А 11 Элементы комбинаторики и бином Ньютона. П.17. УМК Мерзляк А. Г. углубленный уровень

Элементы комбинаторики и бином Ньютона. П.17

Учитель математики Ильясова Н. А.

МБОУ «СОШ №14 с УИОП»

КОМБИНАТОРИКА

это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Из истории комбинаторики

• С комбинаторными задачами люди столкнулись и в глубокой древности.
• В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
• Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. –

в период, когда возникла теория вероятности.

Основные понятия комбинаторики

• Перестановки
• Сочетания
• Размещения

Вспомним

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют

« эн факториалом ». Т.е.: n! = 1 ·2·3·…· n

Вычислим: 1! ; 2!; 3!; 4!

Вспомним, что принято считать 0! =1

Часто используется формула: n! = (n-1)! · n

Определение

Перестановками без повторений

Конечного множества М называют любое упорядоченное множество, образованное

из всех элементов множества М.

Перестановками без повторений

из n элементов по n называются

такие соединения, которые

отличаются друг от друга только

порядком расположения элементов

Обозначение: P n = п!

Определение

Любое k – элементное упорядоченное подмножество данного п – элементного множества, называют размещением из п элементов по k элементов

обозначают

Определение

Любое k – элементное подмножество заданного п – элементного множества, называют сочетанием из п элементов по k элементов

обозначают

Запомним

Два сочетания из n элементов по k считаются разными , если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом .

В сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

Два размещения из n элементов по k считаются разными , если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

порядок неважен

порядок важен

Запомним

сочетания

размещения

перестановки

Бином Ньютона

Учитель математики Ильясова Н. А.

МБОУ «СОШ №14 с УИОП»

Для любого натурального значения n верна следующая формула:

где числа называют

биноминальными коэффициентами

k + 1 слагаемое имеет вид

Используя бином Ньютона, запишем разложения

Правило Паскаля

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Треугольник Паскаля

каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке

Свойство биноминальных коэффициентов