) = 1(a +b) – x (a +b) = (a +b)(1– x)

Задание 2:

1. ах+ ау- х – у = (а-1)(х-у) 7) x y+ 2y-2x-4 = (х+2)(у-2)

2. ав-8а-бх+8х = (в-8)(а-х) 8) 2сх – су – 6х + 3у = (2х-у)(с-3)

3) x ² m- x²n + y² m- y²n = (х-у)(х+у)(m-n) 9) х² +x y+ xy²+y³ = (х+ y²)(х+у)

4) 7а-7b + аn – bn = (а – b)(7+n) 10) x⁴ +x³y- xy³-y⁴ = (х+у)(x³-y³)=(х+у)(х-у)(x²-ху+y²)

5) x y+ 2y+2x+4 = (х+2)(у+2) 11) ху²–ву²–ах+ав+у²-а = (у²–а)(х-в+1)

6) y²a-y²b+x² a- x²b = (а-b)(y²+x²) 12) х² – 5х + 6 = х² – 2х – 3х + 6 = (х–2)(х–3)

Задание 3: Решить уравнения:

1. у³ – 2у² + у – 2 =0

(у² +1)(у – 2) = 0

у² +1=0 у – 2=0

нет реш. у = 2. Ответ у=2

1. х² + х³ = х³ + х⁴,

х² + х³ – (х³ + х⁴) = 0

(х² - х³)(1+х) = 0

х²(1- х) (1+х) = 0

х = 0 1- х = 0 1+х = 0

х = 1 х = -1. Ответ: х = 0, х = 1, х = -1

1. х³ – 8х² + 3х – 24 = 0,

х² =-3 х=8

Ответ: х=8

1. у² – 2у = 3у – 6

Ответ: у=3 у=2

1. х² – 15х + 56 = 0

Ответ: х=7 х=8

Задание 4: Вычислить 2,7·6,2 – 9,3·1,2 + 6,2·9,3 – 1,2·2,7 = 2,7(6,2 – 1,2)+9,3(-1,2+6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7+9,3) = = 5*12 = 60