Двоичная логика. Основные операции. Таблицы истинности.

Машина должна работать, человек - думать.

Принцип IBM

Алгебра логики

Булева алгебра

МАОУ СОШ № 8 г. Бор

Нижегородской области

Кустова Ю.Е.

Цель урока: познакомиться с алгеброй логики как важнейшим разделом информатики

Задачи:

• Познакомиться с историей Булевой алгебры;
• Ввести названия и обозначения функций алгебры логики;
• Научиться на практике строить таблицы истинности;
• Познакомиться со свойствами булевой алгебры.

История возникновения булевой алгебры

Все компьютерные программы, демонстрирующие интеллектуальное поведение, основаны на использовании определенного математического аппарата, опирающегося на законы математической логики. Без понимания этих законов невозможно понимание принципов работы вычислительных машин вообще и систем искусственного интеллекта в частности.

Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".

Логика - это наука, изучающая правильность суждений, рассуждений и доказательств.

Первые значительные попытки превращения логики в математическую науку сделал великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 г.).

Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 г. Джордж Буль, построив алгебру логики, названную в его честь булевой.

История возникновения булевой алгебры

Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов - истина или ложь, ноль или единица.

Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями - и, или, не, которые позволяли производить сложение вычитание, умножение, деление и сохранение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления.

Алгебра логики - система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле- табличное, матричное построение логики высказываний, определяющие логические операции над ними.

Булева алгебра

Алгебра – множество элементов с заданным множеством операций, не выходящих за это множество. Алгебра логики или двоичная логика для

N – натуральных чисел, Z – целых чисел, R – рациональных чисел.

Элементы двоичной логики:

1 элемент – «ИСТИНА» или «1», и 2 элемент - «ЛОЖЬ» или «0»

Операции двоичной алгебры.

Действия в скобках устанавливают первоочередность выполнения операции.

Приоритет

Операция

1

Знаки

НЕ

2

И

¬

3

ИЛИ

*

_

Название

&(^)

исключающее или

4

инверсия

+

5

ЕСЛИ…ТО

 (|)



конъюнкция



эквивалентность



дизъюнкция

исключающее или







импликация

эквивалентность

Таблицы истинности

При построении таблиц истинности необходимо определить количество строк, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение.

Если количество логических переменных n, то количество строк 2 n .

В примерах при n=2 количество строк таблицы истинности равно 4, при n=1, количество строк равно 2.

Таблицы истинности для логических операций.

Х1

0

Х2

0

Х1*Х2

0

0

1

1

1

0

Х1

0

0

0

1

1

1

1

0

Таблицы истинности

Х1

Х2

0

0

Х1+Х2

0

1

1

0

1

0

1

Х1

Х2

1

0

1

0

1

Х1  Х2

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

Таблицы истинности

Х1

Х2

0

Х1  Х2

0

0

1

1

0

1

Х1

1

0

Х2

1

0

1

0

0

Х1  Х2

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

Таблицы истинности

Построить таблицу истинности для

F=

Х1

Х2

0

Х1+Х2

0

0

1

(А)

1

(В)

А*В=F

0

1

1

Таблицы истинности

Построить таблицу истинности для

F=

Х1

Х2

0

0

0

Х1+Х2

(А)

1

0

1

(В)

А*В=F

1

0

1

1

1

1

Таблицы истинности

Построить таблицу истинности для

F=

Х1

Х2

0

0

Х1+Х2

0

(А)

1

1

0

(В)

1

А*В=F

1

0

1

1

1

1

1

1

0

Таблицы истинности

Построить таблицу истинности для

F=

Х1

Х2

0

Х1+Х2

0

0

(А)

1

0

1

(В)

А*В=F

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

Таблицы истинности

Решить уравнение, построив таблицу истинности.

Х1

Х2

0

Х3

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

Таблицы истинности

Решить уравнение, построив таблицу истинности.

Х1

Х2

0

Х3

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

Таблицы истинности

Решить уравнение, построив таблицу истинности.

Х1

Х2

0

Х3

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

Закрепление

• Почему двоичная алгебра получила названия алгебра Буля.
• Назовите основные функции булевой алгебры и их обозначение.
• Назовите приоритет выполнения булевых операций.
• Что вызвало наибольшие трудности в решении задач.

Домашнее задание

П. 18, 19 читать, функции алгебры логики выучить наизусть.

Письменно в тетрадь построить таблицы истинности для следующих булевых выражений (список класса поделить на 6 частей, первые 3 ученика

строят таблицы истинности для первого выражения , вторые – для второго и т.д.)

Спасибо за урок!

Свойства булевой алгебры