Ehtimolliklar haqida

A.A.Abdushukurov

EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA

Toshkent-2010

A.A.Abdushukurov

EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA

Toshkent-2010

Taqrizchilar:

fizika-matematika fanlari doctori Ya.M. Xusanboyev fizika-matematika fanlari doctori Sh.Sh.Shorahmetov

Mundarija

Ki ri s h … ……… … ………………………………………… … . ……….. 8

EHTIMOLLAR NAZARIYASI

I bob. Tasodifiy hodisalar

1.1 Ehtimollar nazariyasinig predmeti……………………………..

9

1.2 Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi………………….

11

1.3 Hodisalar ustida amallar………………………………………..

1.4 Tasodifiy hodisalar. Hodisalar algebrasi……………………….

11

14

1.5 Ehtimollikning statistik ta‘rifi…………………………………..

15

1.6 Ehtimollikning klassik ta‘rifi……………………………………

16

1.7 Ehtimollikning geometrik ta‘rifi………………………………..

20

1.8 Ehtimollikning aksiomatik ta‘rifi……………………………….

21

1.9 Ehtimollikning xossalari………………………………………..

22

1.10 Ehtimolliklar fazosi……………………………………………..

23

1.11 Shartli ehtimollik………………………………………………..

1.12 To‗la ehtimollik va Bayes formulalari…………………………

24

26

1.13 Bog‗liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi…………

27

1.14 Limit teoremalar………………………………………………..

30

I bobga doir misollar………………………………………………….

35

II bob. Tasodifiy miqdorlar

2.1 Tasodifiy miqdor tushunchasi…………………………………..

39

2.2 Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni………………….

2.3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari.………………………..

40

41

2.4 Zichlik funksiyasi va uning xossalari…………………………...

43

2.5 Tasodifiy miqdorning sonli xaraktiristikalari………………….

45

2.6 Ba‘zi muhim taqsimotlar………………………………………

49

II bobga doir misollar…………………………………………………

60

III bob. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar

3.1 Ko‗p o‗lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi

65

taqsimot funksiyasi……………………………………………..

3.2 Ikki o‗lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot

66

qonuni …………………………………………………………..

3.3 Ikki o‗lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va

uning xossalari…………………………………………………..

67

3.4 Ikki o‗lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va

uning xossalari …………………………………………………

70

3.5 Tasodifiy miqdorlarning bog‗liqsizligi ………………………..

75

3.6 Shartli taqsimot qonunlari ………………………………………

76

3.7 Ikki o‗lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari …

3.8 Ba‘zi muhim ikki o‗lchovli taqsimotlar ………………….…….

79

82

3.9 Xarakteristik funksiyalar va ularning xossalari…………………

89

III bobga doir misollar…………………………………………………

91

IV bob. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari

4.1 Bir argumentning funksiyalari…………………………………

4.2 Ikki argumentning funksiyalari…………………………………

95

IV bobga doir misollar………………………………………………..

99

103

V bob. Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari

5.1 Chebishev tengsizligi…………………………………………..

5.2 Katta sonlar qonuni. Chebishev va Bernulli teoremalari ………

105

5.3 Markaziy limit teorema…………………………………………

107

109

V bobga doir misollar…………………………………………………

111

MATEMATIK STATISTIKA

VI bob. Tanlanma va uning xarakteristikalari

6.1 Matematik statistika predmeti…………………………………..

113

6.2 Bosh va tanlanma to‗plam………………………………………

114

6.3 Empirik taqsimot funksiya……………………………………...

115

6.4 Gistogramma va poligon ……………………………………….

118

6.5 Tanlanma xarakteristikalari…………………………………….

120

VI bobga doir misollar………………………………………………..

121

VII bob. Noma’lum parametrlarni baholash

7.1 Statistik baholar va ularning xossalari …………………………

124

7.2 Nuqtaviy baholash usullari……………………………………..

127

7.3 Interval baholash………………………………………………..

130

VII bobga doir misollar……………………………………………….

137

VIII bob. Statistik gipotezalarni tekshrish

8.1 Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish

alomatlari va ularning xossalari ………………………………..

139

8.2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari………………………

142

8.3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari……………………………

8.4 Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik

145

gipotezalarni tekshirish………………………………………….

148

VIII bobga doir misollar………………………………………………

151

IX bob. Ko‘p o‘lchovli statistik tahlil usullari

9.1 Faktorli tahlil…………………………………………………..

9.2 Bosh komponentalar usuli……………………………………..

152

9.3 IX bobga doir misollar…………………………………………

154

158

Ilovalar……………………………………………………………….

Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………

159

163

Kirish

Ushbu o‗quv qo‗llanma muallifi ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini ko‗pgina oliy ta‘lim muassasalarida taxsil olayotgan talabalarga tushunarli bo‗lishi uchun engil shaklda bayon qilishni o‗z oldiga maqsad qilib oldi. Tuzilishi bo‗yicha o‗quv qo‗llanma uning nomiga moniy ravishda ikki qismga bo‗linadi: ―ehtimollar nazariyasi‖ va

― matematik statistika‖. Qo‗lllanma materiallarini bayon qilishda har bir tushuncha va mavzularga oid tipik masala va misollar keltirishga e‘tibor berilib, har bir bobning so‗ngida talabalar mustaqil ishlashlari uchun bir qator misollar to‗plami keltirilgandir. Muallif murakkab matematik hisoblarni chetlab o‗tish bilan bir qatorda ko‗rilayotgan masalalarning nazariy – ehtimoliy va statistik mohiyatiga chuqurroq e‘tibor berib o‗tgandir.

Ushbu qo‗llanmani ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani o‗qitilishi nazarda tutilgan barcha bakalavriat ta‘lim yo‗nalishlari hamda magistratura mutahassisliklariga tavsiya etish mumkin. Undan ilmiy tadqiqot izlanishlarida ham foydalanish mumkin.

I bob. Tasodifiy hodisalar

1.1 Ehtimollar nazariyasining predmeti

Ehtimollar nazariyasi ―tasodifiy tajribalar‖, ya‘ni natijasini oldindan aytib bo‗lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlatni o‗rganuvchi matematik fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o‗zgarmas (ya‘ni, bir xil) shartlar kompleksida hech bo‗lmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi. Bunday tajribalar har birining natijasi tasodifiy hodisa ro‗y berishidan iboratdir. Insoniyat faoliyatining deyarli hamma sohalarida shunday holatlar mavjudki, u yoki bu tajribalarni bir xil sharoitda ko‗p matra takrorlash mumkin bo‗ladi. Ehtimollar nazariyasini sinovdan-sinovga o‗tishida natijalari turlicha bo‗lgan tajribalar qiziqtiradi. Biror tajribada ro‗y berish yoki bermasligini oldindan aytib bo‗lmaydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi: tanganing gerb tomoni tushishi yoki tanganing raqam tomoni tushishi. Albatta, bu tajribani bir marta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan faqat bittasigina ro‗y beradi. Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jamiatda, ilmiy tajribalarda, sport va qimor o‗yinlarida kuzatishimiz mumkin. Umumlashtirib aytish mumkinki, tasodifiyat elementlarisiz rivojlanishni tasavvur qilish qiyindir. Tasodifiyatsiz umuman hayotning va biologik

yuzaga kelishini, insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy

turlarning faoli ya tini, b o ‗ l m a y di.

etib

sotsial-iqtisodiy tizimlarning rivojlanishini tasavvur

E hti m oll a r n aza r i ya s i e s a ay n a n m a na s h u nd a y tas o d i f i y

bog‗liqliklarning matematik modelini tuzish bilan shug‗illanadi. Tasodifiyat insoniyatni doimo qiziqtirib kelgandir. Shu sababli ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi amaliyot talablariga mos ravishda rivojlangan. Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlardan farqli o‗laroq nisbatan qisqa, ammo o‗ta shijoatlik rivojlanish tarixiga ega. Endi qisqacha tarixiy ma‘lumotlarni keltiramiz. Ommaviy tasodifiy hodisalarga mos masalalarni sistematik ravishda o‗rganish va ularga mos matematik apparatning yuzaga kelishi XVII asrga to‗g‗ri keladi. XVII asr boshida, mashhur fizik Galiley fizik o‗lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab, ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish, o‗lish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi ommaviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan sug‗urtalanishning umumiy nazariyasini yaratishga ham urinishlar bo‗lgan. Ammo, ehtimollar nazariyasi matematik ilm sifatida murakkab tasodifiy jarayonlarning

o‗rganishdan emas, balki eng sodda qimor o‗yinlarini tahlil qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtimollar nazariyasining paydo bo‗lishi XVII asr ikkinchi yarmiga mos keladi va u Paskal (1623- 1662), Ferma (1601-1665) va Gyuygens (1629-1695) kabi olimlarning qimor o‗yinlarini nazariyasidagi tadqiqotlari bilan bog‗liqdir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi katta qadam Yakov Bernulli (1654-1705) ilmiy izlanishlari bilan bog‗liqdir. Unga, ehtimollar nazariyasining eng muhim qonuniyati, deb hisoblanuvchi ―katta sonlar qonuni‖ tegishlidir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam de Muavr (1667-1754) nomi bilan bog‗liqdir. Bu olim tomonidan normal qonun (yoki normal taqsimot) deb ataluvchi muhim qonuniyat mavjudligi sodda holda asoslanib berildi. Keyinchalik, ma‘lum bo‗ldiki, bu qonuniyat ham, ehtimollar nazariyasida muhim rol‘ o‗ynar ekan. Bu qonuniyat mavjudligini asoslovchi teoremalar

― markaziy limit teoremalar‖ deb ataladi. Ehtimollar nazariyasi rivojlanishida katta hissa mashhur matematik Laplasga (1749-1827) ham tegishlidir. U birinchi bo‗lib ehtimollar nazariyasi asoslarini qat‘iy va

sistematik ravishda ta‘rifladi, markaziy limit teoremasining bir formasini isbotladi (Muavr-Laplas teoremasi) va ehtimollar nazariyasining bir necha

tadbiqlarini keltirdi. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi etarlicha darajada

oldinga siljish Gauss (1777-1855) nomi bilan bog‗liqdir. U normal qonuniyatga yanada umumiy asos berdi va tajribadan olingan sonli ma‘lumotlarni qayta ishlashning muhim usuli – ―kichik kvadratlar usuli‖ni yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini umumlashtirdi va ehtimollar nazariyasini o‗q uzish masalalariga qo‗lladi. Uning nomi bilan ehtimollar nazariyasida katta rol‘ o‗ynovchi taqsimot qonuni nomlangandir. XVII va XIX asrlar uchun ehtimollar nazariyasining keskin rivojlanishi va u bilan har tomonlama qiziqish xarakterlidir. Keyinchalik ehtimollar nazariyasi rivojiga Rossiya olimlari V.Ya. Bunyakovskiy (1804- 1889), P.L. Chebishev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), A.M.

Lyapunov (1857-1918), A.Ya. Xinchin (1894-1959), V.I. Romanovskiy ( 1 8 7 9 - 1 9 5 4), A . N. Kol m ogorov ( 1 9 0 3 - 1 9 8 7 ) va ula r n i n g s h o g i r d la r i

bebaho hissa qo‗shdilar. O‗zbekistonda butun dunyoga taniqli Sarimsokov (1915-1995) va S.X. Sirojiddinov (1920-1988) larning muhim rollarini

alohida ta‘kidlab o‗tish joizdir.

1.2 Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

Dastlab ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri

― tasodifiy hodisa‖ tushunchasini keltiramiz. Natijasini oldindan aytib bo‗lmaydigan tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsin. Bunday tajribalar ehtimollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi.

• Tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro‗y

berishi oldindan aniq bo‗lmagan hodisaga aytiladi.

Hodisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari A, B, C, …lar bilan belgilanadi.

• Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va 

orqali belgilanadi.

• Tajribaning natijasida ro‗y berishi mumkin bo‗lgan barcha elementar hodisalar to‗plami elementar hodisalar fazosi deyiladi va  orqali belgilanadi.

1.1-misol. Tajriba nomerlangan kub(o‗yin soqqasi)ni tashlashdan iborat bo‗lsin. U holda tajriba 6 elementar hodisadan hodisalar  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6

lardan iborat bo‗ladi.  i hodisa tajriba natijasida i ( i  1,2,3,4,5,6) ochko tushishini bildiradi. Bunda elementar hodisalar fazosi:   {1,2,3,4,5,6} .

• Tajriba natijasida albatta ro‗y beradigan hodisaga muqarrar hodisa

deyiladi.

Elementar hodisalar fazosi muqarrar hodisaga misol bo‗la oladi.

Aksincha, umuman ro‗y bermaydigan hodisaga mumkin bo‗lmagan hodisa deyiladi va u  orqali belgilanadi.

1.1-misolda keltirilgan tajriba uchun quyidagi hodisalarni kiritamiz:

A ={5 raqam tushishi}; B ={juft raqam tushishi}; C ={7 raqam tushishi}; D ={butun raqam tushishi};

Bu yerda A va B hodisalar tasodifiy, C hodisa mumkin bo‗lmagan va D

hodisa muqarrar hodisalar bo‗ladi.

1.3 Hodisalar ustida amallar

Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlarni keltiramiz:

• A va B hodisalar yig‘indisi deb, A va B hodisalarning kamida

B birgalikda) ro‗y berishidan

bittas i (y a ‘ n i yo ki A , y oki B , y oki A va

iborat С  A  B ( C  A  B ) hodisaga aytiladi.

B h o d isa l a r k o ‘ p a y tmas i d e b, A va

B h o d i s a lar i k k il a s i b e r i s h ida n i b orat

A va h a m ( y a ‘ n i

va birgalikda)ro‗y

B

A

C  A  B ( C  A  B ) h od i s a ga ay tiladi.

A hodisadan B hodisaning ayirmasi deb, A hodisa ro‗y berib, B hodisa ro‗y bermasligidan iborat C  A \ B ( C  A - B ) hodisaga aytiladi.

• A hodisaga qarama-qarshi A hodisa faqat va faqat A hodisa ro‗y

bermaganda ro‗y beradi(ya‘ni A hodisa A hodisa ro‗y bermaganda ro‗y beradi). A ni A uchun teskari hodisa deb ham ataladi.

• Agar A hodisa ro‗y berishidan B hodisaning ham ro‗y berishi kelib

chiqsa A hodisa B hodisani ergashtiradi deyiladi va A  B ko‗rinishida yoziladi.

• Agar A  B va B  A b o ‗ l s a , u hol d a A va B hod i s ala r ten g ( teng kuchli ) hodisalar deyiladi va A  B ko‗rinishida yoziladi.

1.2-misol. A , B va C -ixtiyoriy hodisalar bo‗lsin. Bu hodisalar orqali

quyidagi hodisalarni ifodalang: D ={uchchala hodisa ro‗y berdi}; E ={bu hodisalarning kamida bittasi ro‗y berdi}; F ={bu hodisalarning birortasi ham ro‗y bermadi}; G ={bu hodisalarning faqat bittasi ro‗y berdi}.

Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: D  A  B  C ( D  A  B  C ) ;

E  A  B  C ; F  A  B  C ; G  A  B  C  A  B  C  A  B  C .

Demak hodisalarni to‗plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash



To‗plamlar nazariyasidagi talqini

Ehtimollar nazariyasidagi talqini

Fazo (asosiy to‗plam)

 ,   

A , A  

Elementar hodisalar fazosi,

 fazo elementlari

A  B , A  B

A to‗plam

 elementar hodisa

muqarrar hodisa

A  B , A  B

A hodisa

A va B to‗plamlarning yig‗indisi, birlashmasi

A \ B , A  B

A va B hodi s a lar y i g ‗ indisi ( A va B ning kamida biri ro‗y berishidan iborat hodisa)

A va B to‗plamlarning kesishmasi



A va B hodisalar ko‗paytmasi

A t o ‗ pla m d a n

A

A ho d i s a d a n B ho d i s a n i ng ay i r m a si( A ning r o ‗y beri s h i,

( A va B ni n g bi r g a li k da r o ‗y berishidan iborat hodisa)

Bo‗sh to‗plam

B t o ‗ pla m ni n g ay i r m asi

Mumkin bo‗lmagan hodisa

A to‗plamga to‗ldiruvchi

B ning r o ‗y ber m a sligi d a n i b orat hodisa)

A ho d i s a ga t e sk a ri ho di s a ( A

A  B   ,

ning ri‘y bermasligidan iborat)

A  B  

A va B to‗plamlar kesishmaydi

A  B

A va B hodisalar birgalikda emas

A t o ‗ plam B ning q i s m i

A  B

A ho d i s a B ni e r g a s h tir a di

A va B to‗plamlar ustma- ust tushadi

A va B hodisalar teng kuchli

Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni 1-5 rasmlardagi shakllar kabi tasvirlash mumkin.

A -B

A  B

Ω

B



B

A

A

1-rasm.

2 -ras m .

A  B

A

Ā

A



B

A

3 -rasm.

4-rasm.

A  B

B



A

5-rasm.

Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:

A  B  B  A ;

• A  B  B  A ,

• ( A  B )  C  A  C  B  C , ;

• ( A  B )  C  A  ( B  C ) , ( A  B )  C  A  ( B  C ) ;

• A  A  A ,

• A     ,

• A  A   ,



• A  B  A  B ;

• A  B  A  B va A  B  A  B - de Morgan ikkilamchilik prinsipi.

A  A  A ;

A    A A    A ,

A  A   ;

A     ;

   , A  A ;

   ,

1.3-misol.

a) ( A  B )  ( A  B ) ifodani soddalashtiring. Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:

( A  B )  ( A  B )  A  A  A  B  B  A  B  B  A  A  ( B  B )    A  A   A  A  A

De m a k, ( A  B )  ( A  B )  A e k a n.

b) A  B  A  A  B f o r m ulani is b ot la ng.

A  B  ( A  B )    A    B    A    B  ( A  A )  A    ( A  A )  B 

 A    A  B  A  B  (   B )  A  A  B    A  A  B  A  A  B .

1.4 Tasodifiy hodisalar. Hodisalar algebrasi

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.

Natijasi tasodifiy bo`lgan biror tajriba o`tkazilayotgan bo`lsin.  -tajriba natijasida ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar to`plami elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi  esa elementar hodisa deyiladi.

• Agar  chekli yoki sanoqli to`plam bo`lsa (ya`ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo`lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to`plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A   .

 to`plamdagi A qism to`plamga tegishli elementar hodisalar A

hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.

•  to`plam muqarrar hodisa deyiladi.  - bo`sh to`plam mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi.

S -  ning qism to`plamlaridan tashkil topgan sistema bo`lsin.

• Agar

1 .   S ,   S ;

• A  S m uno s a b a t d a n A  S k e l i b c hi q s a ;

• A  S va B  S munosabatdan A  B  S , A  B  S kelib chiqsa S sistema algebra tashkil etadi deyiladi.

Ta‘kidlash joizki, A  B  A  B , A  B  A  B ekanligidan 3 shartdagi A  B  S

va A  B  S munosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.

1.4- m i sol. S    ,   si ste m a a l g e bra tas h k i l e tadi:      ,

    ,    ,    .

Agar 3 s h a rt o ` rni g a qu y i d a g i lar n i ta lab qi l s a k A n  S , n  1 , 2 , . .. ,

 

munosabatdan ∪ A n  S , ∩ A n  S kelib chiqsa S sistema  -algebra deyiladi.

n  1

n  1

Agar  c h e kli y oki

s a n o qli b o ‗ l s a ,  -t o ` p la m ni n g b a rcha q i sm

to`plamlaridan tashkil topgan hodisalar sistemasi algebra tashkil etadi.

1.5 Ehtimollikning statistik ta’rifi

A hodisa n ta bog‗liqsiz tajribalarda n A marta ro‗y bersin. n A son A

n A

hodisaning chastotasi, deyiladi.

munosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi

n

Nisbiy chastotaning statistik turg‗unlik xossasi deb ataluvchi xossasi mavjud, ya‘ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi ma‘lum qonuniyatga ega bo‗ladi va biror son atrofida tebranib turadi.

Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga A ={Gerb} tomoni bilan tushishi hodisasini qaraylik. Byuffon va K.Pirsonlar

tomonidan o‗tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jadvalda keltirilgan:

Tajriba

o‗tkazuvchi

Tajribalar soni, n

Byuffon

Tushgan gerblar

K.Pirson

4040

K.Pirson

12000

2048

soni, n A

Nisbiy chastota,

6019

24000

0.5080

n A /n

12012

0.5016

0.5005

Jadvaldan ko‗rinadiki, n ortgani sari n A /n nisbiy chastota 1  0.5 ga

2

yaqinlashar ekan.

• Agar tajribalar soni etarlicha ko‗p bo‗lsa va shu tajribalarda biror A hodisaning nisbiy chastotasi biror o‗zgarmas son atrofida tebransa, bu songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi.

A hodisaning ehtimolligi P(A) simvol bilan belgilanadi. Demak,

li m n A  P ( A ) y oki ye tarl i c ha katta n lar uch u n n A  P ( A ) .

n  n

n

S tatis t ik e h t i m o l li k ning k a m c hili g i s hu n d a n i bora t ki, bu ye r d a

statistik ehtimollik yagona emas. Masalan, tanga tashlash tajribasida ehtimollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni ham olishimiz mumkin. Ehtimollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar o‗tkazishni talab qiladi, bu esa amaliyotda ko‗p vaqt va xarajatlarni talab qiladi.

Statistik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:

1 . 0  P ( A )  1 ;

2 . P (  )  0 ;

3 . P (  )  1 ;

4. A  B   bo‗lsa, u holda P ( A  B )  P ( A )  P ( B ) ;

 n  0  n A  1 .

Isboti. 1) Ihtiyoriy A hodisaning chastotasi uchun 0  n

A

n

n

0  P ( A )  1 b o ‗ ladi.

E tarl i c ha katta n lar uch u n  P ( A ) b o ‗ l g a ni u ch un

n A

• Mumkin bo‗lmagan hodisa uchun n A =0.
• Muqarrar hodisaning chastotasi n A = n.
• Agar A  B   b o ‗ l s a , u h ol d a n A  B  n A  n B va

P ( A  B )  n A  B  n A  n B  n A  n B  P ( A )  P ( B ) .

n n n n

■

1.6 Ehtimollikning klassik ta’rifi

 chekli n ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo‗lsin.

• A h o d i s a n i ng e hti m o l l i g i d e b, A hod i s a ga qula y lik ya rat u v c hi elementar hodisalar soni k ning tajribadagi barcha elementar hodisalar soni

n ga nisbatiga aytiladi.

( 1 .6.1)

P ( A )  N ( A )  k

N (  ) n

Klassik ta‘rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba‘zi elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo‗shish va ko‗paytirish qoidasi deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud.

A  { a 1 , a 2 ,..., a n } va B  { b 1 , b 2 ,..., b m } chekli to‗plamlar berilgan bo‗lsin.

• Qo‘shish qoidasi: agar A to‗plam elementlari soni n va B to‗plam elementlari soni m bo‗lib, A  B   ( A va B to‗plamlar kesishmaydigan) bo‗lsa, u holda A  B to‗plam elementlari soni n+m bo‗ladi.

• Ko‘paytirish qoidasi: A va B to‗plamlardan tuzilgan barcha ( a i , b j )

juftliklar to‗plami C  {( a i , b j ) : i  1, n , j  1, m } ning elementlari soni n  m

bo‗ladi.

n ta elementdan m ( 0  m  n )tadan tanlashda ikkita sxema mavjud: qaytarilmaydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxemada olingan elementlar qayta olinmaydi(orqaga qaytarilmaydi), ikkinchi sxemada esa har bir olingan element har qadamda o‗rniga qaytariladi.

I. Qaytarilmaydigan tanlashlar sxemasi

• Guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( 0  m  n )tadan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:

n !

( 1 .6.2)

C m 

n

m ! ( n  m )!

С sonlar Nyuton binomi formulasining koeffisientlaridir:

m

n

n

2 n  2 2

n n 1 n  1

.

( p  q )  p  C p q  C p q  .. .  q

n

n

• O ‘ r i n l a s h t i rish l a r s o n i: n ta e le m ent d an m ( 0  m  n ) tadan o‗rinlashtirishlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:

n !

. ( 1 .6.3)

A m 

n

( n  m )!

• O‘rin almashtirishlar soni: n ta elementdan n tadan o‗rinlashtirish o‗rin almashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi:

P n  n ! .

( 1 .6.4)

O‗rin almashtirish o‗rinlashtirishning

x u s u s iy h o li d i r , c hunki a g a r

n !

(1.6.3.)da n=m bo‗lsa

 n !  n ! bo‗ladi.

m

A 

n

( n  m ) ! 0 !

II. Qaytariladigan tanlashlar sxemasi

• Qaytariladigan guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( 0  m  n ) tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:

m

m

( 1 .6.5)

C  С

n

n  m  1

• Qaytariladigan o‘rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m ( 0  m  n ) tadan q ay tari l a d i g a n o ‗ r i nlas h tir is h lari s oni q u y i d a gi f o r m ula orqali hisoblanadi:

m

. ( 1 .6.6)

m

A  n

n

• Qaytariladigan o‘rin almashtirishlar soni: k hil n ta elementdan iborat to‗plamda 1-element n 1 marta, 2-element n 2 marta,…, k- element n k

marta qaytarilsin va bo‗lsin, u holda n ta elementdan

n 1  n 2  .. .  n k  n

iborat o‗rin almashtirish P n ( n 1 , n 2 ,..., n k ) orqali belgilanadi va u quyidagicha hisoblanadi:

n !

P n ( n 1 , n 2 ,... , n k ) 

. ( 1 .6.4)

n ! n !... n !

1 2 k

Endi ehtimollik hisoblashga doir misollar keltiramiz.

1.5-misol. Telefon nomerini terayotganda abonent oxirgi ikki raqamni eslay olmadi. U bu raqamlar har xil ekanligini eslab, ularni tavakkaliga terdi. Telefon nomeri to‗g‗ri terilganligi ehtimolligini toping.

Oxirgi ikki raqamni A usul bilan terish mumkin. A ={telefon nomeri

2

10

to‗g‗ri terilgan} hodisasini kiritamiz. A hodisa faqat bitta elementdan iborat bo‗ladi(chunki kerakli telefon nomeri bitta bo‗ladi). Shuning uchun klassik

1 1

 1  0.011 .

ta‘ri f ga k o ‗ ra P ( A )  N ( A ) 



A 2

N (  )

1 0  9 90

10

1.6-misol. 100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli bo‗lsin.

T a v a kk a liga o l in ga n

10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo‗lishi

ehtimolligini toping.

C 10

100 ta lotoreya biletlaridan 10 tasini

usul bilan tanlash mumkin.

10 0

B ={10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo‗lishi } hodisasi bo‗lsa,

N ( B ) C 1  C 9 1

 1 99 

va P ( B ) 

 0 . 1 .

N ( B )  C 1  C 9

C 10

1 99

N (  )

10

1 0 0

1.7-misol. Pochta bo‗limida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta otkritkadan: a) 4 tasi bir xilda; b) 4 tasi turli xilda bo‗lishi ehtimolliklarini toping.

6 xil otkritkadan 4 tasini C usul bilan tanlash mumkin. a) A ={4 ta

4

6

bir xildagi otkritka sotilgan} hodisasi bo‗lsin. A hodisaning elementar hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng, ya‘ni N(A) =6. Klassik

6 6  1



P ( A )  N ( A ) 

ta‘rifga ko‗ra

bo‗ladi. b) B={4 ta har xil

C 4

N (  )

1 2 6 21

6

otkri t ka s o ti l g a n} h o d i s a s i b o ‗ l s i n, u h o l d a

ga t e ng va

N( B )  C 4

6

C 4

1 5 5

N ( B )

 6 

 .

P ( B ) 

C 4

1 26 42

N (  )

6

Klassik ehtimollik quyidagi xossalarga ega: 1. P (  )  0 ;

2 . P (  )  1 ;

3 . 0  P ( A )  1 ;

• Agar A  B   b o ‗ l s a , u h o ld a P ( A  B )  P ( A )  P ( B ) ;

•  A , B   u c hun P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B )

Isboti. 1) N (  )  0 bo‗lgani uchun klassik ta‘rifga ko‗ra P (  )  N (  )  0 .

N (  )

2) Kla ss i k t a ‘ r i f ga k o‗ ra P (  )  N (  )  1 .

N (  )

3) Ihtiyoriy A hodisa uchun   A   ekanligidan 0  P ( A )  1 bo‗ladi.

4) A g a r A  B   b o ‗ l s a , u ho l da va

N ( A  B )  N ( A )  N ( B )

P ( A  B )  N ( A  B )  N ( A )  N ( B )  N ( A )  N ( B )  P ( A )  P ( B ) .

N (  ) N (  ) N (  ) N (  )

5 ) A  B va shaklida

B hodisalarni birgalikda bo‗lmagan ikki hodisalar yig‗ndisi

yozib olamiz:

B  B    B  ( A  A )  A  B  B  A , u h ol d a 4 -

A  B  A  B  A ( 1.3  m i s o l ),

xo s s a ga k o ‗ ra va P ( B )  P ( A  B )  P ( B  A ) . B u i k k i

P ( A  B )  P ( A )  P ( B  A )

ten g l i kd a n P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B ) k e lib c hi q a di. ■

1.7 Ehtimollikning geometrik ta’rifi

Ehtimolning klassik ta‘rifiga ko‗ra  - elementar hodisalar fazosi

chekli bo‗lgandagina hisoblashimiz mumkin. Agar

i m koniy a tli e l e m entar h o d i s a lar d a n tas h k i l t o p g a n b o ‗ l s a , g e o m e t r ik

 c h e k s iz teng

ehtimollikdan foydalanamiz.

O ‗ lch o v li bi r or G s oha b e r i l g a n bo‗lib, u D sohani o‗z ichiga olsin. G sohaga tavakkaliga tashlangan X nuqtani D sohaga tushishi ehtimolligini hisoblash masalasini ko‗ramiz. Bu yerda X nuqtaning G sohaga tushishi muqarrar va D sohaga tushishi tasodifiy hodisa

6 -ras m .

bo‗ladi. A  { X  D } -X nuqtaning D sohaga

tushishi hodisasi bo‗lsin.

• A hodisaning geometrik ehtimolligi deb, D soha o‗lchovini G soha o‗lchoviga nisbatiga aytiladi, ya‘ni

P ( A )  m e s { D } ,

mes { G }

bu yerda mes orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.

1.8-misol. l uzunlikdagi sterjen tavakkaliga tanlangan ikki nuqtada bo‗laklarga bo‗lindi. Hosil bo‗lgan bo‗laklardan uchburchak yasash mumkin bo‗lishi ehtimolligini toping.

Birinchi bo‗lak uzunligini x , ikkinchi bo‗lak uzunligini y bilan belgilasak, uchinchi bo‗lak uzunligi l-x-y

b o ‗ ladi. B u ye r d a   {( x , y ) : 0  x  y  l } ,

ya‘ni 0  x  y  l sterjenning bo‗laklari uzunliklarining barcha bo‗lishi mumkin

bo‗lgan b o ‗ lakl a r d a n

kombinatsiyasidir. uchburchak

B u ya s a s h

mumkin bo‗lishi uchun quyidagi shartlar

b a jari l ishi k e rak:

x  y  l  x  y ,

x  l  x  y  y , y  l  x  y  x .

7 -ras m .

Bulardan x  l , ekanligi kelib chiqadi.

y  l , x  y  l

2 2 2

Bu tengsizliklar 7-rasmdagi bo‗yalgan sohani bildiradi. Ehtimollikning geometrik ta‘rifiga ko‗ra:

1  l  l

P ( A )  mes { A }  2 2  1 .

2

m e s { G } 4

1  l  l

2

1.9-misol. (Uchrashuv haqida)

Ikki do‗st soat 9 bilan 10 orasida uchrashishga kelishishdi. Birinchi kelgan kishi do‗stini 15 daqiqa davomida kutishini, agar shu vaqt mobaynida do‗sti kelmasa u ketishi mumkinligini shartlashib olishdi. Agar ular soat 9 bilan 10 orasida ixtiyoriy momentda kelishlari mumkin bo‗lsa, bu ikki do‗stning uchrashishi ehtimolini toping.

B i r i n c hi k i s h i k e l g a n m om e nt n i x ,

ikkinchisinikini y bo‗lsin:

0  x  60 , 0  y  60 U holda ularning

u c h rashis h lari u c hun

x  y  15

tengsizlik bajarilishi kerak.

De m a k,   { ( x , y ) : 0  x  6 0 , 0  y  6 0 } ,

A  { ( x , y ) : x  y  1 5 } . x va y lar n i D e k a r t



tekisligida

koordinatalar tasvirlaymiz(8-rasm). U holda

6 0 2  2  1  4 5  45

2

P ( A )  m e s { A } 

 7 .

mes { G }

16

60 2

8-rasm.

1.8 Ehtimollikning aksiomatik ta’rifi

E hti m oll a r n aza r i y a s i n i a k s i o m a tik qu r i s h d a A . N. Kol m ogorov tomonidan 30-yillarning boshlarida asos solingan.

 - biror tajribaning barcha elementar hodisalar to‗plami, S -hodisalar algebrasi bo‗lsin.

• S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi P ( A ) fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o‗rinli bo‗lsa:

A1: ihtiyoriy hodisaning ehtimolligi manfiy emas

A  S P ( A )  0

(nomanfiylik aksiomasi);

A2: m uq a r r a r ho d i s a n i ng eh ti m o l l i g i bi r ga te n g

P (  )  1

(normallashtirish aksiomasi);

A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‗lmagan hodisalar yig‗indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig‗indisiga teng, ya‘ni agar A i  A j   , i  j bo‗lsa, u holda

P ( ∪ A k )   P ( A k )

k k

(additivlik aksiomasi);

(  , S , P )

hodisalar fazosi,

u c hlik e hti m oll i k fa z o s i d ey il a di, bu ye r d a  - e l e m e ntar

S -hodisalar algebrasi, P - A1-A3 aksiomalarni

qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.

1.9 Ehtimollikning xossalari

Kolmogorov aksiomalarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz:

• Mumkin bo‗lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng

P (  )  0 .

• Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig‗indisi birga teng

P ( A )  P ( A )  1 .

• Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o‗rinli:

0  P ( A )  1

• Agar A  B b o‗ l sa , u h o ld a P ( A )  P ( B ) .
• Agar birgalikda bo‗lmagan A 1 , A 2 ,..., A n hodisalar to‗la gruppani

tashkil etsa, ya‘ni ∪ A i   va A i  A j   , i  j bo‗lsa u holda

i  1

n

n

 P ( A i )  1 .

i  1

Isboti:

• A    A , A    tengliklardan A3 aksiomaga ko‗ra

P ( A )  P (  )  P ( A )  P (  )  0

• A  A   A  A   tengliklardan P ( A )  P ( A )  P (  ) hamda A2 va A3 aksiomalardan esa P ( A )  P ( A )  1 tenglik kelib chiqadi.

• 2-xossaga ko‗ra P ( A )  1  P ( A ) va A1 aksiomaga asosan 0  P ( A )  1 .

• A  B e k a nlig i d a n B  ( B  A )  A va ( B  A ) A   . A3 a k s i o m a ga k o ‗ r a

P ( B )  P ( B  A )  P ( A ) , ammo P ( B  A )  0 bo‗lgani uchun P ( A )  P ( B ) .

• A 1  A 2  ...  A n   tenglik, A2 va A3 aksiomalarga ko‗ra

P ( A 1  A 2  ...  A n )  P ( A 1 )  P ( A 2 )  ...  P ( A n ) . ■

1.10 Ehtimolliklar fazosi

Elementar hodisalar fazosi cheksiz bo‗lsin:   {  1 ,  2 ,...,  n ,...} . S esa

 ning barcha qism to‗plamlaridan tashkil topgan hodisalar algebrasi bo‗lsin. Har bir  i   , i  1,2,... elementar hodisaga p (  i ) sonni mos qo‗yamiz. p (  i ) -elementar hodisaning ehtimoli deyiladi. Demak,  da

quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonli p (  i ) funksiya kiritamiz:

1.   i   , P (  i )  0 ;

2.  p (  i )  1 .

i  1

U holda A  hodisaning ehtimolligi yig‗indi shaklida ifodalanadi:



P ( A )   P (  i )

 i  A

( 1 .1 0 .1)

Ehtimollikni bunday aniqlash Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:

1. P ( A )   P (  i )  0 , c hunki h a r bir P (  i )  0 ;

 i  A

2. P (  )   p (  i )   p (  i )  1 ;

n

 i  i  1

3. Agar A  B   b o‗ l sa , u h o l d a

P ( A  B )   p (  i )   p (  i )   p (  i )  P ( A )  P ( B ) .

 i  A  B  i  A  i  B

Bunday aniqlangan {  , S , P } uchlik ehtimolliklar fazosi(yoki diskret ehtimolliklar fazosi) deyiladi.

Agar   {  1 ,  2 ,...,  n } - chekli fazo va tajribadagi barcha elementar

hodisalar teng imkoniyatli bo‗lsa, ya‘ni

p (  )  p (  )  .. .  p (  )  1 ,

( 1 .1 0 . 2 )

1 2 n

n

u holda (1.10.1) formula quyidagi ko‗rinishga ega bo‗ladi:

P ( A )   p (  )  1  1  .. .  1  m

(1.10.3)

n .

i

 n – – n  – –  n

m

  A

i

Bu yerda m A hodisaga tegishli elementar hodisalar soni. Bu esa ehtimollikni klassik ta‘rifga ko‗ra hisoblashdir. Demak, klassik ehtimol (1.10.1) formula orqali aniqlangan ehtimollikning xususiy holi ekan.

1.11 Shartli ehtimollik

A va B hodisalar biror tajribadagi hodisalar bo‗lsin.

• B hodisaning A hodisa ro‗y bergandagi shartli ehtimolligi deb,

P ( A  B )

( 1 .1 1 .1)

( P ( A )  0)

P ( A )

nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni P ( B / A ) orqali belgilaymiz.

Shartli ehtimollik ham Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi: 1. P ( B / A )  0 ;

2. P (  / A )  P (   A )  P ( A )  1 ;

P ( A ) P ( A )

3. Agar B  C   b o ‗ l s a , u h o l d a

P (( B  C ) / A )  P (( B  C )  A )  P ( B  A  C  A )  P ( B  A )  P ( C  A ) 

P ( A ) P ( A ) P ( A )

 P ( B  A )  P ( C  A )  P ( B / A )  P ( C / A ), P ( A ) P ( A )

chunki B  C   ekanligidan, ( B  A )  ( C  A )  B  A  A  C  B  C  A   A  

1.10-misol. Idishda 3 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga ketma-ket bittadan 2 ta shar olinadi. Birinchi shar oq rangda bo‗lsa ikkinchi sharning qora rangda bo‗lishi ehtimolligini toping.

Bu misolni ikki usul bilan yechish mumkin:

1) A ={birinchi shar oq rangda}, B ={ikkinchi shar qora rangda}. A hodisa ro‗y berganidan so‗ng idishda 2 ta oq va 7 ta qora shar qoladi. Shuning

u c hun P ( B / A )  7 .

9

formuladan

P ( A )  3 ,

2) (1.11.1)

foydalanib,

hisoblaymiz:

10

P ( A B )  3  7  7

1 0 9 30

Shartli ehtimollik formulasiga ko‗ra: P ( B / A )  P ( A  B )  7 / 30  7 .

P ( A ) 3 /10 9

Shartli ehtimollik formulasidan hodisalar ko‗paytmasi ehtimolligi uchun ushbu formula kelib chiqadi:

(1.11.2)

P ( A  B )  P ( A )  P ( B / A )  P ( B )  P ( A / B )

(1.11.2) tenglik ko‗paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi. Bu qoidani n ta hodisa uchun umumlashtiramiz:

P ( A 1  A 2  ...  A n )  P ( A 1 )  P ( A 2 / A 1 )  P ( A 3 / A 1 A 2 )...  P ( A n / A 1 A 2 ... A n  1 ) . (1.11.3)

• Agar P ( A / B )  P ( A ) tenglik o‗rinli bo‗lsa, u holda A hodisa

B hodisaga bog‗liq emas deyiladi va A  B orqali belgilanadi.

Agar A  B b o ‗ l s a , u ho l da ( 1 . 1 1.2) f or m ulani qu y i d agic ha y o z i sh mumkin:

P ( A  B )  P ( B )  P ( A / B )  P ( B )  P ( A ) .

• A va B hodisalar o‗zaro bog‗liq emas deyiladi, agar

P ( A  B )  P ( A )  P ( B )

munosabat o‗rinli bo‗lsa.

L em m a. Agar A  B b o ‗ l s a , u h o l d a A  B , A  B va A  B b o ‗ ladi.

Isboti: A  B bo‗lsin. U holda munosabat o‗rinli

P ( A  B )  P ( A )  P ( B )

bo‗ladi. P ( B )  P ( B )  1 tenglikdan foydalanib, quyidagiga ega bo‗lamiz:

P ( A  B )  P ( A  (   B ))  P ( A   A  B )  P ( A  A  B )  P ( A )  P ( A  B ) 

 P ( A )  P ( A )  P ( B )  P ( A )  ( 1  P ( B ) )  P ( A )  P ( B ).

Demak, P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  A  B . Qolganlari ham xuddi shunday isbotlanadi. ■

1.12 To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

h od i s a lar t o ‗ la

i  j . U holda

bo‗lmagan

A 1 , A 2 ,..., A n juft-jufti bilan birgalikda

A i  A j   ,

n

∪ A i   va

gruppani tashkil etsin, ya‘ni

i  1

ol i b, B ni k o ‗ r i n ish d a y o za m i z .

ekanligini hisobga

A 1  A 2  .. .  A n  

B  B    B  ( A 1  A 2  .. .  A n )  B  A 1  B  A 2  .. .  B  A n

A i  A j   , i  j ekanligidan ( B  A i )  ( B  A j )   , i  j ekani kelib chiqadi. B

hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:

P ( B )  P ( B  A 1  B  A 2  .. .  B  A n ) 

 P ( B  A 1 )  P ( B  A 2 )  .. .  P ( B  A n ) .

( 1 .1 2 .1)

K o ‗ p ay tir is h q oi d a s i g a k o ‗ ra tenglikni (1.12.1) ga qo‗llasak,

b o ‗ l a di. B u

P ( B  A i )  P ( A i )  P ( B / A i ) , i  1 , n

P ( B )  P ( A 1 ) P ( B / A 1 )  P ( A 2 ) P ( B / A 2 )  ...  P ( A n ) P ( B / A n ) .

• Agar B   A i b o ‗ l s a , u h o ld a

i  1

n

n

P ( B )   P ( A i ) P ( B / A i )

i  1

( 1 .1 2 .2)

tenglik o‗rinli bo‗ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulas i deyiladi.

1.11-masala. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‗lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02

ga teng bo‗lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‗lish ehtimolligini toping.

A i = {d e tal i - i sh c hi t o m oni d a n ta yy or l a ng a n} i  1 , 3 , B = {tek s hi r ish

u c hun o li n g a n de tal s i f a t siz} ho d i s a la r n i k i r it a m iz va q u y i d a gi ehtimolliklarni hisoblaymiz:

P ( A )  2 5 %  0 . 2 5 , P ( A )  3 5 %  0 . 3 5 , P ( A )  4 0 %  0 . 4 ,

3

1 2

10 0 %

10 0 % 10 0 %

P ( B / A 3 )  0.02 . To‗la ehtimollik

P ( B / A 1 )  0. 0 5 , P ( B / A 2 )  0 . 0 4 ,

formulasiga asosan P ( B )  0.25  0.05  0.35  0.04  0.4  0.02  0.0345 .

A i va B hodisalar ko‗paytmasi uchun

P ( A i  B )  P ( B )  P ( A i / B ) P ( A i  B )  P ( A i )  P ( B / A i )

( 1 .1 2 .3)

( 1 .1 2 .4)

tengliklar o‗rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz:

P ( B )  P ( A i / B )  P ( A i )  P ( B / A i ) ,

P ( A i ) P ( B / A i )

P ( A / B ) 

. ( 1 .1 2 .5)

i

P ( B )

n

P ( B )   P ( A i ) P ( B / A i ) .

Bu yerda (1.12.5) tenglik Bayes formulasi

i  1

deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar A 1 , A 2 ,..., A n hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda P ( A i ) ehtimollik A i gipotezaning aprior(―a priori‖ lotincha tajribagacha), P ( A i / B ) shartli

ehtimollik esa aposterior(―a posteriori‖ tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi.

1.12-masala. 1.11-misolda sifatsiz detal ikkinchi ishchi tomonidan tayyorlangan bo‗lishi ehtimolligini toping. Bayes formulasiga ko‗ra:

P ( A / B )  0 . 3 5  0 . 04  28  0 . 4 .

2

0 . 2 5  0 . 05  0 . 3 5  0 . 04  0 . 4  0 . 02 69

1.13 Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi

Agar bir necha tajribalar o‗tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‗liq bo‗lmasa, bunday tajribalar bog‗liqsiz tajribalar deyiladi.

n ta bog‗liqsiz tagribalar o‗tkazilayotgan bo‗lsin. Har bir tajribada A

hodisaning ro‗y berish ehtimolligi P ( A )  p va ro‗y bermasligi ehtimolligi

P ( A )  1  p  q b o ‗ l s i n .

Masalan, 1) nishonga qarata o‗q uzish tajribasini ko‗raylik. Bu yerda A ={o‗q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va A ={o‗q nishonga tegmadi}- muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A ={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va A ={mahsulot sifatsiz}- muvaffaqqiyatsizlik bo‗ladi.

Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi  faqat ikki

e l e m e nt d a n i b orat b o ‗ ladi:   {  0 ,  1 }  { A , A } , bu e r d a  0 - A hod i sa r o ‗ y bermasligini,  1 - A hodisa ro‗y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.

Agar n ta tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2 n ga teng bo‗ladi. Masalan, n=3 da

  {  0 ,  1 ,...,  7 }  { AAA , AAA , AAA , AAA , AAA , AAA , AAA , AAA } , ya‘ni 

to‗plam 2 3 =8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir ehtimolligini ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra hisoblash mumkin:

hodisaning

p (  0 )  P ( A A A )  P ( A ) P ( A ) P ( A )  q ,

3

p (  1 )  P ( A A A )  P ( A ) P ( A ) P ( A )  p q ,

2

........ . ....... . ....... . ....... . ....... . ....... . ...

p (  7 )  P ( AA A )  P ( A ) P ( A ) P ( A )  p .

3

n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‗y berish ehtimolligini hisoblaylik:

P n ( m )  P (  A  – A   . – ..   A   A  – A   . – ..   A )  P ( A  A  – A   . – ..   A   A  – A   . – ..   A )  ... 

mta ( n  m ) ta mta ( n  ( m  1)) ta

P (  A  – A   . – ..   A   A  – A   . – ..   A  A )  P (  A  – A   . – ..   A   A  – A   . – ..   A ).

( n  ( m  1)) ta mta ( n  m ) ta mta

p m q n  m

Har bir qo‗shiluvchi ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra Demak,

ga teng.

m  0 ,1 ,.. . n

P ( m )  p m q n  m  p m q n  m  ...  p m q n  m  C m p m q n  m ,

.

––––––––––

n

n

C m ta qo ' shiluvchi

n

• Agar n ta bo‗g‗liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi p ga, ro‗y bermasligi q ga teng bo‗lsa, u holda A hodisaning m marta ro‗y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‗ladi:

m  0 , 1 ,.. . n .

P ( m )  C m p m q n  m ,

( 1 .1 3 . 1 )

n n

(1.13.1) formula Bernulli formulasi deyiladi. P n ( m ) ehtimolliklar uchun

 P n ( m )  1 tenglik o‗rinlidir. Haqiqatan ham,

m  0

n

( q  px ) n  q n  C 1 q n  1 px  C 2 q n  2 p 2 x 2  ...  p n x n

n n

N y ut o n b i no m i fo r m ulasi d a x  1 d e b o l s a k,

n n 1 n  1 2 n  2 2 n

, ya‘ni

( q  p )  q  C q p  C q p  .. .  p

n n

1  P n (0)  P n (1)  ...  P n ( n )   P n ( m ) bo‗ladi.

m  0

(1.13.1) ehtimolliklar xossalari:

1.  P n ( m )  1 .

n

n

m  0

m 2

• Agar m 1  m  m 2 b o ‗ l s a , P n ( m 1  m  m 2 )   P n ( m ) .

m  m 1

• n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro‗y berishi ehtimolligi P  1  q n bo‗ladi.

C hu n ki, P ( 0 )  1  q .

n

P ( 0 )  P (1 )  . . .  P ( n )  1  P  1 

 n – –  – – n 

n

n

P

4. Agar P n ( m ) ehtimollikning eng katta qiymati P n ( m 0 ) bo‗lsa, u holda m 0

qu y i d ag icha a ni q la n a di: m 0 - e ng eh ti m olli s on deyiladi va

n p  q  m 0  ( n  1 ) p ,

• agar np-q kasr son bo‗lsa, u holda m 0 yagonadir;

• agar np-q butun son bo‗lsa, u holda m 0 ikkita bo‗ladi.

1.13-misol. Ikki teng kuchli shaxmatchi shaxmat o‗ynashmoqda. Qaysi hodisaning ehtimolligi katta: 4 ta partiyadan 2 tasida yutishmi yoki 6

ta partiyadan 3 tasida yutish. Birinchi holda: n =4, m =2, p = 1 , Bernulli

2

1  4  2

1 1 6

 1  2 

formulasiga ko‗ra

.

2

P ( 2 )  C   1 

 6   





2 2 2 2

va Bernulli formulasiga ko‗ra

4

2 

16

4  2  

I k k i n c hi h ol d a n = 6, m = 3, p = 1

2

1  6  3

6 5

1 1 5

 1  3 

  P 4 ( 2)  P 6 ( 3 ) . Dem a k, 4

.

3

 2 0   

P (3)  C   1 





2 3 2 3

6

2  16 16 16

6  2  

ta partiyadan 2 tasida yutish ehtimolligi katta ekan.

1.14 Limit teoremalar

Agar n va m lar katta sonlar bo‗lsa, u holda Bernulli formulasidan foydalanib, P n ( m ) ehtimollikni hisoblash qiyinchilik tug‗diradi. Xuddi shunday, p ( q ) ehtimollik juda kichik qiymatlar qabul qilsa ham qiyinchiliklarga duch kelamiz. Shu sababli, n   da P n ( m ) uchun asimptotik(taqribiy) formulalar topish muammosini tug‗diradi.

Puasson formulasi

• Agar n   da A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi p har bir tajribada cheksiz kamaysa(ya‘ni np  a  0 ), u holda

a m  e  a

li m P n ( m ) 

, m =0,1,2,… .

( 1 .1 4 . 1 )

m !

n  

(1.14.1) formula Puassonning asimptotik formulasi deyiladi.

p  a belgilash kiritib, Bernulli formulasidan

n

a  n  m

n !  a  m 

P ( m )  C m p m q n  m 

    1 



n n



m ! ( n  m ) !  n   n 

a   m

n  ( n  1 )  . . .  ( n  ( m  1 ) ) a m

 a  n 

 1 



  1 





  

m

n

n

m ! n

   

a   m

a m

n n  1 n  2

n  ( m  1 )  a  n 



  1     1 

 . . . 

   



n  n 

n

m ! n n n

 

a   m

a m

 1   2   m  1   a  n 

  1   1     1    . . .   1 

   1     1 

(1.14.2)



m ! n 

n 

n 

n

 





 n  

 a  n

 e  a

ekanligini e‘tiborga olib, (1.14.2) tenglikdan limitga

l i m  1 



n  

n 

o‗ ta m iz:

a m

 a

.

lim P n ( m )  e

m !

n  

Demak, yetarlicha katta n larda (kichik p da)

a m  e  a

P n ( m ) 

, a  np , m  0,1,..., n

( 1 . 1 4. 3 )

m !

(1.14.3) formula Puasson formulasi deyiladi. Odatda Puasson formulasidan

n  5 0 , n p  1 0 b o ‗ l g a n h oll ar da fo y d a laniladi.

1.14-misol. Telefon stansiyasi 2000 ta abonentga xizmat ko‗rsatadi. Agar har bir abonent uchun unig bir soatning ichida qo‗ng‗iroq qilishi ehtimolligi 0.003 bo‗lsa, bir soatning ichida 5 ta abonent qo‗ngiroq qilishi ehtimolligini toping.

n =2000, p =0.003, m =5, a=np= 2000  0.003=6

6 5  e  6

 0 , 1 3 .

formulasiga ko‗ra P 2000 (5) 

5 !

Muavr-Laplasning lokal teoremasi

Agar p ( p  0, p  1 )ehtimollik nol atrofidagi son bo‗lmasa va n etarlicha katta bo‗lsa, u holda P n ( m ) ehtimollikni hisoblash uchun Muavr- Laplas teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar n ta bog‗liqsiz tajribada A

hodisaning ro‗y berish ehtimolligi 0  p  1 bo‗lsa, u holda yetarlicha katta

n larda

• x 2

1 1

2 , x  m  np

P n ( m )    e

( 1 .1 4 . 4 )

n p q 2 

npq

• x 2

2

1

- taq r i biy for m ula o‗ r i n l i. B u ye r d a funksiyasi deyiladi(9-rasm).

 ( x )   e

G a u ss

funksiya

2 

9-rasm.

 ( x ) funksiya uchun x argument qiymatlariga mos qiymatlari jadvali tuzilgan(1-ilova). Jadvaldan foydalanayotganda quyidagilarni e‘tiborga olish kerak:

•  ( x ) f u n k siya juft f u n ksiy a , ya ‘ n i  (  x )   ( x ) .

• agar x  4 bo‗lsa,  ( x )  0 deb olish mumkin.

1.15-misol. Bitta o‗q otilganda o‗qning nishonga tegish ehtimolligi

0.7 ga teng. 200 ta o‗q otilganda nishonga 160 ta o‗q tegishi ehtimolligini toping.

k o ‗ ra Agar ho l d a

Bu yerda n =200, p =0.7, q =1 -p =0.3, m =160. (1.14.4) ga

np q  20 0  0 . 7  0 . 3  4 2  6 . 4 8 ,

 (3.09)  0.0034

x  16 0  20 0  0. 7  20

 3. 0 9 .

u

6. 48

42

ekanligini

hisobga

o l s a k,

1

 0 . 003 4  0 . 000 5 .

P (160) 

200

6 . 48

Muavr-Laplasning integral teoremasi

Agar n yetarlicha katta va A hodisa n ta tajribada kamida m 1 va ko‗pi bilan m 2 marta ro‗y berish ehtimolligi P n ( m 1  m  m 2 ) ni topish talab etilsa, u holda Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar A ehtimolligi( 0  p  1 ) o‗zgarmas bo‗lsa, u holda

hodisaning ro‗y berish

x 2

1

2

e  x 2 dx

P n ( m 1  m  m 2 ) 

,

( 1 .1 4 . 5 )

2  

x 1

m  np

taqribiy formula o‗rinli, bu yerda x 

, i  1 , 2 .

i

i

n pq

(1.14.5) formuladan foydalanilganda hisoblashlarni soddalashtirish uchun maxsus funksiya kiritiladi:

1

2 

x



0

2

e  t 2 dt

 ( x ) 

. ( 1 .1 4 . 6 )

0

(1.14.6)-Laplas funksiyasi deyiladi.

10-rasm.

 0 ( x ) funksiya toq funksiya:

x

 x



1

1

2

e  t 2 d t  [ t   z ]  

2

 z



 (  x ) 

e dz   ( x )

0 .

2

0

2 

2 

0 0

Agar x  5 bo‗lsa, u holda  0 ( x )  0.5 deb hisoblash mumkin;

 0 ( x ) f u n k s iya g r a f i gi 1 0 - ras m da keltir i l g a n.

(1.14.5) dagi tenglikning o‗ng qismini  0 ( x ) funksiya orqali ifodalaymiz:

x 2

1

• x

e 2 dx 

P n ( m 1  m  m 2 ) 

2  

x 1

1

2 

x 2

x 2



0

0

1

1

 t

• x

• x

e 2 dt 

e 2 d x 



e dx   ( x )   ( x ). (1.14.7)

2

2  

2  

0 2 0 1

x 1

x 1

1

2 

x



2

e  t 2 dt

 ( x ) 

-Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda Gauss

0

0

funksiyasi deb nomlanuvchi funksidan ham foydalaniladi:

1

2 

x

2

e  t 2 dt



 ( x ) 

.

(1.14.8)

 

Bu funksiya uchun  (  x )   ( x )  1 tenglik o‗rinli va u  0 ( x ) funksiya bilan

 ( x )  0. 5   0 ( x )

formula orqali bog‗langan.

1.16-misol. Sex ishlab chiqargan mahsulotining o‗rtacha 96% i sifatli. Bazada mahsulotni qabul qilib oluvchi sexning 200 ta mahsulotini tavakkaliga tekshiradi. Agar tekshirilgan mahsulotlardan sifatsizlari soni

10 tadan ko‗p bo‗lsa butun mahsulotlar partiyasi sifatsiz deb, sexga qaytariladi. Mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligini toping. Bu yerda n =200, p =0.04(mahsulotning sifatsiz bo‗lish ehtimolligi), q =0.96, m 1 =0, m 2 =10 va mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligi

P 200 (0  m  10) ni (1.14.7) formula orqali hisoblaymiz:

( 1 .1 4 . 9 )

x  0  20 0  0. 0 4   2. 8 9 ,  1 0  20 0  0 . 0 4  0. 7 2 ,

x

1

2

20 0  0. 0 4  0. 9 6 20 0  0. 0 4  0. 96

P 200 (0  m  10)   0 (0.72)   0 (  2.89)  0.26424  0.49807  0.7623 .

Agar funksiyadan foydalansak,

 ( x )

P 200 ( 0  m  1 0 )   (0 . 7 2 )   (  2 . 8 9 ) 

 0.7642  (1   (2.89))  0.7642  (1  0.998074)  0.7623 .

L a p las f u n k s iy a s i y or d a m i d a n ta bo g ‗ l i q s iz taj r i b a da nisbiy chastotaning ehtimollikdan chetlashishi ehtimolligini hisoblash mumkin.

• Biror   0 son uchun



n 

 n A 



pq

P  n  p     2  0   

( 1 .1 4 . 1 0)

 





tenglik o‗rinli.

Haqiqatan ham, buni isbotlash uchun hiso b la s h k e ra k . B uning u c h u n bu

n A

n

 p  

tengsizlik ehtimolligini

ten g s izlikni u ng a teng k u c hli

   n A  p   yoki    n A  np   tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu

n

n

songa ko‗paytiramiz:

tengsizliklarni musbat

n pq

n  n A  np   n .

 

p q pq

npq

Agar m  n A  np belgilashni kiritsak, u holda (1.14.5) formulaga asosan:

n p q

n

n





n p q

n p q

p q

p q

 n 

2

1

2

2





0

 m  

P (  

e  t 2 d t  2   

) 

 .

e  t 2 d t 

0 

n

pq 

2 

2 





n

 

pq

■

1.17-misol. Detalning nostandart bo‗lishi ehtimolligi 0.6 ga teng.

n =1200 ta detal ichida nostandart detallar bo‗lishi nisbiy chastotasining

  0.05 d a n k a tta

p = 0.6 e hti m ollikdan c h e tl a s h ishi a b s olut qiy m a ti bo‗lmasligi ehtimolligini toping.

(1.4.10) ga asosan,

 

 n A 

12 0 0

  2  (3.54)  0.9996

P

 0 . 6  0 . 0 5   2  0  0 . 05

0.6  0.4 0 .



1 2 00

n









I bobga doir misollar

isb o t lan g : a )

1. A , B va С hodisalar uchun quyidagilarni

B  A  B  A  B ;

b) ( A  B )  ( B  C )  A  B  C ; c ) A  B  A  B .

2. 1 1 -ras m da 6 e le me nt d a n ibo r a t s x e m a b e r i l g a n. A i ( i  1 ,6 ) hodisalar ma‘lum T vaqt oralig‗ida mos elementlarning beto‗xtov ishlashi

bo‗lsa, bu hodisalar orqali ma‘lum T vaqt oralig‗ida sxemaning beto‗xtov ishlashini ifodalang.

11-rasm.

• Ixtiyoriy ikki qo‗shni raqamlari har xil bo‗lgan nechta to‗rt xonali son hosil qilish mumkin?

• Musobaqaning 10 ta ishtirokchisiga 3 ta yutuqni necha xil usul

bilan taqsimlash mumkin.

• Ma‘lum uchta kitob yonma-yon turadigan qilib, 7 ta kitobni tokchaga necha xil usul bilan taxlash mumkin.

• Birinchi talabada 7 xil, ikkinchisida 16 xildagi kitoblar bor bo‗lsa,

kitobga kitobni necha xil usul bilan almashtirishlari mumkin. 2 ta kitobga 2 ta kitobnichi?

• 3,3,5,5,8 raqamlaridan nechta besh xonali son hosil qilish mumkin.

• 9 qavatli bino liftiga 4 kishi kirdi. Ularning har biri bir-biriga bo‗gliqsiz ravishda ixtiyoriy qavatda chiqishlari mumkin. Ular : a) turli qavatlarda; b) bitta qavatda: c) 5-qavatda chiqishlari ehtimolliklarini toping.
• Imtihon biletlariga kiruvchi 60 savoldan talaba 50 tasini biladi. Tavakkaliga tanlangan 3 ta savoldan: a) hammasini; b) ikkitasini bilishi ehtimolligini toping.

• Idishda 5 ta ko‗k, 4 ta qizil va 3 ta yashil shar bor. Tavakkaliga

olingan 3 ta sharning: a) bir xil rangda; b) har xil rangda; c) 2 tasi ko‗k va 1 tasi yashil rangda bo‗lishi ehtimolligini hisoblang.

• R radiusli doiraga teng tomonli uchburchak ichki chizilgan. Doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning uchburchakka tushishi

ehtimolligini toping.

• [0,5] kesmadan tavakkaliga bitta nuqta tanlanadi. Shu nuqtadan kesmaning o‗ng oxirigacha bo‗lgan masofa 1.6 birlikdan oshmasligi ehtimolligini toping.

• Idishda 4 ta oq, 3 ta ko‗k va 2 ta qora shar bor. Tavakkaliga, ketma-ket, bittadan 3 ta shar olindi. Birinchi shar oq, ikkinchisi ko‗k va uchinchisi qora rangda bo‗lishi ehtimolligini toping.
• Shoshqol toshni tashlash tajribasida A ={juft raqam tushishi} va B ={3 dan katta raqam tushishi} hodisalari bo‗lsin. A va B hodisalar bog‗liqsizmi?

• Quyida berilgan bir-biriga bog‗liqsiz ravishda ishlaydigan

elementlardan iborat sxemaning safdan chiqishi ehtimolligini toping,

i ( i =1,2,…,7)-elementning safdan chiqishi ehtimolligi 0.2 ga teng .

12-rasm.

• Asbob ikki mikrosxemadan iborat. Birinchi mikrosxemaning 10 yil ichida ishdan chiqishi ehtimolligi 0.07, ikkinchisiniki-0.10. Bitta mikrosxema ishdan chiqgani ma‘lum bo‗lsa, bu mikrosxema birinchisi ekanligi ehtimolligini toping.
• Talaba imtihon 40 ta biletlarining faqat 30 tasiga javob bera oladi. Talabaga imtihonga birinchi bo‗lib kirishi foydalimi, yoki ikkinchi?

• Zavod ishlab chiqargan mahsulotning 90% i sifat talablariga

javob beradi. Tekshruvchi mahsulotni 0.96 ehtimollik bilan sifatli, 0.06 ehtimollik bilan sifatsiz deb topadi. Tavakkaliga olingan mahsulotning sifatli deb topilishi ehtimolligini toping.

• Oilada 3 ta farzand bor. Agar o‗g‗il bola tug‗ilishi ehtimolligi

0.51, qiz bola tug‗lishi ehtimolligi 0.49 ga teng bo‗lsa, a) bolalarning hammasi o‗g‗illar, b) 1 tasi o‗g‗il va 2 tasi qiz bo‗lishi ehtimolliklarini hisoblang.

20. Shoshqol tosh 10 marta tashlanganda:

• 6 raqami bir marta tushishi ehtimolligini;

• 6 raqami kamida bir marta tushish ehtimolligini;

• 6 raqami tushishi soni ehtimolligi maksimal qiymatga erishadigan miqdorni toping.

• ― Ehtimollar nazariyasi‖ fanidan ma‘ruza darsida 84 ta talaba
• ― Ehtimollar nazariyasi‖ fanidan ma‘ruza darsida 84 ta talaba

ishtirok etmoqda. Shu talabalarning ikkitasini tug‗ilgan kuni shu kuni bo‗lishi ehtimolligini toping.

• Mahsulotning sifatsiz bo‗lishi ehtimolligi 0.02 ga teng. 200 ta mahsulotning ichida sifatsizlari bittadan ko‗p bo‗lmasligi ehtimolligiti
• Mahsulotning sifatsiz bo‗lishi ehtimolligi 0.02 ga teng. 200 ta mahsulotning ichida sifatsizlari bittadan ko‗p bo‗lmasligi ehtimolligiti

toping.

• A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi 0.6 ga teng. 100 ta bog‗liqsiz tajribada A hodisaning 70 marta ro‗y berishi ehtimolligini toping. Shunday m sonini topingki, 0.95 ehtimollik bilan 800 ta yangi tug‗ilgan chaqaloqlardan kamida m tasi qizlar deb aytish mumkin bo‗lsin. Qiz bola tug‗ilishi ehtimolligini 0.485 deb hisoblang.
• A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi 0.6 ga teng. 100 ta bog‗liqsiz tajribada A hodisaning 70 marta ro‗y berishi ehtimolligini toping.
• Shunday m sonini topingki, 0.95 ehtimollik bilan 800 ta yangi tug‗ilgan chaqaloqlardan kamida m tasi qizlar deb aytish mumkin bo‗lsin. Qiz bola tug‗ilishi ehtimolligini 0.485 deb hisoblang.

• Detalning nostandart bo‗lishi ehtimolligi 0.1 ga teng. Tavakkaliga olingan 400 ta detal ichida nostandart detallar bo‗lishi nisbiy chastotasining p=0.1 ehtimollikdan chetlashishi absolut qiymati   0.03 dan katta bo‗lmasligi ehtimolligini toping.
• Detalning nostandart bo‗lishi ehtimolligi 0.1 ga teng. Tavakkaliga olingan 400 ta detal ichida nostandart detallar bo‗lishi nisbiy chastotasining p=0.1 ehtimollikdan chetlashishi absolut qiymati   0.03 dan katta bo‗lmasligi ehtimolligini toping.

II bob Tasodifiy moqdorlar

2.1 Tasodifiy miqdor tushunchasi

Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.

• Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma‘lum bo‗lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.

Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek

alifbosining kichik harflari  (ksi),  (eta), δ(dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar x 1 , x 2 ,..., y 1 , y 2 ,... , z 1 , z 2 ,... bilan belgilanadi.

Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‗q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z -asbobning beto‗htov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‗iladigan chaqaloqlar soni va h.k..

• Agar tasodifiy miqdor(t.m.) chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday t.m. diskret tipdagi t.m. deyiladi.

• Agar t.m. qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‗lsa

uzluksiz tipdagi t.m. deyiladi.

Demak, diskret t.m. bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz t.m. esa biror oraliqdagi ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y t.m.lar diskret, Z esa uzluksiz t.m. bo‗ladi.

Endi t.m.ni qat‘iy ta‘rifini keltiramiz.

•  elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya t.m. deyiladi, agar har bir  elementar hodisaga X (  ) conni mos qo‗ysa, yani X = X (  ),   .

Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‗lsin. Elementar

  {  1 ,  2 ,  3 ,  4 },  1  G G ,  2  G R ,  3  R G ,  4  R R

ho d i s a lar fa z o s i

bo‗ladi. X-gerb chiqishlari soni bo‗lsin, u holda X t.m. qabul qiladigan qiymatlari: X (  1 )=2, X (  2 )=1, X (  3 )=1, X (  4 )=0.

Agar  chekli yoki sanoqli bo‗lsa, u holda  da aniqlangan ixtiyoriy funksiya t.m. bo‗ladi. Umuman, X (  ) funksiya shunday bo‗lishi kerakki:

 x  R da A  {  : X (  )  x } hodisa S  - algebrasiga tegishli bo‗lishi kerak.

2.2 Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

x 1 , x 2 , ..., x n , ...

X -d iskr e t t. m . b o ‗ l s i n. X t. m . qiy ma tl a r n i m o s

p 1 , p 2 ,..., p n ,... ehtimolliklar bilan qabul qilsin:

X

P

x 1

p 1

x 2

…

p 2

…

x n

…

p n

…

jadval diskret t.m. taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret t.m. taqsimot qonunini p i  P { X  x i }, i  1, 2,..., n ,... ko‗rinishda yozish ham qulay.

{ X  x 1 }, { X  x 2 },... hodisalar birgalikda bo‗lmaganligi uchun ular to‗la gruppani tashkil etadi va ularning ehtimolliklari yig‗indisi birga teng

b o ‗ lad i , ya ‘ni  p i   P { X  x i }  1 .

i i

• X t.m. diskret t.m. deyiladi, agar x 1 , x 2 ,... chekli yoki sanoqli to‗plam bo‗lib, P { X  x i }  p i  0 ( i  1, 2,...) va p 1  p 2  ...  1 tenglik o‗rinli bo‗lsa.

A i  { X  x i }

• X va Y d i skret t .m . l a r bog ‘ l iqsiz d e y il a di, a g a r va

B i  { Y  y j } hodisalar  i  1, 2,..., n , j  1, 2,..., m da bog‗liqsiz bo‗lsa, ya‘ni

P { X  x i , Y  y j }  P { X  x i }  P { Y  y j } , n , m   .

2.1-misol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‗lsa, tavakkaliga olingan 3 ta lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping.

X t.m.ni qabul qilishi mumkin bo‗lgan qiymatlari x 1  0, x 2  1, x 3  2 . Bu

qiymatlarning mos ehtimolliklari esa

C 0  C 3 56 7

 ;

p  P { X  0}  2 8 

C 3

1

12 0 1 5

10

C 1  C 2

5 6 7

 ;

p  P { X  1}  2 8 

C 3

2

12 0 1 5

10

C 2  C 1 8 1

p  P { X  2}  2 8 



.

C 3

3

12 0 1 5

10

X t.m. taqsimot qonunini jadval ko‗rinishida yozamiz:

X

0

P

1

7

7

15

2

15

1

15

p  7  7

3



i  1

 1  1

i

15 15 15

2.3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari

Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi.

• F ( x ) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi  x  R son uchun quyidagicha aniqlanadi:

F ( x )  P { X  x }  P {  : X (  )  x } . (2.3.1)

Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

• F ( x ) chegaralangan:

0  F ( x )  1 .

• F ( x ) kamaymaydigan funksiya: agar x 1 x 2 bo‗lsa, u holda

F ( x 1 )  F ( x 2 ) .

F (   )  l i m F ( x )  0 , F (   )  l i m F ( x )  1 .

x  x 

3.

4. F ( x ) funksiya chapdan uzluksiz:

l i m F ( x )  F ( x 0 ) .

x  x 0  0

Isboti: 1. Bu xossa (2.3.1) va ehtimollikning xossalaridan kelib chiqadi.

2. hodisalarni kiritamiz. Agar x 1 x 2 bo‗lsa, u

A  { X  x 1 }, B  { X  x 2 }

ho l da A  B va P ( A )  P ( B ) , ya ‘ n i y o ki

P ( X  x 1 )  P ( X  x 2 )

F ( x 1 )  F ( x 2 ) .

• { X   }   va { X   }   ekanligi va ehtimollikning xossasiga ko‗ra

F (   )  P { X    }  P {  }  0

F (   )  P { X    }  P {  }  1 .

• A  { X  x 0 }, A n  { X  x n } hodisalarni kiritamiz. Bu yerda { x n } ketma- ketlik monoton o‗suvchi, x n  x 0 . A n hodisalar ketma-ketligi ham o‗suvchi bo‗lib, A n  A . U holda P ( A n )  P ( A ) , ya‘ni lim F ( x )  F ( x 0 ) . ■

x  x 0

n

2 b o ‗ l s a , F ( x )  P { X  0 }  P { X  1 }  P { X  2 }  7  7  1  1 . 1 5 1 5 1 5 De m a k,  0, agar x  0  7 , a g ar 0  x  1 F ( x )   15   1 4 1 5 , a g ar 1  x  2    1 , a g ar x  2 F ( x ) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan. 13 -ras m . " width="640"

Diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

F ( x )   p i .

x i  x

(2.3.2)

2.2-misol. 2.1-misoldagi X t.m. taqsimot funksiyasini topamiz.

• Agar x  0 b o ‗ l s a , F ( x )  P { X  0 }  0 ;
• Agar 0x  1

X

0

P

7

1

15

7

2

1

15

15

b o ‗ ls a ,

F ( x )  P { X  1 }  P { X  0 }  7 ;

15

3. Agar 1x  2 bo‗lsa, F ( x )  P { X  0}  P { X  1}  7  7  14 ;

1 5 1 5 1 5

4 . Agar x 2 b o ‗ l s a , F ( x )  P { X  0 }  P { X  1 }  P { X  2 }  7  7  1  1 .

1 5 1 5 1 5

De m a k,

 0, agar x  0

 7

, a g ar 0  x  1

F ( x )   15



 1 4 1 5 , a g ar 1  x  2



  1 , a g ar x  2

F ( x ) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan.

13 -ras m .

• X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‗lsa.

Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi bo‗lsa,

taq si m ot fun k s iy an i n g 1 - 4 x o s s a larid a n qu y i d ag i n a t i jal a r n i k e lti ri sh mimkin:

• X t.m.ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:

P { a  X  b }  F ( b )  F ( a ) . (2.3.3)

• X uzluksiz t.m.ning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga teng:

P { X  x i }  0

1-natijada [ a,b ], ( a,b ], ( a,b ) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o‗rinli, ya‘ni

P { a  X  b }  P { a  X  b }  P { a  X  b }  P { a  X  b }  F ( b )  F ( a ) . M a s a lan, P { a  X  b }  P { X  a }  P { a  X  b }  P { a  X  b } .

Isboti. 1. a bo‗lgani uchun { X  b }  { X  a }  { a  X  b } . { X  a } va

{ a  X  b } hod i s a lar bi r g a li k da b o ‗ l m a g a ni u c hun P { X  b }  P { X  a } 

 P { a  X  b } . P { a  X  b }  P { X  b }  P { X  a }  F ( b )  F ( a ) .

2. (2.3.3.) tenglikni [ a,x ) oraliqqa tatbiq etamiz: P { a  X  x }  F ( x )  F ( a ) .

F ( x ) funk s iya a n u qtada u zl u k s i z b o ‗ l g a ni u ch un

l i m F ( x )  F ( a ) .

x  a

lim P { a  X  x }  P { X  a }  lim F ( x )  F ( a )  F ( a )  F ( a )  0 .

x  a x  a

■

2.4 Zichlik funksiyasi va uning xossalari

Uzluksiz t.m.ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.

• Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi deb, shu t.m. taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.

Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi f ( x ) orqali belgilanadi. Demak,

f ( x )  F ' ( x ) . (2.4.1)

Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

• f ( x ) funksiya manfiy emas, ya‘ni

f ( x )  0 .

• X uzluksiz t.m.ning [ a,b ] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng, ya‘ni

b

P { a  X  b }   f ( x ) d x .

a

• Uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha ifodalanadi:

x

F ( x )   f ( t ) dt .



(2.4.2)

gacha olingan xosmas integral

4 . Z ichlik fun k s iya si da n d a n birga tengdir

  



 f ( x ) d x  1 .



I s b o t lar: 1 . F ( x ) k a m a ym ay di g a n f u nk s iya b o ‗ l g a ni u c h u n F ' ( x )  0 , ya ‘ n i

f ( x )  0 .

2. tenglikdan Nyuton-Leybnis formulasiga

P { a  X  b }  F ( b )  F ( a )

a s o s a n:

b b

F ( b )  F ( a )   F ' ( x ) d x   f ( x ) d x .

a a

b

P { a  X  b }   f ( x ) d x .

Bu yerdan

a

• 2-xossadan foydalanamiz:

x

F ( x )  P { X  x }  P {    X  x }   f ( t ) d t .



• Agar 2-xossada a   va b   deb olsak, u holda muqarrar

X  (  ,   ) ga h o d i saga e ga b o ‗ la m i z , u h o l d a



 f ( x ) d x  P {    X    }  P {  }  1 .



■

a

2.3.- m i sol. X t . m . z ich l ik fun k s iy a s i berilgan. O‗zgarmas a parametrni toping.

ten g l i k b il a n

f ( x ) 

1  x 2



a

 1  x 2 d x  1 ,

Zichlik

4-xossasiga

k o ‗ ra

ya ‘ n i

funksiyaning



    

 2

d

1



a  l im 

      a    1 .

d

d x  a  l im ar c tg x |  a 

Dem a k,



c

1  x 2

2  



d   

d    c 

c  c

a  1 .



2.5 Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari

X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan

{ p i  P { X  x i }, i  1 , 2 , . . ., n , . . . }.

b o ‗ l s i n :

Matematik kutilma



• X t . m . mat e mat ik k uti lma s i d e b,  x i p i

i  1



qator yig‗indisiga aytiladi va

MX   x i p i

i  1

( 2 .5.1)

orqali belgilanadi.

Matematik kutilmaning ma‘nosi shuki, u t.m. o‗rta qiymatini

ifodalaydi. Haqiqatan ham  p i  1 ekanligini hisobga olsak, u holda

i  1





 x i p i

i  1





 i i

MX  x p 

 x

.

o ' rta c ha

 p

i  1

i

i  1

• Uzluksiz t.m. matematik kutilmasi deb



M X   x  f ( x ) d x



( 2 .5.2)

ya‘ni

integralga aytiladi. (2.5.2) integral absolut yaqinlashuvchi,



 x  f ( x ) dx  

bo‗lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik



kutilma mavjud emas deyiladi.

Matematik kutilmaning xossalari:

• O‗zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‗ziga teng, ya‘ni

MC = C.

• O‗zgarmas ko‗paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,

M ( CX )= CMX.

• Yig‗indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‗indisiga teng,

M ( X+Y )= MX+MY.

• Agar X  Y bo‗lsa,

M ( X  Y )= MX  MY.

Isbotlar: 1. O‗zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi t.m. sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC = C  P { X = C }= C  1= C.

• C  X diskret t.m. C  x i ( i  1, n ) qiymatlarni p i ehtimolliklar bilan qabul

n n

qil s i n , u h o l da M C X   C  x i p i  C  x i p i  C  M X .

i  1 i  1

• X+Y diskret t.m. x i  y i qiymatlarni p ij  P { X  x i , Y  y j } ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun

n m n m n m

M ( X  Y )    ( x i  y j ) p ij    x i p ij    y j p ij 

i  1 j  1 i  1 j  1 i  1 j  1

n m m n n m

  x i  p ij   y i  p ij   x i p i   y j p j  MX  MY

i  1 j  1 j  1 i  1 i  1 j  1

m n

 p ij  p i  p ij  p j

B u ye r d a

va bo‗ladi.

C h u n k i,

j  1 i  1

m

m

{ X  x i ; Y  y j }  { X  x i } { Y  y j }  { X  x i }

j  1

  { X  x i } ,

j  1

 m



m m

p i  P { X  x i }  P  { X  x i ; Y  y j }    P { X  x i ; Y  y j }   p ij .

 j  1

4. Agar X  Y bo‗lsa, u holda



j  1 j  1

p ij  P { X  x i , Y  y j }  P { X  x i }  P { Y  y j }  p i  p j

va

M X Y    x i y i P { X  x i , Y  y j } 

i  1 j  1

p ij

n m

n m n m

  x i y i P { X  x i } P { Y  y j }   x i p i  y i p j  MX  MY .

i  1 j  1 i  1

j  1

p

p

i

j

■ Matematik kutilmaning xossalari t.m. uzluksiz bo‗lganda ham hiddi s h u nga o‗ x s h a s h i s b otl a n a di. M a s a lan,

 

MCX   C  x  f ( x ) dx  C  x  f ( x ) dx  C  MX .

 

2.4.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‗lsa, X t.m.ning matematik kutilmasini toping.

X

P

500

50

0.01

10

0.05

1

0.1

0.15

0

0.69

MX =500  0.01+50  0.05+10  0.1+1  0.15+0  0.69=8.65.

2.5.-misol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan

 0 , x  ( 0 , 1 )

f ( x )  

.

2

 C  x , x  ( 0 , 1 )

C va MX ni toping.



 f ( x ) d x  1 .

Dem a k,

Z ichlik f u n k s iy a ning 4 - x o ss a s i ga k o ‗ ra

1



x 3

 0 , x  ( 0 , 1 )

1



C x 2 d x  C  | 1  C   1 ,

C  3 v a f ( x )  

.

0

3 3

 3 x 2 , x  ( 0 , 1 )

0

Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:

3

4

 1

M X   x  f ( x ) d x  3  x  x 2 d x 

 0

.

Dispersiya

• X t.m. dispersiyasi deb, M ( X  MX ) 2 ifodaga aytiladi. Dispersiya DX orqali belgilanadi. Demak,

D X  M ( X  M X ) 2 .

( 2 .5.3)

Agar X dickret t.m. bo‗lsa,





2

DX  ( x  M X )  p

,

( 2 .5.4)

i i

i  1

Agar X uzluksiz t.m. bo‗lsa,



D X   ( x  M X ) 2  f ( x ) d x

( 2 .5.5)



T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir:

DX = MX 2 -( MX ) 2 (2.5.6)

Bu formula matematik kutilma xossalari asosida quyidagicha keltirib chiqariladi:

D X  M ( X  M X ) 2  M ( X 2  2 XM X  ( M X ) 2 )  M X 2  M ( 2 XM X )  M ( M X ) 2 

 M X 2  2 MXM X  ( M X ) 2  M X 2  ( M X ) 2

Dispersiyaning xossalari:

• O‗zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC =0.

• O‗zgarmas ko‗paytuvchini kvadratga ko‗tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,

D ( CX )= C 2 DX .

• Agar X  Y bo‗lsa,

D ( X+Y )= DX+DY.

I s b o t lar: 1. D C  M ( C  M C ) 2  M ( C  C ) 2  M 0  0 .

2. D ( CX )  M ( CX  M ( CX )) 2  M ( CX  CMX ) 2  M ( C 2 ( X  MX ) 2 ) 

 C 2 M ( X  M X ) 2  C 2 D X .

• (2.5.6.) formulaga ko‗ra

D ( X  Y )  M ( X  Y ) 2  ( M ( X  Y )) 2  MX 2  2 MXY  MY 2  ( MX ) 2  2 MXMY  ( MY ) 2 

 MX 2  ( MX ) 2  MY 2  ( MY ) 2  2( MXY  MXMY )  DX  DY  2( MXMY  MXMY )  DX  DY

■

2.6.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan:

MX va DX ni hisoblaymiz:

MX =-1  0.2+0  0.1+1  0.3+2  0.4=0.9,

DX  (  1) 2  0.2  1 2  0.3  2 2  0.4  (0.9) 2  1.29 .

• X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi ( chetlashishi ) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
• X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi ( chetlashishi ) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

X

-1

P

0

0.2

0.1

1

0.3

2

0.4

 X  DX (2.5.7)

xossalaridan o‗rtacha kvadratik tarqoqlikning

Dispersiyaning

xo s s a lari k e lib c h iqa di: 1.  C  0 ; 2.  C X  C  X ;

2.6 Ba’zi muhim taqsimotlar Binomial taqsimot

• X diskret t.m. binomial qonun bo‗yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2,…n qiymatlarni

m m n  m

p  P { X  m }  C p q

, ( 2 . 6 .1)

m n

ehtimollik bilan qabul qilsa.

B u ye r d a 0  p  1 , q  1  p , m  0 , 1 , ... , n .

Binomial qonun bo‗yicha taqsimlangan X diskret t.m. yaqsimot qonuni quyidagi ko‗rinishga ega:

X=m

p m  P { X  m }

0

1

q n

2

C 1 p 1 q n  1

…

C 2 p 2 q n  2

n

…

m

n

…

C m p m q n  m

n

…

n

p n

n

Nyuton binomiga asosan  p m

m  0

orqali belgilaymiz.

 ( p  q ) n  1 . B und a y ta q s i m ot n i B i ( n , p )

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‗ladi:

 0, agar x  0



 

m m n  m

F ( x ) 

C p q , agar 0  x  n

n

 m  x

  1 , agar n  x .

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz.

n n

n

n

 

 n  1

 n

m m n  m

m  1 m  1 n  m

MX  m  P { X  m }  m  P { X  m }  m  C p q  n p C p q 

m  0

m  1

m  1

m  1

 n p ( p  q ) n  1  n p .

n

n



 n

|

2

D X  m P { X  m }  ( n p )  m C p q  ( n p )  m  m ( m  1 )  m

2 2

2 m m n  m 2

m  1

m  0

n

n

 n  2

C m  1 p m  1 q n  m  ( n p ) 2 

m  2 m  2 n  m

2

almashtirish bajaramiz| =

 n  1 m  1

n ( n  1 ) p C p q 

np

m  2

n ( n  1 ) p 2  n p  ( n p ) 2  np q .

De m a k, M X  np ; D X  np q .

Puasson taqsimoti

• Agar X t.m. 0,1,2,…m,… qiymatlarni

a m  e  a

p m  P { X  m } 

( 2 . 6 .2)

m !

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo‗yicha taqsimlangan

t.m. deyiladi. Bu yerda a biror musbat son.

Puasson qonuni bo‗yicha taqsimlangan X diskret t.m.ning taqsimot qonuni quyidagi ko‗rinishga ega:

X=m

p m  P { X  m }

0

1

e  a

a  e  a

2

a 2  e  a

…

1!

…

m

2!

…

a m  e  a

…

m !

a m

m !





 a

 p m  e



 a a

 e  e

Teylor yoyilmasiga asosan,

 1 . B u taq s i m ot n i

m  0 m  0

 ( a ) orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‗ladi:

 0, agar m  0

 

a m  e  a

F ( x )  

, agar 0  m  x

m !

  m  x

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

a m  e  a a m a m  1

MX   m 

m  0







 a

 a





m  1

m  1

 a a

 a  e  e  a ,

 e

m   a  e m !

( m  1 ) !

m !

a m  1  e  a

a m  e  a





DX   m 



2

2

2

• a  a m 

• a 

m !

( m  1 ) !

m  0

m  1





k  a

k  a

k a  e

a  e





 



 a 

 a 2  a ( a  1 )  a 2  a





k !

k !

 k  0



k  0

Demak, MX  a ;

D X  a .

Geometrik taqsimot

• Agar X t.m. 1,2,…m,… qiymatlarni

m  1

p m  P { X  m }  q p

( 2 . 6 .3)

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo‗yicha taqsimlangan

t. m . de y il a di. B u y er d a p  1  q  ( 0 , 1 ) .

Geometrik qonun bo‗yicha taqsimlangan t.m.larga misol sifatida quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o‗qlar soni va hokazo.

Geometrik qonun bo‗yicha taqsimlangan X diskret t.m. taqsimot

qonuni quyidagi ko‗rinishga ega:

X=m

p m  P { X  m }

1

p

2

qp

…

m

…

…

q m p

…

1





q p  p q  p 

m  1





m  1

m  1

m  1

 p  1

,

1  q p

chunki p m ehtimolliklar

g e o m e t r ik prog res s iy a ni ta s hk i l e tad i :

p , q p , q 2 p , q 3 p , .. . . S h un i ng u ch un h a m ( 2 . 6 .3) ta q s i m ot taq s i m ot d ey il a di va G e ( p ) or q a li bel g il a n a di.

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‗ladi:

g e o m e t r ik

  0 , aga r m  1

F ( x )     q m  1 p , aga r 1  m  x

 m  x

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

 '  '

  1

 



M X   m  q m  1 p  p  m  q m  1  p   q m   p 

 

 1  q  q

 m  0  q

m  1 m  1

1 p  1 ,

 p 



p 2

(1  q ) 2 p



DX   m 2  q m  1 p  1  ( m 2  m ( m  1)  m almashtirishni bajaramiz) 

p 2

m  1

 



m  ( m  1) q m  1 p   m  q m  1 p  1  pq  m  ( m  1) q m  2  1  1 



p 2 p 2

p

m  1

m  1 m  1

 ''

1 1 2 pq 1 1 q

p 2

 1 1 2



q   q m     pq

   .

  

p

p 2 p 3

p 2

p 2

p

(1  q ) 3 p

 m  0 

2

q

DX  q .

Demak, MX  1 ;

p 2

p

Tekis taqsimot

• Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi

1



, a g ar x  [ a , b ] ,

f ( x )   b  a

( 2 . 6 .4)



  0, a g ar x  [ a , b ]

ko‗rinishda berilgan bo‗lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan t.m. deyiladi.

Bu t.m.ning grafigi 14-rasmda berilgan. [ a , b ] oraliqda tekis taqsimlangan

X t.m. ni X R [ a , b ] ko‗rinishda belgilanadi. X R [ a , b ] uchun taqsimot funksiyasini topamiz. (2.4.2) formulaga ko‗ra agar a  x  b bo‗lsa

x

x

dt t

x  a

F ( x )   b  a  b  a  b  a ,

a

a

a g a r x  a b o ‗ l s a , F ( x )  0 va x  b b o ‗ l s a ,

b

a b

x

d t t

F ( x )   0 d t   b  a   0 d t  b  a

 1 b o ‗ la d i. De m a k ,

a

  a b

 0, agar x  a bo'lsa,

 x  a

F ( x )   b  a , a g a r a  x  b bo ' l s a ,



  1, agar b  x bo'lsa,

F ( x ) taqsimot funksiyaning grafigi 15-rasmda keltirilgan.

14 -rasm.

15 - ras m .

X

R [ a , b ] t.m. uchun MX va DX larni hisoblaymiz:

x 2

b

 b 2  a 2  a  b

2( b  a ) 2

a b 

x

M X   x  0 d x   b  a d x   x  0 d x  2 ( b  a )

, ;

  a b

a

b 

b

1  a  b  3

2

a  b  d x 1

D X    x 



  x 



2   b  a  b  a 3 

2

a 





a

3

2

3

 ( b  a )

( a  b )

1  ( b  a )





.





3( b  a )  8

1 2

8





M X  a  b

( b  a ) 2

, DX 

De m a k,

.

2

12

Ko‘rsatkichli taqsimot

• Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi

  e   x , a g a r x  0 ,

f ( x )  

( 2 . 6 .5)

 0, agar x  0

k o ‗ r i n ish d a b e r i l g a n b o ‗ l s a , X t . m .

k o ‘ rs atki c h l i qon u n b o ‗ y icha

taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda  biror musbat son.  parametrli

orqali belgilanadi. Uning grafigi 16-rasmda

ko‗rsatkichli taqsimot keltirilgan.

E (  )

16 - ras m .

17-rasm.

Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko‗rinishga ega bo‗ladi:

 1  e   x , a g a r x  0 ,

F ( x )  

 0, agar x  0.

Uning grafigi 17-rasmda keltirilgan.

E ndi k o ‗ r s at k ich l i taq s i m ot n ing m a t e m a tik k u til m a s i va dispersiyasini hisoblaymiz:









b

b



MX   x   e dx





  x

  x

  x

 lim x   e dx  lim  xde





b  

b  

 0

0

0

b 



1



 b 

b

1

e   x



  x

 l i m   x  e   x

• e dx  lim 

  ,







b   



0

b  

 





0

0

   

1

DX   x 2 f ( x ) dx  ( MX ) 2    x 2  e   x dx  

2



  0

 [bo'laklab integrallash formulasini ikki marta qo'llaymiz] 

x 2



  



b



1

2  x

1 2 1 1

e   x 

e   x  e   x    

   l i m  

   .

 

 2

 2  2  2  2

 b   

  

  

0 



E (  ) bo‗lsa, u holda MX  1 va DX  1 .

Demak, agar X

 2



Normal taqsimot

Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‗ziga xos o‗rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya‘ni boshqa taqsimotlar ma‘lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko‗p qo‗llaniladigan taqsimotdir.

• X uzluksiz t.m. normal qonun bo‗yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‗rinishga ega bo‗lsa

 ( x  a ) 2

1

, x  R

e

f ( x ) 

2  2

( 2 . 6 .6)

  2 

a va

p a ra m e t r lar b o ‗ y icha n or m a l taq s i m ot N ( a ,  ) o rqa li

  0

b e l g il a n ad i. X N ( a ,  ) nor m a l t.m . ni n g t a q s i m ot fun k s iy a s i

x  ( t  a ) 2

1

 e 2  2 d t .

F ( x ) 

( 2 . 6 . 7 )

  2  

Agar normal taqsimot parametrlari a =0 va   1 bo‗lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‗rinishga ega:

• x 2

2 .

1

 ( x ) 

 e

2 

Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9- rasmda keltirilgan). Taqsimot funksiyasi

x

1

 e 2 dt

 t 2

 ( x ) 

2  

ko‗rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda keltirilgan).

a va  p a r a m e t r lar n i m a ‘ n osini a niql a y m iz. B uni n g u c h u n

X N ( a ,  ) t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

M X   x  f ( x ) d x 



   ( x  a ) 2

 

1

 x  a 

 x  e 2  2 dx  

=t almashtirish bajaramiz  

  2 

2 





 

 1  (

a

a





 

 





 e  t 2 d t  0 



 

  2

2

2  dt 

   a

2  t  a ) e  t 2

 t

t e d t 



  2 

 

B i r i n c hi int e gral no l ga ten g , c h u n k i int e gral o s t i d a gi fun k s iya toq,

integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,



 e  t 2 d t   .



Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya

hiso b la s hda x  a =t a lm a s hti r i sh va b o ‗ lakl a b i nte g rallas h d a n foydalanamiz:

2 

 ( x  a ) 2

 



D X   ( x  a ) 2  f ( x ) d x 



1

 ( x  a ) 2  e dx 

2  2

  2 

 

2 





 

 

2 

2 

2 

1

1

 1  2  2 t 2 e  t 2 





 

2

2

2

2  t

 t

 t



• te

t e dt 

e d t 

2 dt 

2





 





 2 

2  







 

 2  2  1

   2

.

2



Demak, DX   2 va  o‗rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.

18 - ras m da a va  lar n ing t ur l i qi y m a tl a r i da nor m a l taq s i m ot grafigining o‗zgarishi tasvirlangan:

18 - ras m .

X N ( a ,  ) t.m.ning intervalga

tushishi

ehtimolligini

(  ,  )

hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma‘lumki,

  a

 t 2



  ( x  a ) 2

P {   X   }   f ( x ) d x 





1

 x  a  1

 e 2  2 dx  

 e 2 dt 

=t  

  2  

2 





2    a



  a

  a

 t 2

 t 2





1

1

 e 2 dt .

  e 2 dt 

2 

2 

0

0

L a p las funk s iy a s i d a n f o y d a lani b ((1.14. 6 ) f or m ula), qu y i d ag i g a e ga bo‗lamiz:

P {   X   }      a       a  .

( 2 . 6 . 8 )

0   0 







 





No r m a l taq s i m ot taq s i m ot f u n k s iya s i n i L a p las funk s iy a s i or q a li quyidagicha ifodalasa bo‗ladi:

 ( t  a ) 2

x

    a 

 x  a 

1

F ( x )  

 

 e 2  2 dt  P {    X  x }  

0 

   0 





   2 



 



  x  a           x  a   1

0  

( 2 . 6 . 9 )

0  



0

2











x

1

 e 2 dt

 t 2

 ( x ) 

b o ‗ l s a , u hol d a

Agar Laplas funksiyasi

2  

F ( x )    x  a  va (2.6.8) formulani quyidagicha yozsa bo‗ladi:

 







P {   X   }      a       a  .

    (2.6.10)

 

   

Amaliyotda ko‗p hollarda normal t.m.ning a ga nisbatan simmetrik bo‗lgan intervalga tushishi ehtimolligini hisoblashga to‗gri keladi. Uzunligi 2 l

b o ‗ l g a n i n te r v a l n i ola y lik, u h o l d a

( a - l , a  l )

P { a  l  X  a  l }  P { X  a  l } 

  a  l  a     a  l  a   2   l   2   l   1.

  

0   0   0  

 



 

 

 

 

Dem a k,

P { X  a  l }  2   l   2   l   1.

0     

( 2 . 6 . 11 )



   

P { X  a  3  }  2  0  3 

 0  x 

( 2 . 6 . 1 1 ) da l  3  d e b o l s a k, b o‗ l ad i.

funksiyaning qiymatlari jadvalidan  0  3   0.49865 ni topamiz. U holda

P { X  a  3  }  0 . 997 3

bo‗ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega

N ( a ,  ) b o ‗ l s a , u h ol d a u n i ng m a t e m a tik k u til i s h i d a n

bo‗lamiz: Agar c h e tl a s hishini n g a b s o l u t

X

qiymati o‗rtacha kvadratik tarqoqligining

uchlanganidan katta bo‗lmaydi. Bu qoida ― uch sigma qoidasi ‖ deyiladi(19- rasm).

19-rasm.

2.7.-misol. Detallarni o‗lchash jarayonida   10 mm parametrli normal taqsimotga bo‗ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga yo‗l qo‗yildi. Bog‗liqsiz 3 marta detalni o‗lchaganda hech bo‗lmasa bitta o‗lchash xatoligining absolut quymati 2 mm dan katta bo‗lmasligi ehtimolligini baholang.

ko‗ra

(2.6.11) formulaga

Bitta tajribada(o‗lchashda)

P { X  a  2 }  2   2   2  0 . 0 792 6  0 . 1 5852 .

0  

10

 

2 mm dan oshishi ehtimolligi

xatolikning

P { X  a  2}  1  P { X  a  2}  0.84148 . Tajribalarimiz bog‗liqsiz bo‗lganligi uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi 0.84148 3  0.5958 bo‗ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.

II bobga doir misollar

• Birinchi talabaning imtihonni topshira olishi ehtimolligi 0.6, ikkinchisiniki esa 0.9. Quyidagi hollar uchun imtihonni topshira olgan talabalar soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping: a) Imtihonni qayta topshirish mumkin emas; b) imtihonni bir marta qayta topshirish mumkin.
• A hodisaning ro‗y berishi ehtimolligi 0.7 ga teng. Bog‗liqsiz uchta tajribada A hodisaning ro‗y berishlari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping.

• Agar

X

1

P

2

0.3

0.2

3

4

0.4

0.1

bo‗lsa, X t.m.ning taqsimot funksiyasini toping.

• Ikki ovchi bir nishonga qarata o‗q uzishmoqda. Birinchi ovchining nishonga tekkazishi ehtimolligi 0.6, ikkinchisiniki esa 0.8 bo‗lsa, nishonga tekkan o‗qlar soni X t.m.ning taqsimot qununini toping va taqsimot funksiyasini tuzing.

• Taqsimot funksiyasi

 0, agar x  0,

 0 . 2 , a g a r 0  x  1 ,

F ( x )  

 0 . 6 , a g a r 1  x  2 ,



  1, agar x  2

bo‗lgan X t.m.ning qabul qilishi mumkin bo‗lgan qiymatlari va ularga mos ehtimolliklarini toping.

• Agar P { X  3 }  1 b o ‗ l s a , F ( 3 ) ni hiso b la n g.
• Quyidagi

X

3

fun k s iy a lar d a n q ay s il a ri z ichlik f u n k s iya b o ‗ lad i :

1

f ( x )   x 2 , f ( x )  1 s i n x  1 , f ( x )  1 

.

1 2

3

2 2  1  x 2

8. Tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

x  h ,

 3 x 2 ,

x  h ,

f ( x )   2



  0,

bo‗lsa h ning qiymatini toping.

9. Taqsimot funksiyasi

 0, agar x  0,

 x 2

F ( x )   , agar, 0  x 

2 ,

 2



  1, agar x  2,

b o ‗ l g a n X t. m .ning z ichlik f u n k s i y a s i n i top i ng va ehtimollikni hisoblang.

10. Agar X t.m.ning taqsimot funksiyasi

P { x  X  1 }

 0, agar x   1,



2

F ( x )  a ( x  1 ) , aga r , - 1  x  2 ,



 1, agar x  2



bo‗lsa, o‗zgarmas a ning qiymatini hisoblang.

11. Tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

 ,

 0, agar x 

2









f ( x )   a cos x , agar   x  ,



2

2



 0 agar x   ,

 

2

bo‗lsa, o‗zgarmas a ning qiymatini va t.m.ning taqsimot funksiyasini hisoblang.

12. Uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasining grafigi berilgan:

20 - ras m .

zichlik funksiya f ( x ) ning ifodasini,

taq si m ot f u n k s i y a s i n i va

F ( x )

 1  X  1  ho d i s a n i ng e hti m o l lig i ni h i s o bla n g.

 4 





13. X R (0, a ) va P  X  1   1 bo‗lsa, a ning qiymatini toping.

 3 

3

 

14. Uzluksiz X t.m.ning zichlik funksiyasi:

 0 , a g a r x  0 v a x   ,

f ( x )  

 1 s in x , a g a r 0  x   ,

  2

bo‗lsa, MX va DX ni hisoblang.

• X va Y bog‗liqsiz diskret t.m.lar bo‗lib, MX =0, MY =-3, DX =2, DY =9 bo‗lsa, Z =5 X -3 Y +2 t.m. uchun MZ va DZ ni hisoblang.

• Uzluksiz X t.m.ning taqsimot qonuni:

 0, agar x  A ,



2

F ( x )  0.25 x , agar A  x  B ,



 1, agar x  B ,



bo‗lsa, A va B qiymatlarini toping, MX va  X ni hisoblang.

P {  3  X  5 } , P { X  4 } , P { X  3  6 }

17 . X N ( 3 , 2 ) b o ‗ l s a ,

ehtimolliklarni hisoblang.

• Agar X B i ( 1 ; 0 . 5 ) b o ‗ l s a , ( M X ) 2 va DX ni taq q o s la n g.
• Quyida X t.m.ning taqsimot jadvali berilgan:

X

P

-0.5

0

0.1

0.5

0.4

0.1

1

0.3

1.5

0.1

a)

Y = 1 0 X - 1; Z =- X 2

b)

V=2 X t.m.larning matematik kutilmasi va dispersiyaslarini

c) hiso b la n g.

• Agar X  (23) va Y =1- X bo‗lsa F Y (2) ni hisoblang.
• Uzluksiz X t.m.ning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‗rinishga

ega:

 3 h , x  [  1 , 0 ] ,

f ( x )   h , x  [ 0 , 2 ] ,



 0, aks holda.



h ni, X t.m.ning taqsimot funksiyasi F ( x ) ni, M [(2- X )( X -3)] va D [2- 3 X ] ni hisoblang.

22. X t.m.ning taqsimot funksiyasi

 1  1 , a g a r x  1 ,

F ( x )  

x



  0, a g a r x  1 ,

bo‗lsa, P { X  a }  1 tenglik o‗rinli bo‗ladigan a ning qiymatini toping.

3

23. X uzluksiz t.m.ning taqsimot funksiyasi

F ( x )  c  b arc t g x

a

formula orqali aniqlanadi. Quyidagilarni toping: a) o‗zgarmas a , b va c

larning qiymatlari; b) X t.m.ning zichlik funksiyasi.

24. X t.m.ning taqsimot funksiyasi

 1  e  2 x , x  0 ,

F ( x )  

 0, x  0

k o ‗ r i n ish g a e ga b o ‗ l s a , M [ ( X  4 )( 5  X )] , P { X  M X } va hisoblang.

lar n i

25. Agar f ( x ) zichlik funksiyasi bo‗lsa, u holda

zichlik funksiya bo‗ladimi?

D ( 3  2 X )

f (  x ) funksiya

III bob. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar

3.1 Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi

Bir o‗lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‗lgan qiymarlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‗rganish zarurati tug‗iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o‗lchovli, uch o‗lchovli, … , n o‗lchovli deb ataladi.

Faraz qilaylik, (  , A, P ) ehtimollik fazosida aniqlangan X 1 , X 2 ,..., X n

t.m.lar berilgan bo‗lsin.

• vektorga tasodifiy vektor yoki n -o‗lchovli t.m.

X  ( X 1 , X 2 , ..., X n )

deyiladi.

Ko‗p o‗lchovli t.m. har bir elementar hodisa  ga n ta t.m.larning qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‗yadi.

• F X , X ,..., X ( x 1 , x 2 ,..., x n )  P { X 1  x 1 , X 2  x 2 ,..., X n  x n }

1 2 n

X 1 , X 2 , ... , X n

n o ‗ lc h ov l i

funksiya tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki

X  ( X 1 , X 2 , ..., X n )

X 1 , X 2 ,..., X n t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.

f un k s iy a ni k o ‗ r i n i s h i d a

F X , X , . . ., X ( x 1 , x 2 , ..., x n )

1 2 n

Qulaylik

u ch un

taq s i m ot

X 1 , X 2 , ... , X n

yozamiz.

F ( x 1 , x 2 , ... , x n )

indekslarini tushirib qoldirib,

F ( x 1 , x 2 , ... , x n )

taqsimot funksiyasi bo‗lsin. Ko‗p o‗lchovli

v e k t o r n i ng taq s imot

funksiya

tas o d i f iy

X  ( X 1 , X 2 , ..., X n )

F ( x 1 , x 2 , ... , x n )

funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:

0  F ( x 1 , x 2 , . . ., x n )  1 ,

1. ya‘ni taqsimot funksiya

 x i :

chegaralangan.

• F ( x 1 , x 2 ,..., x n ) funksiya har qaysi argumenti bo‗yicha kamayuvchi emas va chapdan uzluksiz.

• Agar biror x i   bo‗lsa, u holda

lim F ( x 1 , x 2 ,..., x n )  F ( x 1 ,..., x i  1 ,  , x i  1 ,..., x n ) 

x i   

( 3 .1.1)

, ... , X ( x 1 , ... , x i  1 , x i  1 , . .. , x n )

 F X , ... , X , X

1 i  1 i  1 n

l i m F ( x 1 , x 2 , ... , x n )  0 .

4. Agar biror x i   bo‗lsa, u holda

x i   

3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (3.1.1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. X  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) tasodifiy vektorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni

n

n  n n n

1 2 n  1

m 0 n n

ga tengdir.

k  C  C  ...  C  C  C  C  2  2

n n

n  0

M a s a lan,

( n =2) ikki o‗lchovlik tasodifiy vektorning

X  ( X 1 , X 2 )

m a r g i n a l ta q s i m ot fun k s iy a lari quyidagilardir:

s on i ta b o ‗ l i b, u lar

F (   , x 2 )  F 2 ( x 2 )  P ( X 2  x 2 ) .

k  2 2  2  2

F ( x 1 ,   )  F 1 ( x 1 )  P ( X 1  x 1 ) ;

Soddalik uchun n =2 bo‗lgan holda, ya‘ni ( X , Y ) ikki o‗lchovlik tasodifiy vector bo‗lgan holni ko‗rish bilan cheklanamiz.

3.2 Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

( X , Y ) ikki o‗lchovli t.m. taqsimot qonunini

p i j  P { X  x i , Y  y j } ; i  1 , n , j  1 , m

( 3 .2.1)

formula yordamida yoki quyidagi jadval ko‗rinishida berish mumkin:

Y

x 1

y 1

X

x 2

p 11

y 2

p 12

p 21

…

…

p 22

x n

…

y m

…

p n 1

…

…

p 1 m

p 21

…

p 2 m

…

…

p nm

( 3 .2.2)

b u ye r d a b a rcha

e hti m olli k lar y i g ‗ ind i s i b i r g a ten g , c hun k i

p ij

{ X  x i , Y  y j } i  1, n , j  1, m birgalikda bo‗lmagan hodisalar to‗la gruppani

tashkil etadi  p ij  1 . (3.2.1) formula ikki o‗lchovli diskret t.m.ning

i  1 j  1

taqsimot qonuni, (3.2.2) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi. ( X , Y ) ikki o‗lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni

n m

berilgan bo‗lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot

qo n u n larini to p i sh m u m ki n . H a r bir u c hun

i  1 , n

b i r g a li k da Dem a k,

hodisalar

{ X  x i , Y  y 1 } , { X  x i , Y  y 2 } , ... , { X  x i , Y  y m }

p x  P { X  x i }  p i 1  p i 2  ...  p im .

bo‗lmagani sababli:

i

m

n

i  ij

p x  P { X  x i }  p ,

j  ij

i  1 , n , p y  P { Y  y j }  p j  1 , m .

j  1 i  1

3.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‗k shar bo‗lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X

t.m. va ko‗k rangdagi sharlar soni Y t.m. bo‗lsin. ( X , Y ) ikki o‗lchovli

t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping.

X t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m.ning qiymatlari

Mos e hti m olli k la r ni hiso b la y m iz:

h a m 0 va 1.

(yoki

C 2

2  1  1

4 3 6

1

6

2

6

 P { X  0, Y  0}  2 

);

p 11

C 2

4

C 1

2

6

; p  P { X  1 , Y  0 } 

p 12  P { X  0, Y  1}  2 

;

C 2

21

4

p  P { X  1 , Y  1 }  1 .

22

6

( X , Y ) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‗rinishga ega:

Y

0

0

X

1

1

2

1

6

2

6

6

1

6

P { X  0 }  1  2  1 , P { X  1 }  2  1  1 ;

6 6 2 6 6 2

B u ye r d a n

P { Y  0 }  1  2  1 , P { Y  1 }  2  1  1 k e lib c h i q a di. X

6 6 2 6 6 2

va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‗rinishga ega bo‗ladi:

 Y : 0 , 1

 X : 0 , 1





1 .

2 2 2 2

1 va  p : 1 ,

 p : 1 ,

 

 

• Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari
• Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari

Ikki o‗lchovli t.m. taqsimot funksiyasini F ( x , y ) orqali belgilaymiz.

• Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi , x va y sonlarning har bir jufti uchun { X  x } va { Y  y } hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini
• Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi , x va y sonlarning har bir jufti uchun { X  x } va { Y  y } hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini
• Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi , x va y sonlarning har bir jufti uchun { X  x } va { Y  y } hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini

aniqlaydigan F ( x , y ) funksiyasidir: ya‘ni

( 3 .3.1)

F ( x , y )  P { X  x , Y  y }  P  ( X . Y )  (  , x )  (  , y )  D  .

(3.3.1.) tenglikning geometrik tasviri 21-rasmda keltirilgan.

21-rasm.

( X , Y ) i kki o ‗ lcho v lik d i s kret t. m . t a q s i m ot f u n k s iy a s i qu yi d a gi yig‗indi orqali aniqlanadi:

( 3 .3.2)

F ( x , y )  



p ij .

x i  x y j  y

Ikki o‗lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari:

• F ( x , y ) taqsimot funksiya chegaralangan: 0  F ( x , y )  1 .

• F ( x , y ) funksiya har qaysi argumenti bo‗yicha kamayuvchi emas: a g a r x 2  x 1 b o ‗ l s a , F ( x 2 , y )  F ( x 1 , y ) ,

a g a r y 2  y 1 b o ‗ l s a , F ( x , y 2 )  F ( x , y 1 ) .

• F ( x , y ) funksiyaning biror argumenti  bo‗lsa(limit ma‘nosida), u holda F ( x , y ) funksiya nolga teng, F ( x ,  )  F (  , y )  F (  ,  )  0 .

• Agar F ( x , y ) funk s iy a ni n g b i tta a rgum e nti   b o ‗ l s a ( l i m it ma‘nosida), u holda

F ( x ,   )  F 1 ( x )  F X ( x ) ; F (   , y )  F 2 ( y )  F Y ( y ) . ( 3 .3.3)

4 ' . Agar ikkala argumenti  bo‗lsa(limit ma‘nosida), u holda

F (  ,   )  1 .

5. F ( x , y ) funksiya har qaysi argumenti bo‗yicha chapdan uzluksiz,

ya ‘ n i l i m F ( x , y )  F ( x 0 , y ) , l i m F ( x , y )  F ( x , y 0 ) .

x  x 0  0 y  y 0  0

Isboti. 1. F ( x , y )  P { X  x , Y  y } ehtimollik bo‗lgaligi uchun

0  F ( x , y )  1 .

2. ( x , y ) argumentlarning birortasini kattalashtirsak, 21-rasmda bo‗yalgan D soha kattalashadi, demak bu sohaga ( X , Y ) tasodifiy nuqtaning tushishi ehtimolligi kamaymaydi.

3. h o d i s a lar v a ular n i ng k o ‗ p a y tm a s i m u m kin

{ X    } , { Y    }

bo‗lmagan hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtimolligi nolga teng.

4. { X   } muqarrar hodisa bo‗lgani uchun

{ X    }  { Y  y }  { Y  y }

F (   , y )  P { X    ; Y  y }  P { Y  y }  F Y ( y ) .

b o ‗ ladi. D e m a k, X uddi

shunday F ( x ,  )  P { X  x ; Y   }  P { X  x }  F X ( x ) .

4 ' . { X   } va { Y   } hodisalar muqarrar hodisalar bo‗lganligi uchun

{ X   }  { Y   } ham muqarrar hodisa bo‗ladi va bu hodisaning

ehtimolligi 1 ga teng. ■

F ( x , y ) taq s i m ot f u nk s iya y or d a m i d a ( X , Y ) t. m .

bi r or s oh a ga t u s h i s hi e hti m olli g i ni t op i s h

D  { ( x , y ) : x 1  x  x 2 , y 1  y  y 2 }

mumkin:

P { ( X , Y )  D }  P { x 1  X  x 2 , y 1  Y  y 2 } 

 F ( x 2 , y 2 )  F ( x 1 , y 2 )  F ( x 2 , y 1 )  F ( x 1 , y 1 ) .

22-rasmda (3.3.4) tenglikning geometrik isboti keltirilgan.

( 3 .3.4)

22 - ras m .

3.2-misol. 3.1-misoldagi ( X , Y ) ikki o‗lchovlik t.m.ning hamda X va Y

t.m.larning taqsimot funksiyalarini toping. Avvalgi bobdagi (2.3.2) formuladan:

 0, agar x  0,  0, agar y  0,

F ( x )   0. 5 , a g a r 0  x  1 , F ( y )   0. 5 , a g a r 0  y  1 ,

 

1

2

 1 , a g a r x  1 ,

 1 , a g a r y  1.





( X , Y ) i k k i o ‗ lc ho vl i k t . m . ni n g F ( x , y ) taq s i m ot f u n k s iy a s ini ( 3.3.2) formulaga ko‗ra topamiz:

Y

X

y  0

x  0

0  y  1

0  x  1

0

y  1

x  1

0

0

0

1

0

1   1  2 

1   1  2 

6

1   1  2  2  1 

2  6 6 

2  6 6 

 6 6 6 6 

 

 

 

3.4 Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari

• Ikki o‗lchovlik t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi

F ( x , y ) : 1. u z l u k s iz b o ‗ l s a ;

2. har bir argumenti bo‗yicha differensiyallanuvchi;

3. F ( x , y ) ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‗lsa.

''

xy

• Ikki o‘lchovlik (X,Y) t.m.ning zichlik funksiyasi

 2 F ( x , y )

''

 F ( x , y )

f ( x , y ) 

( 3 .4.1)

xy

 x  y

Tenglik orqali aniqlanadi.

( X , Y ) t. m .ning G s oh a g a( 2 3 -ras m ) t u s h ishi e hti m ol l i g i ( 3.3. 4 ) f o r m ulaga k o ‗ ra: P { x  X  x  x , y  Y  y  y } 

 F ( x  x , y  y )  F ( x , y  y )  F ( x  x , y )  F ( x , y ) ,

 P { x  X  x  x , y  Y  y  y } 

f

o ' r t ac h a

x  y

 1  F ( x  x , y  y )  F ( x , y  y )  F ( x  x , y )  F ( x , y )  .

y  

x x

 

y  0 da li m itga o ‗ ta m i z ,

x  0 ,

F ' ( x , y 

y )  F ' ( x , y )

x

x

lim f o'rtacha  lim

x  0 y  0

y  0

,

y

 

'

'

' '

f ( x , y )  F ( x , y )

 F ( x , y )

ya ‘ n i

.

x y

x

y

23-rasm.

Demak, ( X , Y ) ikki o‗lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb,

P { x  X  x  d x , y  Y  y  d y }  f ( x , y ) d x d y

( 3 .4.2)

tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan.

f ( x , y ) zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. f ( x , y )  0 .

2. P { ( X , Y )  D }    f ( x , y ) d x d y .

(3.4.3)

D

3. F ( x , y )    f ( u , v ) dud v .

 

 

4.   f ( x , y ) d x d y  1 .

 

5. X va Y t . m .l a r ning b i r o ‗ lchovl i k tengliklar yordamida topish mumkin:

x y

( 3 .4. 4 )

zichlik funksiyalarini quyidagi

 

 f ( x , y ) d y  f X ( x ) ;  f ( x , y ) d x  f Y ( y ) .

 

( 3 .4.5)

Isboti. 1. Bu xossa F ( x , y ) funksiyaning har qaysi argumenti bo‗yicha kamaymaydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi.

2. f ( x , y ) dxdy ifoda ( X , Y ) tasodifiy nuqtaning tomonlari dx va dy bo‗lgan to‗g‗ri to‗rtburchakka tushish ehtimolligini bildiragi. D sohani to‗g‗ri to‗rtburchaklarga ajratamiz(24-rasm) va har biri uchun (3.4.2) formulani qo‗llaymiz:

P {( X , Y )  D }   f ( x i , y i ) x y

i  1

b o ‗ ladi. li m itga o ‗ tib,

n

E ndi da

x  0 , y  0

P { ( X , Y )  D }    f ( x , y ) d x d y

D

qilamiz.

ni h o s il

24-rasm.

3. (3.4.3) formuladan:

F ( x , y )  P { X  x , Y  y }  P {   X  x ,   Y  y }    f ( u , v ) dudv .

 

x y

4. F (   ,   )  1 va ( 3 .4. 4 ) f o r m ulada x  y    d e b ma‘nosida),

 

F (   ,   )    f ( x , y ) d x d y  1 .

 

5. Avval X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini topamiz:

olsak(limit

x   



x 

F X ( x )  F ( x ,  )    f ( u , v ) dudv     f ( u , y ) dy  du ,

     

 

(3.4.5)

y   



 y

F Y ( y )  F (  , y )    f ( u , v ) dudv     f ( x , v ) dx  dv .

     

 

Birinchi tenglikni x bo‗yicha, ikkinchisini y bo‗yicha differensiyallasak, X av Y t.m.larnin zichlik funksiyalarini hosil qilamiz:





f ( x )  F ' ( x )  f ( x , y ) dy

X X



va





f ( y )  F ' ( y )  f ( x , y ) dx .

Y Y



■

Izoh . Agar X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari berilgan

bo‗lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish mumkin emas.

3.3-misol. ( X , Y ) ikki o‗lchovli t.m.ning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan

 C e - x - y , a g a r x  0 , y  0

f ( x , y )  

 0, aks holda.

Quyidagilarni toping: 1) O‗zgarmas son C; 2) F ( x , y ) ; 3) F X ( x ) va F Y ( y ) ; 4) f X ( x ) va f Y ( y ) ; 5) P { X  0, Y  1} .

 

1)   f ( x , y ) d x d y  1 ten g likd a n

 

   

C   e  x  y d x d y  C  e  x d x   e  y d y  C  1.

0 0 0 0

x y x y

2) F ( x , y )    e  u  v dud v   e  u d u   e  v d v  ( 1  e  x ) ( 1  e  y ) , x  0 , y  0 ,

0 0 0 0

ya‘ni

x  0, y  0, aks holda.

 ( 1  e  x ) ( 1  e  y ) ,

F ( x , y )  

 0,

x  



x



 

 u

 x

 u  v

3) F ( x )  F ( x ,   ) 

e e d v d u  1  e d u  1  e







, x 0 , de m a k

X

0  0



0

x  0 ,

x  0 .

 ( 1  e  x ) ,

F X ( x )  

 0,

Aynan shunday,

y  0 ,

y  0 .

 ( 1  e  y ) ,

F Y ( x )  

 0,

x  0 ,

x  0 ,

 ( 1  e  x ) ' ,

x  0 ,

 e  x ,

'

x

( x )  F ( x ) 

 



4) f X

X

x  0,  0,

 0,

va shu kabi

y  0,

 0, y  0.

 e  y ,

f Y ( y )  



1



1

 



• y

 x

 1

 x

P { X  0, Y  1}  e dx e dy  

( e  1 ) e d x  1   0 . 63 .

5)

e

0

0

0

3.5 Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi

• X va Y t.m.lar bog‘liqsiz deiladi, agar  x , y  R uchun { X  x } va

{ Y  y } hodisalar bog‗liqsiz bo‗lsa.

Endi t.m.lar bog‗liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.

Teorema. X va Y t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lishi uchun

F ( x , y )  F X ( x )  F Y ( y )

( 3 .5.1)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lsa, { X  x } va

ho d i s a lar h am b o g ‗ l i q s iz b o ‗ la d i. U ho l da

{ Y  y }

P { X  x , Y  y }  P { X  x }  P { Y  y } , ya‘ni F ( x , y )  F X ( x )  F Y ( y ) .

Yetarliligi. (3.5.1) tenglik o‗rinli bo‗lsin, u holda P { X  x , Y  y }  P { X  x }  P { Y  y } bo‗ladi. Bu tenglikdan X va Y t.m.lar bog‗liqsizligi kelib chiqadi. ■

1-natija. X va Y uzluksiz t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lishi uchun

f ( x , y )  f X ( x )  f Y ( y )

( 3 .5.2)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lsa, u holda (3.5.1) tenglik o‗rinli bo‗ladi. Bu tenglikni x bo‗yicha, keyin esa y bo‗yicha

f ( x , y )  d F ( x )  d F ( y )

differensiyallab,

ten g l i klar n i, ya ‘ n i

X Y

d x d y

f ( x , y )  f X ( x )  f Y ( y ) ho s i l qil a m iz.

Yetarliligi. (3.5.2) tenglik o‗rinli bo‗lsin. Bu tenglikni x bo‗yicha va

y bo‗yicha integrallaymiz:

x y x y

  f ( u , v ) dud v   f X ( u ) d u   f Y ( v ) d v .

   

Bu esa F ( x , y )  F X ( x )  F Y ( y ) tenglikning o‗zidir. Teoremaga ko‗ra X va

Y t.m.lar bog‗liqsizligi kelib chiqadi. ■

2-natija. X va Y diskret t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lishi uchun ihtiyoriy

i  1 , 2 , .. . n , j  1 , 2 , .. . m larda

( 3 .5.3)

P { X  x i , Y  y j }  P { X  x i }  P { Y  y j }

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

3.4-misol. a) 3.1-misoldagi X va Y t.m.lar bog‗liqmi? b) 3.3- misoldagi X va Y t.m.lar bog‗liqsizmi?

 P { X  0 , Y  0 }  1 , P { X  0 }  P { Y  0 }  1  1  1 , ya ‘ n i

a) p

11

6 2 2 4

P { X  0, Y  0}  P { X  0}  P { Y  0} . Demak, X va Y t.m.lar bog‗liq.

x  0 ,

x  0 ,

 e - x - y , a g a r x  0 , y  0  e  x ,

f ( x , y )  

f X ( x )  

b)

 0, aks holda,  0,

y  0,

0 , y  0 .

 e  y ,

f ( y ) 



f ( x , y )  f X ( x )  f Y ( y ) ten g l i k o ‗ r i n li, d e m a k, X va Y

Y



t.m.lar bog‗liqsiz.

3.6 Shartli taqsimot qonunlari

( X , Y ) ikki o‗lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog‗liq bo‗lsa, ularning bog‗liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

• ( X , Y ) ikki o‗lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni

p ij  P { X  x i , Y  y j } , i  1, n , j  1, m bo‗lsin. U holda

P { X  x i , Y  y j }

P { Y  y j / X  x i } 

i  1 , 2 , .. . n , j  1 , 2 , .. . m

,

( 3 .6.1)

P { X  x }

i

p ( y 1 / x i ) , p ( y 2 / x i ) , . . . p ( y m / x i ) lar Y t. m .ning

ehtimolliklar to‗plami, ya‘ni

X  x i dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda

p

 1

m m

m

p ij

 i j j  1

 i 

x

p 

 1

p ( y / x ) 

.

i

j

p p

p

j  1 j  1

x i

x i

x i

Xuddi shunday,

P { X  x i , Y  y j }

P { X  x i / Y  y j } 

i  1 , 2 , .. . n , j  1 , 2 , .. . m

, ( 3 .6. 2 )

P { Y  y }

i

p ( x 1 / y j ) , p ( x 2 / y j ) , ... p ( x n / y j ) lar X t . m . ning

ehtimolliklar to‗plami, ya‘ni

dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.

3.5-misol. ( X , Y ) ikki o‗lchovlik t.m.ni birgalikdagi taqsimot jadvali

Y  y j

berilgan:

Quyidagilarni toping: a) X av Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.

X \ Y

1

0.1

0.12

2

0.2

0.16

3

0.08

0.40

0.10

0.14

m n

a ) p x   p ij

i

j  1

va p y   p ij

j

i  1

tengliklardan:

X

P

0.1

0.2

0.60

0.40

Y

1

P

2

0.28

3

0.10

0.54

,

b) (3.6.2) formulaga asosan: P { X  0.1/ Y  2}  0.08  4 ,

0.1 8 9

P { X  0.2 / Y  2}  0.10  5 . X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni

0.1 8 9

quyidagiga teng:

X

P Y  2

0.1

4

0.2

5

9

9

Endi ( X , Y ) ikki o‗lchovli t.m. uzluksiz bo‗lgan holni ko‗ramiz.

f X ( x ) va f Y ( y ) lar

f ( x , y ) ( X , Y ) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi,

esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‗lsin.

• Y t.m.ning X = x bo‗lgandagi shartli zichlik funksiyasi

f ( x , y )

f ( y / x )  f ( x , y )  , f ( x )  0

( 3 .6.3)

X



 f ( x , y ) dy



f ( x )

X

ifodaga orqali aniqlanadi.



f ( y / x )  0 ,  f ( y / x ) d y  1



Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.

• Xuddi shunday, X t.m.ning Y = y bo‗lgandagi shartli zichlik funksiyasi

f ( x , y )

f ( x / y )  f ( x , y )  , f ( y )  0 ,

( 3 .6.4)

y



 f ( x , y ) dx



f ( y )

Y

tenglik orqali aniqlanadi.

(3.6.3) va (3.6.4) tengliklarni hisobga olib, f ( x , y ) zichlik funksiyani

quyidagi ko‗rinishda yozish mumkin:

f ( x , y )  f X ( x )  f ( y / x )  f Y ( y )  f ( x / y ) .

( 3 .6. 5 )

( 3 .6. 5 ) tenglik z i c hl i k fun k s iy a lar n ing k o ‗ p ay tir is h q oi d a s i ( te o re m a s i) deyiladi.

3.6-misol. ( X , Y ) ikki o‗lchovli uzluksiz t.m.ning birgalikdagi zichlik

f u n k s iy a s i b er ilg an : f ( x , y )   C x y , a g a r ( x , y )  D ,



 0 , a g a r ( x , y )  D ,

25 - ras m .

bu yerda D  {( x , y ) : y   x , y  2, x  0} (25-rasm). 1) toping. 2) X va Y t.m.larning bog‗liqligini ko‗rsating.

1) Avval o‗zgarmas son C ni topamiz:

f X ( x ) v a f ( x / y ) lar n i

   

0

2

0

0

 

   



 x 2 

 y 2



 



  C x  2   d x   2 C .

2

1 

f ( x , y ) d x d y  d x C xy d y  C x d x 

 x

  2 

2 

 2

 2

 2  x

f X ( x ) ni topa m i z :

Bundan C  1 .

2

0 

1

4



1



f X ( x )   f ( x , y ) d y     x y  d y  

x ( 4  x 2 ) , x  (  2 , 0 ) .

2



 2 

 

f ( x / y ) ni (3.6.4) formulasidan foydalanamiz, buning uchun dastlab ni hisoblash kerak:

f Y ( y )

y 3

4

0 



1







f ( y )  f ( x , y ) dx   xy dx 

,

,

y  ( 0 , 2 )





Y

2



 y 

 

• 1 xy

2

f ( x / y )  f ( x , y ) 

  2 x , ( x , y )  D .

y 3

y 2

f ( y )

Y

4

t. m . l a r

bog‗liqsiz

bo‗lsa,

2) X va Y

f ( x / y )  f ( x , y )  f X ( x )  f Y ( y )  f

tenglik

o‗rinli.

( x )

X

f Y ( y ) f Y ( y )

f

( x )   1 x (4  x 2 ) , x  (  2, 0) va f ( x / y )   2 x , ( x , y )  D funksiyalarlar

y 2

X

4

bir-biridan farqli bo‗lganligi uchun X va Y t.m.lar bog‗liq.

3.7 Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

( X , Y ) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‗riladi. Amaliyotda eng ko‗p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

• Ikki o‗lchovli diskret ( X , Y ) t.m.ning matematik kutilmasi ( MX , MY ) bo‗lib, bu yerda

MX  m x    x i p ij ,

MY  m y    y i p ij

i  1 j  1

i  1 j  1

n m

n m

( 3 .7.1)

va p ij  P { X  x i , Y  y j } .

Agar ( X , Y ) t.m. uzluksiz bo‗lsa, u holda

 

 

M X  m x    x  f ( x , y ) d x d y ,

M Y  m y    y  f ( x , y ) d x d y .

 

 

(3.7.2)

• X va Y t.m.larning kovariatsiyasi

K X Y  c o v ( X , Y )  M  ( X  m x ) ( Y  m y )    1 , 1

t e ngl i k bil a n a n i qlanad i . Agar ( X , Y ) t. m . diskr e t kovariatsiyasi

(3.7.3)

bo‗lsa,

un i ng

K XY    ( x i  m x ) ( y j  m y ) p ij ,

i  1 j  1

n m

( 3 .7. 4 )

agar uzluksiz bo‗lsa,

 

K X Y    ( x  m x ) ( y  m y ) f ( x , y ) d x d y

 

( 3 .7. 5 )

formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

K X Y  c o v ( X , Y )  M X Y  MX  M Y .

( 3 .7. 6 )

Bu tenglik (3.7.3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

K X Y  M  ( X  m x ) ( Y  m y )   M ( X Y  X m y  Y m x  m x m y ) 

 MXY  m y MX  m x MY  m x m y  MXY  m y m x  m x m y  m x m y  MXY  MXMY .

Kovariatsiya orqali X va Y t.m.larning dispersiyalarini aniqlash mumkin:

D X  c o v ( X , X )  M ( X  M X ) 2  M X 2  ( M X ) 2 ,

D Y  c o v ( Y , Y )  M ( Y  M Y ) 2  M Y 2  ( M Y ) 2 .

( X , Y ) vektorning kovariatsiya matritsasi

 

 

C  M ( X , Y )  ( X , Y )  ( m , m ) ( m , m ) 

x y x y

DX

c o v ( Y , X ) D Y

K XY

K YX K YY

c o v ( X , Y )  K X X



- ifoda bilan aiqlanadi.

Kovariatsiyaning xossalari:

• K XY  K YX ;

• Agar X  Y b o ‗ l sa , u h o l d a K X Y  0 ;
• Agar X va Y i x ti y or i y t. m .l a r b o ‗ l s a , u h o l da D ( X  Y )  D X  DY  2 K X Y ;

y oki c o v ( C X , Y )  C c o v ( X , Y )  c o v ( X , C Y ) ;

4. K CX , Y  CK XY  K X , CY

y oki

5 . K X  C , Y  K X Y  K X , Y  C  K X  C , Y  C

c o v ( X  C , Y )  c o v ( X , Y )  c o v ( X , Y  C )  c o v ( X  C , Y  C ) ;

  X   Y .

6. K XY

Isboti. 1. (3.7.3) dan kelib chiqadi.

2. Agar X  Y bo‗lsa, u holda X  m x va Y  m y lar ham bog‗liqsiz bo‗ladi

va matematik kutilmaning xossasiga ko‗ra K XY  0 .

3. D ( X  Y )  M (( X  Y )  M ( X  Y )) 2  M (( X  MX )  ( Y  MY )) 2 

 M ( X  MX ) 2  2 M ( X  MX )( Y  MY )  M ( Y  MY ) 2  DX  DY  2 K .

XY

4. K CX , Y  M ( CX  MCX )( Y  MY )  M  C ( X  MX )( Y  MY )   CK XY .

5. K X  C , Y  M (( X  C )  M ( X  C ))( Y  MY )  M ( X  C  MX  C )( Y  MY ) 

 M ( X  M X ) ( Y  M Y )  K XY

X  m x

Y  m y

t.m.larga qo‗llasak,

6 . 3 - x o s s a ni va





x

y

 

 m   Y  m 

Y  m



X  m

X

y

y

• D

D

 D





x

x









 









 x 





 

y

y

x

 Y  m y   

 X  m    Y  m y

  X  m

x   

 M     

 2 M  

x  M 



 



  

   

 x    y



y

x

 X  m Y  m  

 1  1  2 M x  y  2  1 



K

XY

 .

 





 

 X Y 





y

x





K XY

  X   Y . ■

Disp e r siya ma nf i y b o‗ l m a s lig i d a n 2  1      0 , ya ‘ n i K X Y

 X Y 

3-xossaga ko‗ra, agar K XY  0 bo‗lsa, X va Y t.m.lar bo‗gliq bo‗ladi.

B u h o l da X va Y t. m .l a r kor r e lats iy a lan g a n d ey il a di. L e kin

K XY  0

ekanligidan X va Y t.m.larning bog‗liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y t.m.larning bog‗liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‗rinli emas.

• X va Y t.m.larning korrelatsiya koeffitsienti

 c o v ( X , Y )

K XY

r 

( 3 .7. 7 )

XY

 

D X D Y

X Y

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:

• r X Y  1 , y a ‘ n i  1  r X Y  1 ;

• Agar X  Y b o ‗ l s a , u h o l d a r X Y  0 ;

3. Agar  1 bo‗lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‗liq

r XY

bo‗ladi, teskarisi ham o‗rinli.

Shunday qilib, bogliqsiz t.m.lar uchun r XY  0 , chiziqli bog‗langan

 1  r XY  1 . Agar  0

b o ‗ l s a ,

t.m.lar uchun  1 , qolgan hollarda

r XY r XY

t.m.lar musbat korrelatsiyalangan va aksincha manfiy korrelyatsialangan deyiladi.

r XY  0

a g a r

bo‗lsa, ular

3.8 Ba’zi muhim ikki o‘lchovlik taqsimotlar

Doiradagi tekis taqsimot . Radiusi R  1 bo‗lgan doirada  X , Y  t.m. tekis taqsimotga ega bo‗lsin(26-rasm).

y

1

 1

O

1

x

 1

26-rasm.

Demak, (X,Y) ning birgalikdagi zichlik funksiyasi

  C , a g a r x 2  y 2  1 ,

f  x , y   

  0 , a g a r x 2  y 2  1.

O‗zgarmas C ni

  

1 1  x 2

  f  x , y  d x dy  1 , ya ‘ n i 



C d x d y  1

   

 1  1  x 2

shartdan aniqlaymiz. Bu karrali integralni geometrik ma'nosidan kelib chiqqan holda hisoblash osonroq(27-rasm).

27 - ras m .

f  x , y  sirt va OXY tekislik bilan chegaralangan jismning hajmi 1 ga tengdir. Bizning holda bu asosi  R 2    1 2   va balandligi C bo‗lgan

silindr hajmidir V   C  1 . Dеmаk, C  1 vа izlаnаyotgаn zichlik funksiyasi



 1 , a g a r x 2  y 2  1 ,

f  x , y    



  0 , a g a r x 2  y 2  1 .

Ungа mоs taqsimot funksiyani hisоblаymiz:

x y x y

F  x , y     f  u , v  dudv   

1

 dud v .

 

 1  1  u 2

28-rаsm.

Tаbiiyki, bu intеgrаl x 2  y 2  1 dоirа bilаn uchi M nuqtаdа bo‗lgаn

1



D    a , b   R 2 : a  x , b  y  - kv аd rаn t ning

аniqligidа kеsishishidаn hоsil

bo‗lgаn sоhа D 0 yuzаsigа tеngdir(28-rаsm). Tаbiiyki, x   1,    y   dа

F  x , y   0 , chunki bu hоldа D 0   , endi x  1 vа y  1 dа F  x , y   1 , chunki bu hоldа D 0 - sоhа x  y  1 dоirа bilаn ustmа-ust tushаdi.

2 2

Endi X vа Y lаrning mаrginаl taqsimot funksuyalаri F X vа F Y lаrni hisоblаymiz:  1  x  1 dа

x 

1  1  u 2

  1  u

x

x 

x 1  u 2

 

 

1

1



F  x  

f  u , v  dudv 



  

du   2 1  u 2 du 

dudv   v



2

X







 1 

 1

 1  1  u 2



 



1 1

1





x

2

2

  x 1  x  arc s in u

   x 1  x  arc s in x .

 1  

 

2 



Dеmаk,

 0 ,

 1

agar x  -1,

•   x 1  x  a r c sin x  , a g a r  1  x  1 ,

1

F X  x   

2

 2 

  1,

a g a r x  1 .

Аynаn shungа o‗хshаsh

 0 ,

 1

agar y  -1,

•   y 1  y  arc s i n y  , a g a r  1  y  1 ,

1

F Y  y   

2

 2 

  1 , a g a r y  1 .

Nihоyat, X vа Y lаrning mаrginаl zichliklаrini hisоblаymiz:

1  x 2 1

x   f  x , y  d y 



 

2



 1  x 2

2

f X  

 1  x  1 ,

 dy    1  x ,

vа shu kаbi

f Y  y    f  x , y  d x 



1  y 2



 1  y 2

 

1 2 2

 dx    1  y ,

 1  y  1 .

Ko‗rinib turibdiki, f  x , y   f X  x   f Y  y  , dеmаk, X vа Y bоg‗liq t.m.lаr ekаn. Shuni tа‘kidlаb o‗tish lоzimki, tеkis tаqsimоtgа egа bo‗lgаn hаr qаndаy  X , Y  juftlik dоimо bоg‗liq bo‗lаdi dеb аytish nоto‗g‗ridir. Chunki X vа Y lаrning bоg‗liqlik хоssаlаri ulаr qаndаy sоhаdа tеkis tаqsimоtgа

egа ekаnligigа bоg‗liqdir. Shu bоisdаn kеyingi tаqsimоtni ko‗rib o‗tаmiz.

Kvаdrаtdаgi tеkis tаqsimоt .  X , Y  juftlik  0,1    0,1  kvаdrаtdа tеkis tаqsimоtgа egа bo‗lsin. U hоldа ulаr birgаlikdаgi taqsomot funksiyasi ko‗rinishi quyidаgidеk bo‗lаdi:

 0, x , y  0,

F  x , y    x  y , 0  x , y  1 ,



 1 , x , y  1.



B und а n

 0, x  0,

F  x   F  x ,     F  x , 1    x , 0  x  1 ,



X

 1 , x  1 .



 0, y  0,

F  y   F    , y   F  1 , y    y , 0  y  1 ,



Y

 1 , y  1 .



x , y  R lаr u c hun F  x , y   F  x   F  y  , ya ‘ n i vа

Dеmаk, bаrchа

X Y bоg‗liq

1

X Y

emаs ekаn.

Ikki o‘lchоvlik nоrmаl(Gаuss) tаqsimоti .  X , Y  tаsоdifiy vеktоr

i k k i o ‗ lchоvli n о r m а l tаq s i m оt g а e gа b o ‗ lsin. U h о l dа  X , Y  n in g birgаlikdаgi zichlik funksiyasi

1   x  a  2  x  a   y  a   y  a  2   

 

1

f  x , y  

 exp  

 1  2 r  1  2  2   .

 



  

2

2

 

2

2 1

2    1  r 2

 1

2 

 

  



1

2

1 2

G е о m е t r ik n u qt а y i n аzа r d а n f  x , y  grаf i gi c h o ‗ q q i s i  a 1 , a 2  nu q tа d а jоylаshgаn « tоg‗ » shаklini bildirаdi(29-rаsm). Аgаrdа biz bu tоg‗ni OXY tеkisligigа паrаllеl tеkislik bilаn kеsаdigаn bo‗lsаk, u hоldа kеsilish chiziqlаri quyidаgi ellipslаrdаn ibоrаt bo‗lаdi:

 x  a   y  a   

 

2

2

y  a

x  a

 C -kоnstаntа, bu yеrdа a  MX ,

1

1 2

2

 

 2 r 

1



 



2

2

2

1 2

1

2

 M Y ,   D X 

, 2  DY , vа r  r -kоrrеlatsiya kоeffitsiеntidir.

a

2 1

2 X , Y

Аgаr r  0 bo‗lsа, bu chiziqlаr аylаnаlаrdаn ibоrаt bo‗lib qоlаdi. Biz r ning аynаn kоrrеlatsiya kоeffisiеnti bo‗lishigа ishоnch hоsil qilish mаqsаdidа

 X  a 1

 Y  a 2

vа Z

Z

 2

 2

1

2

1

2

ya ngi t. m . l а r n i ki r i t а m iz. T а b ii y ki, M Z k  0 , D Z k  1 , k  1 , 2 . U hо l dа  Z 1 , Z 2 

ning zichlik funksiyasi





 1 

2  1  r 2

2

2

 z  2 r  z z  z



 

e x p  

g z , z

 

1 1 2

2

 .

 

2  1  r 2 

1 2

29-rаsm.

Endi kоrrеlatsiya kоeffitsiеntini hisоblаymiz:

 

1

 z z g  z , z  dz dz 

2   1 2 1 2 1 2

 

r X , Y  Cov  Z 1 , Z 2   M Z 1 Z 2 

2  1  r

2 

 

 

z 2 2







 1 2  1  r 2

 





 

z  rz







 z



 

1 2

z e 2

• rz  rz  e xp 

dz dz







 

1  2

 

2

1 2 2

2

2 1  r

  

 



2 

z 2 2







  

 1

2 









 

 

z  r z

 1

z  e 2   



 z 

  r z   d z

1 2

 d z



• rz  exp 





 

1 2  2

 

2

1 2

2

2 1

• r



2   1  r 2

 





2 

z 2 2







 







 

z  r z

 1

 r 

z 2  e 2    exp 





 r .

  r z   d z



  

1 2

d z





 

1 2  2

 

2

2 

2

• r

2 1



2   1  r 2





Охirgi tеnglikni hоsil qilishdа quyidаgi intеgrаllаrdаn fоydаlаndik:

u 2

2  1  r 2 





1

2 

 u  e



u  z 1  r z 2 ,

du  0,

2   1  r

-mаrkаzlаshtirilgаn nоrmаl t.m.ning mаtеmаtik kutilmаsi;

u 2

2  1  r 2 





1

2 

 e



d u  1 , u  z 1  r z 2 ,

2   1  r

-zichlik funksiya intеgrаli;

z 2 2



1





2

 z  e d z  1 ,

2

2 2

2 

 

-stаndаrt nоrmаl t.m. dispеrsiyasi.

Dеmаk, r  X , Y   r ekаn. Аgаr ikki nоrmаl tаqsimоtgа egа bo‗lgаn X

bo‗lishi r ning хоssаsidаn kеlib

vа t.m.lаr bоg‗liq bo‗lmаsа,

Y r  0

chiqаdi. Endi shu t.m.lаr uchun r  0 bo‗lsin. U hоldа

1   x  a  2  y  a  2   

 

1

f  x , y  

 x   f  y  ,

 exp  

 

 1  2    f

X

Y

2  

2   



2

2

1



  



2

1 2

bu yеrdа

 y  a 

 x  a 





2

1





2

1

 y    exp  

f  x    e xp  

2

1



 , f Y

2

X

2 

2  

2  2

2  



2 

1 



2

1

   

funksiyalаr

nоrmаl t.m.lаr zichlik funksiyalаridir.

N a ,  , N a , 

2 2

1 1 2 2

Dеmаk, t.m.lаr kоrrеlyatsiyalаnmаgаnligidаn ulаrning bоg‗liqsizligi hаm kеlib chiqаr ekаn. Bu hоl ikki o‗lchоvlik nоrmаl tаqsimоtni bоshqа tаqsimоtlаrdаn аjrаtib turаdi.

3.9 Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari

Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma‘lumotni o‗z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog‗liqsiz t.m.larning yig‗indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir muncha osonlashadi.

e itX t.m.ning

• X t.m.ning xarakteristik funksiyasi

m a t e m a tik

ku t il m a s i b o ‗ l i b, uni  X ( t ) y oki  ( t ) or q a li b e l g il a y m i z . S hu n d a y qili b , ta‘rifga ko‗ra:

 ( t )  Me itX .

( 3 .9.1)

x 1 , x 2 , . . . x n , . . . p k  P { X  x k }, k  1 , 2 , . . .

Agar X t.m. qiymatlarni

e hti m olli k lar bil a n q a bul qi l uv ch i d i s kret t. m . b o ‗ l s a , u h o l d a u ning xarakteristik funksiyasi



 ( t )   e it x k p

( 3 .9.2)

k

k  1

formula orqali, agar zichlik funksiyasi f ( x ) bo‗lgan uzluksiz t.m. bo‗lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

 ( t )   e it x f ( x ) d x





( 3 .9.3)

formula orqali aniqlanadi.

Xarakteristik funksiyaning xossalari:

• B a rcha t  R u c hun quy i d a gi ten g s izlik o ‗ r i n l i :

 ( t )   ( 0 )  1 .

• Agar Y  aX  b bo‗lsa, bu yerda a va b o‗zgarmas sonlar, u holda

 Y ( t )  e  X ( a t ) .

itb

• Agar X va Y t.m.lar bog‗liqsiz bo‗lsa, u holda X + Y yig‗indining xarakteristik funksiyasi X va Y t.m.larning xarakteristik funksiyalari ko‗paytmasiga teng:

 X  Y ( t )   X ( t )   Y ( t ) .

4. Agar X t.m.ning k -tartibli boshlang‗ich momenti  k  MX mavjud

k

bo‗lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning k -tartibli hosilasi mavjud bo‗lib, uning t =0 dagi qiymati

 ( 0)  i M ( X )  i  

( k ) k k k

.

X

Is b ot i . 1.  ( t )  M e it X  M 1  1 , c hunki

k

 M e itX

e itX

 co s t X  i si n t X  c o s 2 t X  s i n 2 t X  1 .  ( 0)  M e 0  M 1  1 .

•  Y ( t )  M e  M e  M ( e e )  e M e  e  ( a t ) .

itY it ( aX  b ) itb iaXt itb iatX itb

X

•  X  Y ( t )  M e  M ( e e )  M e  M e   ( t )   ( t ) . B u xo ss a n

it ( X  Y ) itX itY itX itY

X Y

ta bog‗liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‗indisi uchun ham o‗rinlidir.

d k M e i t X



( k )

k k itX

( t )   i M ( X e

4. Hisoblashdan ko‗rinadiki,

) . Demak t =0

X

dt k

 ( 0)  i M ( X )  i  

bo‗lsa,

. ■

( k ) k k k

X

k

  i  ( 0)

4-xossadan

.

 k ( k )

k X

 1  MX   i  (0) ;   MX    (0) ;

' 2 ''

2

(3.9.4)

 (0))

DX        ( 0)  (

.

2 ' '

'

2

2 1

3.7-misol. Agar X Bi ( n ; p ) bo‗lsa, u holda X t.m.ning xarakteristik funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.

X t.m. 0,1,2,…,n qiymatlarni

p  P { X  k }  C k p k q n  k k  0 , 1 , .. . , n

k n

ehtimolliklar bilan qabul qiladi. (3.9.2) va Nyuton binomi formulalaridan

n n

 n  n

 ( t )  e C p q  C ( e  p ) q  ( e p  q )

k it k n  k it n

itk k k n  k

foydalansak,

, y a ‘ ni X

k  0 k  0

t.m.ning xarakteristik funksiyasi  ( t )  ( e it p  q ) n ifoda bilan aniqlanishiga

ishonch hosil qilamiz. (3.9.4) formulaga

M X   i ( n ( e i t p  q ) n  1  p e i t  i )  n p va s hu kabi D X  np q .

t  0

ko‗ra:

3.8-misol. Agar bo‗lsa, u holda X ning xarakteristik

X N ( a ,  )

funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.

 e it x e

 ( x  a ) 2



1

 ( t ) 

dx 

2  2

(3.9.3) formulaga asosan:

2  

 x 2  2 x ( a  i t  2 )  ( a  i t  2 ) 2  a 2  ( a  i t  2 ) 2

 x 2  2 ( a  i t  2 ) x  a 2

 

 

1

1

 e

 e

dx 



dx 

2  2

2  2

2  

2  

 

 

2 ai t  2  ( i t  2 ) 2

 ( x  ( a  i t  2 ) ) 2

2 ai t  2  t 2  4  

   ( x  ( a  i t  2 ) ) 2

1

1

 e

 e

e

d x 

 e

d x 



2  2

2  2

2  2

2  2

2  

2  

 

 

 x  ( a  i t  2 )  2

2  e 

2 2

2 2

2 2

 x  ( a  i t  2 ) 

1

1

 

i a t  t 

i a t  t 

i a t  t  

2

2

 d 



2 

  e

  2   e



e

2  

2 









 



 2



u

e du 

b o ‗ l s a ,

 P u a sso n i n t e gr al i  . S h u n d a y qil i b, aga r



t 2  2

X N ( a ,  )



 

ia t 

u ho l da  ( t )  e

m a t e m a tik kutil m a s i va

. Endi X t.m.ning

hisoblaymiz.

t 2  2

2

dispersiyasini

M X    i  ' ( 0 )    i e iat  ( i a  t  2 )   i  1  i a  a ,

2

 

t  o

t 2  2

t 2  2 

2



iat 

D X     ' ' ( 0)  (  ' (0 ) ) 2       2 e

• ( ia  t  2 ) 2 e iat 

 ( i a ) 2 



2

 t  o

 







  2  i 2 a 2  i 2 a 2   2 .

III bobga doir misollar

1 . ( X , Y ) i kki o ‗ lchovli u z luk s iz t. m .ning b i r g a l i kd ag i z ichlik f u n k s iy a s i b o ‗ l s a ,

C

f ( x , y ) 

k o ‗ r i n i s h i da b e r i l g a n

( 1  x 2 ) ( 1  y 2 )

quyidagilarni toping: