МОУ гимназия №22 г. Калининграда.
Элективное занятие по алгебре в 9-ом классе
«Корни многочлена. Схема Горнера».
Учитель математики: Головин А. О.
Цель урока: - научить находить значение многочлена, его корни, используя схему Горнера
- сформировать умения и навыки нахождения корней многочлена,
- продолжить формирование умения систематизировать материал,
-развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции
самоконтроля,
-воспитывать требовательность к себе, усердие.
I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать его цели.
Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре.
II. Актуализация знаний учащихся.
1) Проверка домашнего задания.
На слайде оформлено решение части домашнего задания (ответы).
Слайд №2.
№1 Выполнить деление с остатком.
а) 2х4-9х3-32х2-57=(2х3+5х2+3х+21)(х-7)+90
б) х5-5х4+8х3-5х2+х+2=(х4-4х3+4х2-х)(х-1)+2
=(х4-6х3+14х2-19х+20)(х+1)-18
=(х4-3х2+2х2-х-1)(х-2)
№2 Решить уравнение
а) х3-х2-4=0 х=2
б) х3+2х2+3х+2=0 х=-1. При необходимости восстанавливается решение.
2) К доске вызывается ученик для решения уравнения. На примере этого уравнения будет в дальнейшем показано его решение компактно схемой Горнера.
х4+3х3-5х2-13х+6=0
Делители свободного члена 6 : ±1; ±2; ±3; ±6. х=2-корень, т. к. 16+24-20-26+6=0-верно
х4+3х3-5х2-13х+6 |х-2
х4 -2х3 х3+5х2+5х-3
5х3-5х2
5х3-10х2
5х2-13х
5х2-10х
-3х+6
-3х+6
0
Делители свободного члена -3: ±1; ±3. х=-3-корень, т. к. -27+45-15-3=0-верно.
х3+5х2+5х-3 | х+3
х3+3х2 х2+2х-1
2х2+5х
2х2+6х
-х-3
-х-3
0
х2+2х-1=0
D/4=1+1=2 х1,2=-1±
Ответ: 2; -3; -1±
Слайд №3
№3. В это время учащиеся в классе решают самостоятельную работу.
1) Разделить многочлен на х-4 с остатком
I вариант 3х3-14х2+13х-3 [ = (3х2-2х+5)(х-4)+17]
II вариант 3х3-10х2-13х+6 [ = (3х+2х-5)(х-4)-14]
2) Решить уравнение
I вариант х3-4х2-3х+18=0 [х=3; х=-2]
II вариант х3+8х2+21х+18=0 [х=-2; х=-3]
Слайд №4(ответы).
Первые выполнившие правильно получают оценку 5 и оформляют ответы на доске.
III. Подготовка к изучению нового материала.
В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, в результате чего он обращается в числовое выражение, т. е. в число. Предлагаю найти значение многочлена из домашнего задания №1 при х=1, х=-1, х=2. Учащиеся убеждаются, что каждый раз значение многочлена равно остатку от деления на соответствующее линейное выражение. Предлагаю найти значение многочлена 3х4+5х3-32х2-11х-9 при х=-4 двумя способами (можно по вариантам). И в том, и в другом случае ответ одинаков: -29. Но оба решения достаточно сложны, и не все безошибочно смогли правильно решить задание. Предлагаю познакомиться со схемой Горнера для решения этой задачи. Учащиеся рисуют таблицу из двух строк. В первой строке, начиная со второй ячейки, выписывают коэффициенты многочлена, в первой ячейке второй строки записывают число -4 старший коэффициент многочлена дублируется во второй строке. Остальные ячейки заполняют согласно схеме Горнера.
Слайд №5
| 3 | 5 | -32 | -11 | -9 |
-4 | 3 | -4·3+5=-7 | -4·(-7)-32=-4 | -4·(-4)-11=5 | -4·5-9=-29 |
Учащиеся сравнивают результат и убеждаются в простоте и компактности последнего способа. Закрепить его предлагаю с помощью следующего задания: найти значение многочлена
5х6-8х4+2х3-17х+16 при х=2
| 5 | 0 | -8 | 2 | 0 | -17 | 16 |
2 | 5 | 10 | 12 | 265 | 52 | 87 | 190 |
Оказывается, этим способом можно решать уравнения
Пример. Решить уравнение х4-х3-6х2-х+3=0
Решение. Делители свободного члена: ±1; ±3 могут быть корнями многочлена. При х=1 сумма коэффициентов не равна 0. Значит, х=1 –не корень. Результат можно занести в таблицу. Проверяем следующий делитель х=-1. Он-корень, т. к. остаток равен 0. Проверяем его второй раз, применив схему Горнера к получившемуся многочлену, степень которого на 1 меньше. Второй раз х=-1- не корень. Проверяем х=3-корень. Получившееся уравнение второй степени решаем обычным способом.
| 1 | -1 | -6 | -1 | 3 | r=4 |
1 | 1 | 0 | -6 | -7 | -4 | r=4 |
-1 | 1 | -2 | -4 | 3 | 0 | r=3 |
-1 | 1 | -3 | -1 | 4 | | r=3 |
3 | 1 | 1 | -1 | 0 | | r=2 |
х2+х-1=0
х1,2=(-1±)/2
Ответ: -1;3;(-1±/2.
Предлагаю решить схемой Горнера уравнение, оформленное учеником в начале урока.
х4+3х3-5х2-13х+6=0
| 1 | 3 | -5 | -13 | 6 | r=4 |
1 | 1 | 4 | -1 | -14 | -8 | |
-1 | 1 | 2 | -7 | -6 | 12 | |
2 | 1 | 5 | 5 | -3 | 0 | r=3 |
2 | 1 | 7 | 19 | 35 | | |
3 | 1 | 8 | 29 | 84 | | |
-3 | 1 | 2 | -1 | 0 | | r=2 |
х2+2х -1=0 х1,2=1± Ответ: -3; 2; 1± .
Подводятся итоги урока. Учащиеся формулируют 3 способа нахождения значения многочлена, обсуждают преимущества и недостатки схемы Горнера.
Для закрепления изученного материала предлагается решить обучающую самостоятельную работу на два варианта.
Слайд №6
Решить уравнения
1 вариант | 2 вариант |
1) х3-2х2-5х+6=0 | 1) x3+4x2+x-6=0 |
2) х4+2х3-11x2-12x+36=0 | 2) x4-10x3+37x2-60x+36=0 |
3) x4+x3-5x2-3x+6=0 | 3) x4+x3+x2+3x-6=0 |
4) x5-4x3+8x2-32=0 | 4) x5-4x3-8x2+32=0 |
Слайд №7(ответы).
1) | [1;-2;3] | 1) | [1;-2;-3] |
2) | [2;-3] | 2) | [2;3] |
3) | [ 1;-2;±] | 3) | [1;-2] |
4) | [ ±2] | 4) | [±2] |
По мере решения уравнений на доске записываются правильные ответы.
Перед звонком учащиеся записывают на дом задания другого варианта.
Подводятся итоги занятия.