ЕГЭ профиль 26 вариантов

Вариант 1.

1. В школе 1050 уче­ни­ков, из них 30% — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ло фран­цуз­ский язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют фран­цуз­ский язык, если в на­чаль­ной школе фран­цуз­ский язык не изу­ча­ет­ся?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 23 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

4. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

8. Вы­со­та ко­ну­са равна 72, а длина об­ра­зу­ю­щей — 90. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решётку с пе­ри­о­дом  нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол  (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к ре­шет­ке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма  свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  Под каким ми­ни­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решётке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1800 нм.

11. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 13-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

14. В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной ; вы­со­та приз­мы равна  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти BCM, где M — се­ре­ди­на ребра A₁C₁.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. Две окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 9 и 4, ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных окруж­но­стей и их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

18. При каких  урав­не­ние  имеет ровно три корня?

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 10

1. На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и залил в бак 28 лит­ров бен­зи­на по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить у кас­си­ра?

Ре­ше­ние.

Цена бен­зи­на со­став­ля­ет 28  28,5 = 798 руб. По­это­му при­чи­та­ю­ща­я­ся сдача 202 рубля.

Ответ: 202

282847

202

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс ки­тай­ско­го юаня, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 23 сен­тяб­ря по 23 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена ки­тай­ско­го юаня в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня был уста­нов­лен 8 ок­тяб­ря и со­ста­вил 44,3 рубля.

Ответ: 44,3.

Ответ: 44,3

500904

44,3

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.

3. Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: Сле­до­ва­тель­но, ор­ди­на­та точки С равна 6.

Ответ: 6

27680

6

4.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 40 до­кла­дов — пер­вые два дня по 9 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и чет­вер­тым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Ре­ше­ние.

За пер­вые два дня будет про­чи­та­но 18 до­кла­дов, на по­след­ние два дня пла­ни­ру­ет­ся 22 до­кла­да. По­это­му на по­след­ний день за­пла­ни­ро­ва­но 11 до­кла­дов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции, равна

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

286031

0,275

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Мень­ший ко­рень равен −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

99623

-4

6.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все его углы равны 60°. Тогда имеем:

Ответ: 60.

Ответ: 60

52493

60

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 6.

Ответ: 6

323383

6

8.

Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 5. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и ос­но­ва­ние, имеем:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

245350

15

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

67487

1

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 3 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно три метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 3 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее трёх мет­ров 1,6 − 0,2 = 1,4 се­кун­ды.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

28059

1,4

11. От при­ста­ни А к при­ста­ни В от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 8 часов после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 209 км. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 8 часов боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Ответ: 11

39507

11

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что и най­дем про­из­вод­ную этой функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Точка ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жит от­рез­ку [9; 36]. При дан­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та функ­ция при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние:

Ответ: -77.

Ответ: -77

509996

-77

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при По­это­му мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: тогда

Вто­рой слу­чай: тогда

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го урав­не­ния.

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

16. Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 0,5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку или на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку Пусть — угол между пря­мы­ми и

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. За­ме­тим, что От­ре­зок по­это­му Зна­чит, Кроме того, Сле­до­ва­тель­но,

Во вто­ром слу­чае По-преж­не­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 12 или 20.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

17. Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Ре­ше­ние.

Ответ: цена тре­тьего пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство (1) за­да­ет пару вер­ти­каль­ных углов на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oxy (см. ри­су­нок). Гра­фи­ком урав­не­ния (2) яв­ля­ет­ся окруж­ность ра­ди­у­са , центр ко­то­рой ― точка ― лежит на пря­мой . По­сколь­ку оба гра­фи­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой , си­сте­ма будет иметь ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда рас­сто­я­ние PK от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой

будет рав­нять­ся ра­ди­у­су дан­ной окруж­но­сти. Из тре­уголь­ни­ка POK на­хо­дим: , где ― уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой . Таким об­ра­зом, ,

, , от­ку­да

.

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: , , или .

Ответ: или .

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 11

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 ли­стов. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пачек бу­ма­ги нужно ку­пить в офис на 4 не­де­ли?

Ре­ше­ние.

За 4 не­де­ли в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 · 4 = 4800 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 4800 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 10 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 10.

Ответ: 10

26622

10

2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км/час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна 1 тонне силы.

Ответ: 1.

Ответ: 1

263867

1

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 6), (9; 6), (7; 9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 12.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 27564.

Ответ: 12

21863

12

4. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 30 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 15 с пер­со­на­жа­ми мульт­филь­мов и 15 с ви­да­ми при­ро­ды. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов.

Ре­ше­ние.

ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов равна

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

1027

0,5

5. Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ответ: 4

13689

4

6.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27380

0,6

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость, не­об­хо­ди­мо прой­ден­ное рас­сто­я­ние раз­де­лить на время про­хож­де­ния: км/ч

Ответ: 50.

Ответ: 50

512495

50

8. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 1, 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ре­ше­ние.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . По­это­му cумма объёмов трёх шаров равна

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

75307

9

9. Най­ди­те , если  при

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0.

Ответ: 0

65919

0

10. Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна , где – масса воды в ки­ло­грам­мах, ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ной длине верёвки м:

Ответ: 2.

Ответ: 2

27958

2

11. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми и равно 150 км. Из го­ро­да в город вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 30 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 90 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де и по­вер­нул об­рат­но. Когда он вер­нул­ся в , ав­то­мо­биль при­был в . Най­ди­те рас­сто­я­ние от до . Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим км – рас­сто­я­ние от A до C, км/ч – ско­рость ав­то­мо­би­ля, ч – время дви­же­ния мо­то­цик­ли­ста от A до C. Тогда и Решим си­сте­му по­лу­чен­ных урав­не­ний:

Тогда км.

Ответ: 90.

Ответ: 90

99594

90

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −41.

Ответ: -41

70487

-41

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра: AB = 6, AD = 8, CC₁ = 16. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

Ре­ше­ние.

Плос­ко­сти и имеют общую пря­мую Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр к По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах Зна­чит, ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и  — это угол Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

16. Около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окруж­ность. Через точку C про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCK, если

Ре­ше­ние.

а) Угол KBC равен углу BAC как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Пря­мые AB и CK па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, ∠ABC = ∠BCK. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен От­но­ше­ние пло­ща­дей В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

17. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть — один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа: Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень.

18. Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: Если то не­ра­вен­ство, а зна­чит и си­сте­ма не имеет ре­ше­ний. Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч

При пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — два луча с кон­ца­ми в точ­ках Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — по­лу­ин­тер­вал с кон­ца­ми в точ­ках

Оче­вид­но, что при , ре­ше­ние си­сте­мы будет со­дер­жать луч, вида , где мень­шее из чисел и , а зна­чит си­сте­ма будет иметь ре­ше­ние.

Чтобы ре­ше­ния были при не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма не­ра­венств имеет ре­ше­ния при

Ответ:

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a₁ = 5, a₂ = 8, ..., a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, ..., b_M сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

Вариант № 12

1. В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). По­ка­за­ния счётчика 1 фев­ра­ля со­став­ля­ли 142 куб. м воды, а 1 марта — 156 куб. м. Сколь­ко нужно за­пла­тить за хо­лод­ную воду за фев­раль, если сто­и­мость 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 22 руб. 50 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим, сколь­ко ку­бо­мет­ров воды было из­рас­хо­до­ва­но за фев­раль: куб.м. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо за­пла­тить: руб.

Ответ: 315

Ответ: 315

512323

315

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ве­ден­ной диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что 8 ме­ся­цев сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ответ: 8.

Ответ: 8

509984

8

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

3. На ри­сун­ке угол 1 равен 46°, угол 2 равен 30°, угол 3 равен 44°. Най­ди­те угол 4. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов в вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке равна 360°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

27780

120

4. Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 18 пас­са­жи­ров, равна 0,82. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 10 пас­са­жи­ров, равна 0,51. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 10 до 17.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «в ав­то­бу­се мень­ше 10 пас­са­жи­ров» и В = «в ав­то­бу­се от 10 до 17 пас­са­жи­ров». Их сумма — со­бы­тие A + B = «в ав­то­бу­се мень­ше 18 пас­са­жи­ров». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,82 = 0,51 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

Ответ: 0,31

509916

0,31

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4.

Ответ: -4

26659

-4

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Углы A и HCB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, по­это­му

Ответ: 27.

Ответ: 27

27431

27

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну где х — рас­сто­я­ние от точки отсчёта (в мет­рах), t — время дви­же­ния (в се­кун­дах). Най­ди­те её ско­рость (в мет­рах в се­кун­ду) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: м/с. При имеем: м/с.

Ответ: 72.

Ответ: 72

512493

72

8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27172

4

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ства сте­пе­ней:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

26798

2

10. Eмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре  Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре  кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где  — по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло не менее 28 с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

кВ.

Ответ: 6.

Ответ: 6

28463

6

11. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 22 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 113 км/ч, и через 30 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна км/ч. За 1/2 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 22 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 69.

Ответ: 69

509156

69

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

26728

-4

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда,

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­сколь­ку рав­но­силь­ны сле­ду­ю­щие не­ра­вен­ства

С учётом этого имеем

Ответ:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2016 ва­ри­ант МА10410

16.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а) До­ка­жи­те, что угол ABK равен углу ANK.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что и

Ре­ше­ние.

а) Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

Ре­ше­ние.

Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на оди­на­ко­вая сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20%, то есть умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,2. По­это­му через три года сумма на вкла­де «А» будет равна

Ана­ло­гич­но сумма на вкла­де «Б» будет равна

где n — не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число.

По усло­вию тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

При n = 26 не­ра­вен­ство

верно, а при n = 25 не­ра­вен­ство

не­вер­но, как и при всех мень­ших n.

Ответ: 26.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10310

18. Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Пе­ре­пи­шем дан­ное урав­не­ние в виде и по­ло­жим где Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Най­дем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2].

Так как то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 1] и воз­рас­та­ет на от­рез­ке [1; 2]. По­сколь­ку то мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2] ― от­ре­зок [f (1); f (2)], т. е. от­ре­зок Таким об­ра­зом, урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или

Ре­ше­ние 2. По­ло­жим где и рас­смот­рим функ­цию Так как ее про­из­вод­ная то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, на про­ме­жут­ке [0; 2) функ­ция имеет един­ствен­ный экс­тре­мум ― ми­ни­мум Так как урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или Таким об­ра­зом, при­хо­дим к со­во­куп­но­сти

Ре­ше­ние 3. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке [0; 2] (см. ре­ше­ние 1) и ис­сле­до­вать вза­им­ное рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка этой функ­ции и пря­мой

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

19. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т.д.) вы­пи­сы­ва­ют на доске в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доске, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

Вариант № 13

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 ли­стов. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства пачек бу­ма­ги хва­тит на 9 не­дель?

Ре­ше­ние.

За 9 не­дель в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 · 9 = 7200 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 7200 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 15 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 15.

Ответ: 15

508957

15

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

2. За­да­ние 2 № 27510.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6.

Ответ: 6

27510

6

3. Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 28?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что Зна­чит, тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний. Тогда

Ответ: 28.

Ответ: 28

53073

28

4. В блюде 35 пи­рож­ков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с рыбой.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с рыбой равна

.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

1025

0,4

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26664

14

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не равен -0,1. Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

27400

0,1

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–2; 6] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, точка 4 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

8. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 3, MS = 1. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Тогда

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

284355

1

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

77398

7

10. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где t — время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1600 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, в какой мо­мент вре­ме­ни после на­ча­ла ра­бо­ты тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной К. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

Через 4 ми­ну­ты после вклю­че­ния при­бор на­гре­ет­ся до 1600 К, и при даль­ней­шем на­гре­ва­нии может ис­пор­тить­ся. Таким об­ра­зом, при­бор нужно вы­клю­чить через 4 ми­ну­ты.

Ответ: 4.

Ответ: 4

41493

4

11. Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.

Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. 36 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.

Ответ: 342.

Ответ: 342

109109

342

12.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет наи­боль­шее из чисел и . Най­дем их:

,

За­ме­тим, что , по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке равно −33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

70787

-33

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем,

Ответ:

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти .

Ре­ше­ние.

Пря­мые и FB пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой EF. Плос­кость , со­дер­жа­щая пря­мую EF, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти , зна­чит ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те BH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , в ко­то­ром , , . По­это­му

.

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем или от­ку­да на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Ответ:

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, Пусть , тогда

У тре­уголь­ни­ков AKD и AKB общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть S_AKB = 4S. Ана­ло­гич­но, S_CKD = 4S. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 25S.

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD. Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр O2H, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, 25S = 20, от­ку­да S = 0,8 и S_AKB = 4S = 3,2.

Ответ: 3,2.

Источник: Про­ект демонстрационной вер­сии ЕГЭ—2014 по математике.

17. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x² + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (3; 3) ра­ди­у­са 4. Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (а; а) ра­ди­у­са 4. По­лу­окруж­но­сти, опре­де­ля­е­мые урав­не­ни­я­ми си­сте­мы, изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке 1, обо­зна­чив по­лу­окруж­но­сти через F и Fa, а их цен­тры — О и Оа.

Дан­ная в усло­вии си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют един­ствен­ную общую точку. Две «верх­ние» по­лу­окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо сов­па­да­ют.

При a = 3 по­лу­окруж­но­сти F и Fa сов­па­да­ют, т. е. a = 3 не яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

При a 3, точка О рас­по­ло­же­на выше точки Оа. В этом слу­чае по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют общую точку, если диа­метр BC по­лу­окруж­но­сти Fa имеет общую точку с по­лу­окруж­но­стью F. Край­нее по­ло­же­ние диа­мет­ра BC, при ко­то­ром он ещё имеет общую точку по­лу­окруж­но­стью F яв­ля­ет­ся по­ло­же­ние на ниж­нем ри­сун­ке, при этом точка Оа имеет ко­ор­ди­на­ты (7; 7)., т. е. a = 7. При a 7 по­лу­окруж­но­сти F и Fa не имеют общих точек. Таким об­ра­зом, все зна­че­ния яв­ля­ют­ся ис­ко­мы­ми.

При a Fa может быть по­лу­че­на па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом по­лу­окруж­но­сти F на век­тор где b = a − 3. Если при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор по­лу­чен­ная по­лу­окруж­ность имеет общую точку с F, то это же спра­вед­ли­во и при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор По­это­му ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний па­ра­мет­ра а сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но точки a = 3, по­это­му

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

19. Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

Вариант № 14

1. В доме, в ко­то­ром живёт Женя, один подъ­езд. На каж­дом этаже по во­семь квар­тир. Женя живёт в квар­ти­ре 87. На каком этаже живёт Женя?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 87 на 8:

.

Зна­чит, Женя живет на 11 этаже.

Ответ: 11.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу эта­жей.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10401.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с ян­ва­ря по май 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с ян­ва­ря по май (т. е. с 1 по 5 месяц) со­став­ля­ла 8 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 8.

Ответ: 8

77251

8

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

.

Ответ: 2

244986

2

4.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Сап­фир», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ответ: 0,375

321035

0,375

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −13.

Ответ: -13

3231

-13

6. Най­ди­те тупой угол па­рал­ле­ло­грам­ма, если его ост­рый угол равен 60°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, тогда .

Ответ: 120.

Ответ: 120

27805

120

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−15; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−11;0].

Ре­ше­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с плюса на минус. На от­рез­ке [−11; 0] функ­ция имеет две точки мак­си­му­ма x = −10 и x = −1.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8037

2

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти куба с реб­ром 3:

.

Ответ: 54.

Ответ: 54

505146

54

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Ответ: 5

Ответ: 5

512352

5

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом ост­рый угол (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать тре­тий мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 2400 нм?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства нм на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света нм и но­ме­ра мак­си­му­ма :

.

Ответ: 30.

Ответ: 30

28639

30

11. Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 200 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде равна 15 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 40 часов после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость те­че­ния, тогда ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь теп­ло­ход за­тра­тил 40 – 10 = 30 часов, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Ответ: 5

26588

5

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 36.

Ответ: 36

128103

36

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми BA₁C₁ и BA₁D₁.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — центр куба, а  — се­ре­ди­на а  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му Тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу

При­мем длины ребер куба за . Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

по­сколь­ку  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли то Те­перь при­ме­ним к тре­уголь­ни­ку тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

По­это­му

Ответ:

16. Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 13 и 7.25, а его вы­со­та BD равна 5. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Ре­ше­ние.

Пусть точки и ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки и со­от­вет­ствен­но, и ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки и ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­вый слу­чай (точка лежит между точ­ка­ми и см. рис. 1):

Вто­рой слу­чай (точка C лежит между точ­ка­ми и см. рис. 2):

Ответ: или

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при всех

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку для всех зна­че­ний по­лу­ча­ем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Для того, чтобы любое зна­че­ние удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния , то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

Ответ:

19. Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна пяти.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 91?

в) Най­ди­те наи­мень­шее нечётное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.

Вариант № 15

1.

Опто­вая цена учеб­ни­ка 150 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 4550 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 150 + 0,15  150 = 172,5 рубля. Раз­де­лим 4550 на 172,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 26 учеб­ни­ков.

Ответ: 26.

Ответ: 26

77101

26

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­ший курс дол­ла­ра был 22 ок­тяб­ря 2010 года и со­став­лял 30,3 рубля

Ответ: 30,3.

Ответ: 30,3

512366

30,3

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10108.

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

До­стро­им четырёхуголь­ник до пря­мо­уголь­ни­ка пло­ща­ди 2 как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­ща­ди белых и серых ча­стей пря­мо­уголь­ни­ка равны, по­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­ро­го четырёхуголь­ни­ка равна 1 см².

Ответ: 1

244984

1

4. За круг­лый стол на 201 стул в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 199 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда есть два места через одно от нее , на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 200 че­ло­век, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

Дру­гое ре­ше­ние:

Число спо­со­бов рас­са­дить 201 че­ло­век на 201 стул рав­ня­ет­ся .

Бла­го­при­ят­ным для нас ис­хо­дом будет ва­ри­ант рас­сад­ки, когда на "пер­вом" стуле сидит де­воч­ка, и через одно место спра­ва сидит де­воч­ка, а на осталь­ных ста де­вя­но­ста де­вя­ти сту­льях про­из­воль­но рас­са­же­ны маль­чи­ки. Ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно Так как "пер­вым" сту­лом может быть любой из двух­сот од­но­го стула (сту­лья стоят по кругу), то ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов нужно умно­жить на 201. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

325909

0,01

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 5,5.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 26653.

Ответ: 5,5

509033

5,5

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 1.

6. Угол ACB равен . Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна . Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между се­ку­щи­ми CB и CA по­лу­раз­но­сти дуг AB и DE:

Ответ: 59.

Ответ: 59

52339

59

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции При каком зна­че­нии x эта функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

508246

-4

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

8. Най­ди­те угол мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

 — диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной 3, зна­чит, тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, угол при ос­но­ва­нии равен .

Ответ: 45.

Ответ: 45

281867

45

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

61455

2,4

10. Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна  кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь  мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 1200 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, за какое время ав­то­мо­биль прой­дет путь мет­ров, учи­ты­вая, что сила при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля 1200 H. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля кг:

с.

Ответ: 50.

Ответ: 50

42735

50

11.

В сосуд, со­дер­жа­щий 7 лит­ров 14-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­нии 7 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

108487

7

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: −24.

Ответ: -24

77478

-24

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а) Пе­ре­несём все члены в левую часть, пре­об­ра­зу­ем и раз­ло­жим левую часть на мно­жи­те­ли:

1 слу­чай. Если то

2 слу­чай. Если то При ре­ше­ний нет. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на По­лу­ча­ем

Тогда

От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б) и

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.04.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

Ре­ше­ние.

Пусть точка E — се­ре­ди­на ребра MD. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет плос­кость MAC в точке P. В тре­уголь­ни­ке MBD точка Р яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, MP:РО = 2 : 1, где O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC и про­хо­дит через точку P (точка F при­над­ле­жит ребру MA, G — ребру MC), от­ку­да

Четырёхуголь­ник BFEG — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок BE — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MBD, зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MAC, диа­го­на­ли BE и FG четырёхуголь­ни­ка BFEG пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:

16. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R = 4.

Ре­ше­ние.

а) Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK = x. Пусть S — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R = x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б) Пусть I и O — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда

Ответ: б)

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

17. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство зна­че­ний функ­ции со­дер­жит от­ре­зок

Ре­ше­ние.

За­пи­шем функ­цию в виде

От­ре­зок со­дер­жит­ся в мно­же­стве зна­че­ний дан­ной функ­ции тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ния и имеют ре­ше­ния.

Решим пер­вое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние при любом

Решим вто­рое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но,

или

Ответ:

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

19. Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Вариант № 16

1.

Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 900 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет лилий для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство лилий смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, лилии стоят 120 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

Ре­ше­ние.

Налог со­ста­вит 900  0,13 = 117 руб­лей. После вы­пла­ты на­ло­га оста­нет­ся 900 − 117 = 783 рубля. Раз­де­лим 783 на 120:

.

Зна­чит, денег хва­та­ет на 6 лилий. В бу­ке­те долж­но быть не­чет­ное число цве­тов, по­это­му сту­дент купит 5 лилий.

Ответ: 5.

Ответ: 5

83781

5

2. За­да­ние 2 № 18893. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа за дан­ный пе­ри­од впер­вые вы­па­ло ровно 1,5 мил­ли­мет­ра осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, впер­вые 1,5 мм осад­ков вы­па­ло 9 ян­ва­ря (см. ри­су­нок).

Ответ: 9.

Ответ: 9

18893

9

3. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, за­дан­ной урав­не­ни­ем 3x + 4y = 6.

Ре­ше­ние.

Общий вид урав­не­ния пря­мой y = kx + b. Тогда вы­ра­жая y из ис­ход­но­го урав­не­ния, по­лу­ча­ем:

По­это­му k = −0,75.

Ответ: −0,75.

Ответ: -0,75

27691

-0,75

4. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Пе­ре­вод­чик», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на на спе­ци­аль­ность «Та­мо­жен­ное дело», нужно на­брать не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент Б. по­лу­чит не менее 79 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,9, по рус­ско­му языку — 0,7, по ино­стран­но­му языку — 0,8 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,9.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Б. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей.

Ре­ше­ние.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на «Пе­ре­вод­чи­ка»: 0,9 · 0,7 · 0,8 = 0,504, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать экза­ме­ны на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,9 = 0,567, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Пе­ре­вод­чи­ка», и на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,4536. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Пе­ре­вод­чи­ка» и на «Та­мо­жен­ное дело» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,504 + 0,567 − 0,4536 = 0,6174.

Ответ: 0,6174.

Ответ: 0,6174

321893

0,6174

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 2.

Ответ: 2

509012

2

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен , CH — вы­со­та, АВ = 5, Най­ди­те AH.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что . Тогда

.

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

4817

3,2

7.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−5; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC

Ответ: 1,75

9641

1,75

8.

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

Ответ:46.

Ответ: 46

501938

46

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 101.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся пе­ри­о­дич­но­стью си­ну­са:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26769

14

10. В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми Ом и Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства Ом при из­вест­ном зна­че­нии со­про­тив­ле­ния при­бо­ров Ом:

Ом.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27975

10

11.

Два пе­ше­хо­да от­прав­ля­ют­ся од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места на про­гул­ку по аллее парка. Ско­рость пер­во­го на 0,5 км/ч боль­ше ско­ро­сти вто­ро­го. Через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 25 мет­рам?

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч – ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да, тогда ско­рость пер­во­го − км/ч. Пусть через часов рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 0,025 ки­ло­мет­ра. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние ста­нет рав­ным 25 мет­рам через часа или ми­ну­там.

Ответ: 3.

Ответ: 3

113441

3

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 4.

Ответ: 4

77420

4

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что:

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.04.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок — бис­сек­три­са угла и пусть имеем:

Тогда Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8:3.

Ответ: 8:3.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

Таким об­ра­зом,

Ответ:

16. На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 27.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что

б) Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP . Его вы­со­та, про­ведённая к BN , со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC , а сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: .

17. Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма денег, ко­то­рые Сте­пан по­ло­жил в два раз­ных банка, со­став­ля­ет х руб. Ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы, обу­слов­лен­ный го­до­вой про­цент­ной став­кой на вклад, со­став­ля­ет в пер­вом банке u, во вто­ром v (это — не про­цент­ная став­ка).

Тогда к концу пер­во­го года хра­не­ния (60% про­цен­тов в пер­вом банке и 40% во вто­ром банке) вся сумма вкла­да стала (руб.).

Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% всей суммы во вто­рой банк, а 40% — в пер­вый банк, то вся сумма была бы равна (руб.).

Решим си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но xu и xv.

Для удоб­ства в рас­че­тах за­ме­ним число 590 000 вы­ра­же­ни­ем 590t, 610 000 — вы­ра­же­ни­ем 610t, t = 1000.

Тогда при­ве­ден­ная си­сте­ма урав­не­ний после не­ко­то­рых пре­об­ра­зо­ва­ний будет вы­гля­деть так:

Решим ее от­но­си­тель­но xu и xv.

Те­перь вос­поль­зу­ем­ся тем, что к концу вто­ро­го года сумма вкла­дов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.

При

Те­перь не­труд­но найти и ис­ко­мую сумму.

(руб.)

Ответ: 749 000.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим две функ­ции: и По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Функ­ция яв­ля­ет­ся ку­соч­но-ли­ней­ной, причём при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 3, либо 9, а при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо –3, либо –9. Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при по­это­му

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

Зна­чит, либо

от­ку­да

либо

от­ку­да

Ответ:

19. Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2^m − 3ⁿ = 1.

Вариант № 17

1. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 60 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 сен­тяб­ря по­ка­зы­вал 79 991 ки­ло­ватт-час, а 1 ок­тяб­ря по­ка­зы­вал 80 158 ки­ло­ватт-часов. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за сен­тябрь со­став­ля­ет 80 158 − 79 991 = 167 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь нужно за­пла­тить 1,6  167 = 267,2 рубля.

Ответ: 267,2.

Ответ: 267,2

78797

267,2

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года со­став­ля­ла −2 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −2.

Ответ: -2

27516

-2

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

24209

9

4

В клас­се 16 уча­щих­ся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 4 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Олег и Вадим ока­жут­ся в одной груп­пе.

Ре­ше­ние.

Пусть один из дру­зей на­хо­дит­ся в не­ко­то­рой груп­пе. Вме­сте с ним в груп­пе ока­жут­ся 3 че­ло­ве­ка из 15 остав­ших­ся од­но­класс­ни­ков. Ве­ро­ят­ность того, что вто­рой друг ока­жет­ся среди этих 3 че­ло­век, равна 3 : 15 = 0,2.

Ответ: 0,2

321495

0,2

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 4 и 12.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27614

24

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

6415

5

8. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O — центр ос­но­ва­ния, S вер­ши­на, SO = 4, AC = 6. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SC.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOC. Он пря­мо­уголь­ный, т. к. SO — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ответ: 5

284348

5

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

77413

10

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 4 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно че­ты­ре метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 4 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее четырёх мет­ров 1,4 − 0,4 = 1 се­кун­ду.

Ответ: 1.

Ответ: 1

41337

1

11. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 255 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость мо­тор­ной лодки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На путь по те­че­нию лодка за­тра­ти­ла на 2 часа мень­ше, от­сю­да имеем:

Ответ: 16.

Ответ: 16

5687

16

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: .

Ответ: 36.

Ответ: 36

77479

36

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щее от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да или

Урав­не­ние кор­ней не имеет.

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим число

Ответ:а) б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

14. Рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и CC₁ равно 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C, если из­вест­но, что дву­гран­ный угол приз­мы при ребре AA₁ равен 60°.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку  ― пря­мая приз­ма, ее бо­ко­вые грани ― пря­мо­уголь­ни­ки, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно Кроме того, угол  ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре

Таким об­ра­зом,

Пусть от­ре­зок  ― вы­со­та ос­но­ва­ния (см. ри­су­нок). По­сколь­ку и то и, зна­чит, длина от­рез­ка и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти

Рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник на­хо­дим:

Ответ:

Источник: Доб­ро­воль­ное тре­ни­ро­воч­ное те­сти­ро­ва­ние Санкт-Пе­тер­бург 2013.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние будем ис­кать при усло­ви­ях:

.

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть .

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть или

Ответ: .

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC = 12.

Ре­ше­ние.

а) Пусть O — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но, M — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б) От­пу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сред­няя AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

   (1)

от­ку­да

   (2)

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ние урав­не­ний или Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от и За­пи­шем урав­не­ние в виде Левая часть этого урав­не­ния — гра­фик мо­ду­ля с вер­ши­ной в точке гра­фик левой части — гра­фик мо­ду­ля, с вер­ши­ной в точке Это урав­не­ние может иметь одно, либо бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Урав­не­ние будет иметь одно ре­ше­ние, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит выше пря­мой и пря­мая лежит ниже пря­мой либо, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит ниже пря­мой и пря­мая лежит выше пря­мой По­лу­ча­ем со­во­куп­ность двух си­стем урав­не­ний:

   (3)

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния со­во­куп­но­сти (2) имеют по од­но­му ре­ше­нию.

Для пер­во­го урав­не­ния имеем

Для вто­ро­го урав­не­ния:

Если урав­не­ния со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, то тогда, даже если каж­дое из них имеет по од­но­му ре­ше­нию, то эти ре­ше­ния сов­па­дут и ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь не два, а одно ре­ше­ние. Ис­клю­чим дан­ный слу­чай, найдём при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра урав­не­ния сов­па­да­ют:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.

19. Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?