СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Элективное занятие "Корни многочлена"

Категория: Алгебра

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная разработка является конспектом 2 - ух часового занятия, на котором я учу решать несложные уравнения высших степеней с использованием алгоритма деления многочленов и схемы Горнера.

Просмотр содержимого документа
«Элективное занятие "Корни многочлена"»

МОУ гимназия №22 г. Калининграда.















Элективное занятие по алгебре в 9-ом классе

«Корни многочлена. Схема Горнера».













Учитель математики: Головин А. О.













Цель урока: - научить находить значение многочлена, его корни, используя схему Горнера

- сформировать умения и навыки нахождения корней многочлена,

- продолжить формирование умения систематизировать материал,

-развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции

самоконтроля,

-воспитывать требовательность к себе, усердие.

I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать его цели.

Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Проверка домашнего задания.

На слайде оформлено решение части домашнего задания (ответы).

Слайд №2.

№1 Выполнить деление с остатком.

а) 2х4-9х3-32х2-57=(2х3+5х2+3х+21)(х-7)+90

б) х5-5х4+8х3-5х2+х+2=(х4-4х3+4х2-х)(х-1)+2

=(х4-6х3+14х2-19х+20)(х+1)-18

=(х4-3х2+2х2-х-1)(х-2)

№2 Решить уравнение

а) х32-4=0 х=2

б) х3+2х2+3х+2=0 х=-1. При необходимости восстанавливается решение.

2) К доске вызывается ученик для решения уравнения. На примере этого уравнения будет в дальнейшем показано его решение компактно схемой Горнера.

х4+3х3-5х2-13х+6=0

Делители свободного члена 6 : ±1; ±2; ±3; ±6. х=2-корень, т. к. 16+24-20-26+6=0-верно

х4+3х3-5х2-13х+6 |х-2

х4 -2х3 х3+5х2+5х-3

3-5х2

3-10х2

2-13х

2-10х

-3х+6

-3х+6

0

Делители свободного члена -3: ±1; ±3. х=-3-корень, т. к. -27+45-15-3=0-верно.

х3+5х2+5х-3 | х+3

х3+3х2 х2+2х-1

2+5х

2+6х

-х-3

-х-3

0

х2+2х-1=0

D/4=1+1=2 х1,2=-1±

Ответ: 2; -3; -1±

Слайд №3

№3. В это время учащиеся в классе решают самостоятельную работу.

1) Разделить многочлен на х-4 с остатком

I вариант 3х3-14х2+13х-3 [ = (3х2-2х+5)(х-4)+17]

II вариант 3х3-10х2-13х+6 [ = (3х+2х-5)(х-4)-14]

2) Решить уравнение

I вариант х3-4х2-3х+18=0 [х=3; х=-2]

II вариант х3+8х2+21х+18=0 [х=-2; х=-3]

Слайд №4(ответы).

Первые выполнившие правильно получают оценку 5 и оформляют ответы на доске.

III. Подготовка к изучению нового материала.

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, в результате чего он обращается в числовое выражение, т. е. в число. Предлагаю найти значение многочлена из домашнего задания №1 при х=1, х=-1, х=2. Учащиеся убеждаются, что каждый раз значение многочлена равно остатку от деления на соответствующее линейное выражение. Предлагаю найти значение многочлена 3х4+5х3-32х2-11х-9 при х=-4 двумя способами (можно по вариантам). И в том, и в другом случае ответ одинаков: -29. Но оба решения достаточно сложны, и не все безошибочно смогли правильно решить задание. Предлагаю познакомиться со схемой Горнера для решения этой задачи. Учащиеся рисуют таблицу из двух строк. В первой строке, начиная со второй ячейки, выписывают коэффициенты многочлена, в первой ячейке второй строки записывают число -4 старший коэффициент многочлена дублируется во второй строке. Остальные ячейки заполняют согласно схеме Горнера.



Слайд №5


3

5

-32

-11

-9

-4

3

-4·3+5=-7

-4·(-7)-32=-4

-4·(-4)-11=5

-4·5-9=-29

Учащиеся сравнивают результат и убеждаются в простоте и компактности последнего способа. Закрепить его предлагаю с помощью следующего задания: найти значение многочлена

6-8х4+2х3-17х+16 при х=2


5

0

-8

2

0

-17

16

2

5

10

12

265

52

87

190

Оказывается, этим способом можно решать уравнения

Пример. Решить уравнение х43-6х2-х+3=0

Решение. Делители свободного члена: ±1; ±3 могут быть корнями многочлена. При х=1 сумма коэффициентов не равна 0. Значит, х=1 –не корень. Результат можно занести в таблицу. Проверяем следующий делитель х=-1. Он-корень, т. к. остаток равен 0. Проверяем его второй раз, применив схему Горнера к получившемуся многочлену, степень которого на 1 меньше. Второй раз х=-1- не корень. Проверяем х=3-корень. Получившееся уравнение второй степени решаем обычным способом.


1

-1

-6

-1

3

r=4

1

1

0

-6

-7

-4

r=4

-1

1

-2

-4

3

0

r=3

-1

1

-3

-1

4


r=3

3

1

1

-1

0


r=2

х2+х-1=0

х1,2=(-1±)/2

Ответ: -1;3;(-1±/2.

Предлагаю решить схемой Горнера уравнение, оформленное учеником в начале урока.

х4+3х3-5х2-13х+6=0


1

3

-5

-13

6

r=4

1

1

4

-1

-14

-8


-1

1

2

-7

-6

12


2

1

5

5

-3

0

r=3

2

1

7

19

35



3

1

8

29

84



-3

1

2

-1

0


r=2

х2+2х -1=0 х1,2=1± Ответ: -3; 2; 1± .

Подводятся итоги урока. Учащиеся формулируют 3 способа нахождения значения многочлена, обсуждают преимущества и недостатки схемы Горнера.

Для закрепления изученного материала предлагается решить обучающую самостоятельную работу на два варианта.

Слайд №6

Решить уравнения

1 вариант

2 вариант

1) х3-2х2-5х+6=0

1) x3+4x2+x-6=0

2) х4+2х3-11x2-12x+36=0

2) x4-10x3+37x2-60x+36=0

3) x4+x3-5x2-3x+6=0

3) x4+x3+x2+3x-6=0

4) x5-4x3+8x2-32=0

4) x5-4x3-8x2+32=0



Слайд №7(ответы).

1)

[1;-2;3]

1)

[1;-2;-3]

2)

[2;-3]

2)

[2;3]

3)

[ 1;-2;±]

3)

[1;-2]

4)

[ ±2]

4)

[±2]

По мере решения уравнений на доске записываются правильные ответы.

Перед звонком учащиеся записывают на дом задания другого варианта.

Подводятся итоги занятия.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!