ЕГЭ профиль-дополнительный материал

Треугольники общего вида

1. 

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

2. 

Площадь треугольника ABC равна 4. DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

3. 

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

4. 

В треугольнике   угол   равен  , внешний угол при вершине   равен   Найдите угол   Ответ дайте в градусах.

5. 

Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40

6. 

В треугольнике ABC угол A равен 30°, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

7. 

В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

8. 

В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

9. 

В треугольнике ABC AC = BC, AD — высота, угол BAD равен 24°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

10. 

Востроугольном треугольнике ABC угол A равен  °. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение.

Пусть   тыс. рублей сумма взятого кредита в банке. В первый месяц сумма долга увеличивается на 1%, что составит   тыс. рублей. Долг выплачивается в течение 21 месяца так, чтобы долг на одну и ту же величину был меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. То есть, после первого месяца нужно выплатить   тыс. рублей. Оставшаяся сумма долга будет равна

 тыс. рублей.

После второго месяца сумма долга будет равна  , а выплата составит  . Сумма долга будет равна

.

Таким образом, на 11-й месяц нужно выплатить

или в виде

По условию задачи выплата на 11-й месяц кредитования составила 44,4 тыс. рублей. Получаем уравнение

Имеем кредит, равный 840 тыс. рублей. Тогда общая сумма выплат в течение 21 месяца составит

или в виде

То есть 932,4 тыс. рублей или 932400 рублей.

Ответ: 932400.

Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 =1:3.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Решение.

а) Построение. Пересекая прямую   с прямой  , получаем точку пересечения K (см. рисунок). Точка B является общей точкой для обеих плоскостей. Соединяя точки K и B, получаем прямую пересечения плоскостей ABC и  .

б) Рассмотрим подобные треугольники   и  . Для сторон этих треугольников можно записать следующую пропорцию:

,

откуда

.

Вычислим длину отрезка KB из прямоугольного треугольника AKB по теореме Пифагора:

.

Найдем высоту AH прямоугольного треугольника AKB из формулы площади треугольника:

,

где  , и

.

Найдем тангенс угла   между плоскостями ABC и   из прямоугольного треугольника AEH:

и

.

Задание 15. Решите неравенство  .

Решение.

1. Сделаем следующую замену:   и  , получим:

2. Получаем следующие точки, разбивающие числовую прямую:

3. Имеем следующие решения неравенства

Ответ:  .

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Пусть   тыс. рублей требуется взять в кредит. В начале второго месяца сумма кредита увеличивается на 3%, т.е. становится равной  . После этого идет погашение части кредита так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. во втором месяце погашается   тыс. рублей. Таким образом, сумма долга в конце второго месяца составляет

.

По аналогии в третьем месяце сумма кредита увеличивается на 3%, т.е. равна   и уменьшается на величину  . Сумма долга становится равной

.

Таким образом, через 12 месяцев (1 год) выплаченная сумма долга составит

или в виде

которая по условию задачи равна 466,5 тыс. рублей. Получаем уравнение

То есть кредит составлял 600 тыс. рублей.

Ответ: 600 000.

Прототип №4(вероятность)

1.Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по био­ло­гии уча­щий­ся О. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,67. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,74. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Ответ: 0,07.

2. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ис­то­рии уча­щий­ся Т. верно решит боль­ше 8 задач, равна 0,76. Ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,88. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

Ответ: 0,12.

3. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 12 задач, равна 0,7. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,79. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 12 задач.

Ответ: 0,09.

4. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,78. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 6 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 7 задач.

Ответ: 0,11

1.Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Ответ: 75.

2. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой  — 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 250 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

Ответ: 50.

3. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой  — 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

Ответ: 45.

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

г. Радужный

Решение заданий №6 (параллелограмм) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/main

учитель математики Е.Ю. Семёнова

Параллелограмм

C

D

М

A

B

H

№ 44849

В параллелограмме  ABCD AB = 5, AD = 3, sin A = 0,6. Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение.

C

D

3

М

A

B

H

5

Ответ: 3 .

№ 44849

Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 33. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Решение.

44

C

D

33

22

М

A

B

H

Ответ: 16,5 .

№ 27610

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.

C

D

A

B

Q

P

Ответ: 30 .

M

N

№ 56253

Площадь параллелограмма равна 140, две его стороны равны 10 и 35. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение.

C

D

10

М

A

B

H

35

Ответ: 14.

№ 49304

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24° и 65°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

C

D

65°

24°

A

B

Ответ: 91.

№ 49304

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24° и 65°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

C

D

65°

24°

A

B

Ответ: 91.

№ 49354

Периметр параллелограмма равен 92. Одна сторона параллелограмма на 39 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение.

C

D

х

A

B

х + 39

Ответ: 3,5.

№ 49928

Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 7, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.

Решение.

C

D

3 х

A

B

7 х

Ответ: 14.

№ 50031

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 65.

Решение.

C

D

х

3 х

х

М

B

A

Ответ: 26.

№ 27823

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение.

K

C

D

у

у

O

х

х

A

M

B

Ответ: 90.

№ 50081

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение.

C

D

5

B

М

A

5

Ответ: 10.

№ 317538

Площадь параллелограмма ABCD равна 159. Точка E – середина стороны BC . Найдите площадь трапеции ADEB .

Решение.

F

D

А

E

C

B

Ответ: 1 19,25 .

№ 319155

Площадь параллелограмма ABCD  равна 151. Найдите площадь параллелограмма A ' B ' C ' D ' , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение.

D'

А

D

A'

C'

B '

C

B

Ответ: 75,5.

№ 319253

Площадь параллелограмма ABCD  равна 77. Точка E – середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE .

Решение.

F

A

B

E

D

C

Ответ: 19,25.

Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2016 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

г. Радужный

Решение заданий №6 (ромб) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/main

учитель математики Е.Ю. Семёнова

Ромб

B

H

A

C

O

М

D

№ 56303

Найдите площадь ромба, если его высота равна 30, а острый угол 30°.

Решение.

B

A

C

30 °

30

H

D

Ответ: 1800 .

№ 56354

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 7 и 6.

B

Решение.

A

C

O

D

Ответ: 21 .

№ 56403

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей равна 6. Найдите другую диагональ.

B

Решение.

A

C

O

D

Ответ: 2 .

№ 56453

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

B

Решение.

A

C

O

D

Ответ: 3.

№ 49703

Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60°.

B

Решение.

60°

A

C

Н

D

Ответ: 49,5.

№ 5 0131

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60°.

B

Решение.

60°

A

C

O

D

Ответ: 12 .

№ 5 01 79

Диагонали ромба относятся как 2 : 9. Периметр ромба равен 170. Найдите высоту ромба.

Решение.

B

A

C

O

H

D

Ответ: 18 .

№ 53469

Сторона ромба равна 38, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Решение.

Радиус вписанной в ромб окружности, проведенный в точку касания с ромбом перпендикулярен стороне ромба.

Значит, диаметр окружности совпадает с высотой ромба.

B

Н

38

O

C

A

30 °

М

D

Ответ: 1 9.

№ 53 51 9

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 4,5. Найдите сторону ромба.

Решение.

Радиус вписанной в ромб окружности, проведенный в точку касания с ромбом перпендикулярен стороне ромба.

Значит, диаметр окружности совпадает с высотой ромба.

B

Н

O

A

C

30 °

4,5

М

D

Ответ: 18 .

Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2016 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

г. Радужный

Решение заданий №6 (прямоугольник) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/main

учитель математики Е.Ю. Семёнова

Прямоугольник

B

C

α

O

D

A

№ 5 4854

46

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 46.

Решение.

C

B

D

A

Ответ: 1 058.

№ 5 5804

Площадь прямоугольника равна 192. Найдите его большую сторону, если она на 4 больше меньшей стороны.

Решение.

C

B

х

х + 4

A

D

Ответ: 1 6.

№ 5 5 9 04

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 270, а отношение соседних сторон равно 2 : 15.

Решение.

C

B

2 х

15 х

A

D

Ответ: 102 .

№ 5 5 95 4

Периметр прямоугольника равен 76, а площадь 192. Найдите большую сторону прямоугольника.

Решение.

C

B

х





A

D

у

Ответ: 3 2 .

№ 5 6004

Периметр прямоугольника равен 26, а диагональ равна 12. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

C

B

2 6

х



A

D

у



Ответ: 1 2 ,5.

№ 5 6054

Периметр прямоугольника равен 68, а площадь равна 33,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

у

Решение.

C

B

х



A

D



Ответ: 33.

№ 27610

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.

C

D

A

B

Q

P

Ответ: 30 .

M

N

Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2016 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Решение заданий №8 Пирамида по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/main

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

№ 1

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 100, боковые ребра равны 130. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

S

130

h

D

С

50

Н

O

A

100

B

Ответ: 24 000.

2

№ 2

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 100, боковые ребра равны 130. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

S

13 0

M

D

E

F

C

O

50

Н

A

B

10 0

Ответ: 360 00.

3

№ 3

Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в десять раз?

Решение.

S

a

h

А

С

O

a

В

Ответ: 1000.

4

№ 4

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 30 и 40. Ее объём равен 16000. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение.

S

h

С

D

30

O

A

B

40

Ответ: 4 0.

5

№ 5

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10, а высота равна 10√3.

Решение.

S

А

С

O

10

H

В

Ответ: 250.

6

№ 6

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 20, а объём равен 10 00 √3.

Решение.

S

А

С

O

2 0

H

В

Ответ: 3 0.

7

№ 7

Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если ее высоту увеличить в пятнадцать раз?

Решение.

S

a

h

А

С

O

a

В

Ответ: 15.

8

№ 8

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 60, боковое ребро равно 100. Найдите ее объём.

Решение.

S

60

100

С

D

O

A

B

Ответ: 25600 0.

9

№ 9

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Решение.

S

9

D

С

60°

Р

Н

A

B

Ответ: 162 .

№ 10

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 0 . Найдите объём пирамиды.

S

Решение.

30

А

С

O

С

В

S

В

А

Ответ: 4 5 00 .

11

№ 11

Объём треугольной пирамиды SABC , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF , равен 1 0 . Найдите объём шестиугольной пирамиды.

Решение.

S

h

D

E

F

C

O

Ответ: 60 .

A

B

12

№ 12

Объём правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12 0 . Точка E  – середина ребра SB . Найдите объём треугольной пирамиды EABC .

Решение.

S

Е

h

С

D

O

Н

A

B

Ответ: 3 0.

13

№ 13

От треугольной пирамиды, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

S

Решение.

h

А

С

O

M

N

В

Ответ: 30 .

14

№ 1 4

Объём треугольной пирамиды равен 150. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение.

S

х

M

2 х

h

С

А

Н

O

В

Ответ: 10 0 .

15

№ 15

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в десять раз?

Решение.

S

a

h

А

С

O

a

В

Ответ: 1 00 .

16

№ 16

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 0 и высота равна 4 0 . 

Решение.

S

4 0

С

D

3 0

Н

O

6 0

B

A

Ответ: 420 0.

17

№ 17

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 0 и высота равна 4 0 .

Решение.

S

4 0

С

D

3 0

Н

O

6 0

B

A

Ответ: 60 0.

18

№ 1 8

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все её ребра увеличить в 10 раз?

Решение.

S

А

С

O

В

Ответ: 1 00 .

19

№ 1 9

Ребра тетраэдра равны 1 0 . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение.

S

Q

P

А

С

O

M

N

В

Ответ: 25.

20

№ 20

Найдите объём пирамиды, высота которой равна 60, а основание – прямоугольник со сторонами 30 и 40.

Решение.

S

60

С

D

30

O

A

B

40

Ответ: 2 4 0 0.

21

№ 21

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 120, объём равен 20 0 00. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Решение.

S

120

D

С

O

B

A

Ответ: 13 0.

22

№ 22

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 0 , боковое ребро равно 4 0 . Найдите объём пирамиды.

Решение.

S

4 0

D

E

F

C

O

A

B

2 0

Ответ: 12000.

23

№ 2 3

Объём правильной шестиугольной пирамиды 60 0 0. Сторона основания равна 10. Найдите боковое ребро.

Решение.

S

h

D

E

F

C

O

A

B

1 0

Ответ: 7 0.

24

№ 24

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 0 , а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.

Решение.

S

h

E

D

45°

C

F

O

Н

A

4 0

B

Ответ: 480 0.

25

№ 2 5

Объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12 0 . Найдите объём треугольной пирамиды B 1 ABC .

Решение.

D 1

C 1

B 1

A 1

C

D

B

A

Ответ: 2 0.

26

№ 2 6

Объём куба равен 12000. Найдите объём четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной – центр куба.

Решение.

C 1

D 1

A 1

B 1

М

C

D

A

B

Ответ: 2 0 00 .

27

№ 2 7

Объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 45 00 . Найдите объём треугольной пирамиды AD 1 CB 1 .

Решение ( см. анимацию )

C 1

D 1

B 1

A 1

C

D

B

A

Ответ: 15 00 .

28

№ 2 8

Объём тетраэдра равен 19 000 . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Решение.

S

М

P

N

С

А

В

Ответ: 9500 .

29

№ 2 9

Площадь поверхности тетраэдра равна 12 00 . Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Решение.

Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, площадь которого в 4 раза меньше площади одной грани тетраэдра.

Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников, поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 600 .

Ответ: 600 .

29

№ 30

Найдите объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , если объём треугольной пирамиды ABDA 1  равен 30.

Решение.

D 1

A 1

B 1

C 1

A

D

B

C

Ответ: 18 0.

31

№ 3 1

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 4 0 , AC = 6 0 . Найдите боковое ребро SC .

S

Решение.

4 0

3 0

С

D

3 0

O

A

B

Ответ: 5 0.

32

№ 32

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О  – центр основания, S – вершина, SA = 5 0 , AC = 6 0 . Найдите длину отрезка SO .

S

Решение.

5 0

3 0

С

D

3 0

O

A

B

Ответ: 4 0.

33

№ 33

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О  – центр основания, S – вершина, SO = 4 0 , SA = 5 0 . Найдите длину отрезка AC .

S

Решение.

5 0

4 0

D

С

O

B

A

Ответ: 6 0.

34

№ 3 4

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 50, сторона основания равна 30√2. Найдите объём пирамиды.

Решение.

S

h

5 0

D

С

O

A

B

Ответ: 2400 0.

35

№ 35

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1 0 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

S

Решение.

Q

P

N

M

С

D

O

1 0

A

B

Ответ: 2 5.

36

№ 3 6

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 50, а сторона основания равна 30√3. Найдите высоту пирамиды.

Решение.

S

5 0

h

А

С

O

В

Ответ: 40 .

37

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Решение задач С2

Пирамида

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

№ 1

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8.

S

Решение.

7

8

А

С

O

M

N

В

Ответ: .

2

№ 2

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S – вершина. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

S

Решение.

L

К

8

M

D

С

O

В

10

А

Ответ: .

3

№ 3

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36 ° . На ребре SC взята точка M так, что AM – биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.

S

Решение.

M

36 °

8

А

С

O

H

В

Ответ: .

4

№ 4

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S . Найдите площадь этого сечения, если все рёбра пирамиды равны 8.

S

Решение.

8

8

С

D

N

O

В

M

А

Ответ: .

5

№ 5

В пирамиде DABC известны длины рёбер: AB = AC = DB = DC = 13 см, DA = 6 см, BC = 24 см. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

Решение.

D

6

13

M

А

С

O

24

N

13

В

Ответ: 4 .

6

№ 6

В правильной треугольной пирамиде SABC точка S — вершина. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC , если SC = 6, AB = 4.

Решение.

S

K

6

L

M

С

В

O

H

4

А

Ответ: .

7

№ 7

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA = √ 5, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM , где M – середина ребра SC.

S

Решение.

S

√ 5

L

2

L

M

N

K

D

A

K

H

2

1

1

O

O

C

H

B

Ответ: 1 .

8

№ 7

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA = √ 5, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM , где M – середина ребра SC.

Решение.

S

L

2

K

H

1

1

O

Ответ: 1 .

9

№ 8

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точка E – середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD.

S

Решение.

1

E

С

D

O

1

В

А

Ответ: .

10

№ 9

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π / 3.

Решение.

S

π / 3

H

С

В

O

M

12

А

Ответ: 3 .

11

№ 10

Длины всех рёбер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M – середина бокового ребра пирамиды AP.

P

Решение.

M

L

N

A

D

O

В

C

Ответ: .

12

№ 11

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L – середина ребра MC, O – центр грани ABC .

Решение.

M

C

B

1

K

L

1

H

O

1

C

B

K

O

A

1

А

Ответ: .

13

№ 11

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L – середина ребра MC, O – центр грани ABC .

Решение.

C

B

1

K

H

O

1

A

Ответ: .

14

№ 1 2

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB = 6 √ 3, SC = 10. Точка N – середина ребра BC. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AT, где T – середина отрезка SN .

Решение.

S

10

T

C

A

O

H

6 √ 3

N

B

Ответ: .

15

№ 1 3

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB = 8 √ 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Решение.

S

M

17

C

A

H

O

8 √ 3

N

B

Ответ: .

16

№ 1 3

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.

Решение.

D

E

1

C

A

H

1

B

Ответ: .

17

№ 14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 3 √ 2, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM , где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.

S

Решение.

x

M

5

2 x

D

C

O

H

A

B

3 √ 2

Ответ: .

18

№ 15

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Решение.

S

2

M

D

E

F

C

O

A

B

1

Ответ: .

19

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

г. Радужный

Решение заданий №5 решение уравнений по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/Main.html

учитель математики Е.Ю. Семёнова

1. Найдите корень уравнения: 3 8 – x = 27.

Решение.

2. Найдите корень уравнения:

Решение.

3. Найдите корень уравнения:

Решение.

4. Найдите корень уравнения:

Решение.

5. Найдите корень уравнения: log 5 (13 + x) = log 5 8.

Решение.

6. Найдите корень уравнения:

Решение.

7. Найдите корень уравнения:

Решение.

8. Найдите корень уравнения:

Решение.

9. Найдите корень уравнения:

Решение.

10. Найдите корень уравнения:

Решение.

11. Найдите корень уравнения:

Решение.

12. Найдите корень уравнения:

Решение.

13. Найдите корень уравнения:

Решение.

14. Найдите корень уравнения:

Решение.

15. Найдите корень уравнения:

Решение.

16. Найдите корень уравнения:

Решение.

17. Найдите корень уравнения:

Решение.

18. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.

19. Найдите корень уравнения:

Решение.

20. Найдите корень уравнения:

Решение.

21. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.

22. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

23. Найдите корень уравнения:

Решение.

24. Найдите корень уравнения:

Решение.

25. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.

26. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.

27. Найдите корень уравнения:

Решение.

28. Найдите корень уравнения: .

Решение.

29. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.

30. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.

31. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наименьший положительный корень.

Решение.

31. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наименьший положительный корень.

Решение.

(продолжение следует)

31. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наименьший положительный корень.

Решение.

(продолжение)

32. Найдите корень уравнения:

Решение.

33. Найдите корень уравнения:

Решение.

34. Найдите корень уравнения:

Решение.

35. Найдите корень уравнения:

Решение.

36. Найдите корень уравнения:

Решение.

37. Найдите корень уравнения:

Решение.

38. Найдите корень уравнения:

Решение.

39. Найдите корень уравнения:

Решение.

40. Найдите корень уравнения:

Решение.

41. Найдите корень уравнения:

Решение.

42. Найдите корень уравнения:

Решение.

Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2016 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

г. Радужный

Решение заданий №7 свойства степени с натуральным показателем по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/Main.html

учитель математики Е.Ю. Семёнова

Свойства степени с натуральным показателем

• a n ∙ a m = a n + m
• a n : a m = a n − m , a ≠ 0
• (a n ) m = a nm
• (ab) n = a n ∙ b n
• (a : b) n = a n : b n , b ≠ 0

Задания открытого банка задач

1. Найдите значение выражения .

Решение.

2. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

3. Найдите значение выражения .

Решение.

4. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

5. Найдите значение выражения .

Решение.

6. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

7. Найдите значение выражения .

Решение.

8. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

9. Найдите значение выражения .

Решение.

10. Найдите значение выражения

Решение.

Задания открытого банка задач

11. Найдите значение выражения

при b = 2.

Решение.

Задания открытого банка задач

12. Найдите значение выражения

при b = 0,5.

Решение.

13. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

14. Найдите значение выражения

при b = 243.

Решение.

Задания открытого банка задач

15. Найдите значение выражения

при x = 25.

Решение.

Задания открытого банка задач

16. Найдите значение выражения .

Решение.

Задания открытого банка задач

17. Найдите значение выражения

при a = 12.

Решение.

Использованы материалы: