Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция

Самое главное

Магнитный поток:

Магнитным потоком через поверхность назавается скалярная физическая величина, пропорциональная кольчеству линий индукции магниного поля, пересекающих эту поверхность. Если поле однородно, то магнитный поток вычисляется по формуле

, (1)

г де ‒ модуль индукции магнитного поля, ‒ площадь поверхности, ‒ угол между линиями индукции и нормалью к поверхности (см. рис. 1).

Единицей магнитного потока является вебер (Вб). 1 Вб равен магнитному потоку, создаваемому однородным магнитным полем, модуль индукции которого 1 Тл, через поверхность площадь 1 м², перпендикулярную линиям магнитного поля.

Е сли магнитное поле неоднородно, то следует использовать аддитивность магнитного потока: магнитный поток через какую-либо поверхность равен алгебраической сумме магнитных потоков через части этой поверхности. Следует при этом отметить, что магнитный поток может быть как положительным, так и отрицательным, это зависит от выбора направления нормали к поверхности (от знака в формуле (1)). В частности, если поверхность замкнутая, то нормаль следует направлять внутрь поверхности и через часть поверхности поток бодет положительным, а через часть ‒ отрицательным (см. рис. 2).

Теорема Гаусса: Поскольку линии магнитного поля замкнуты сами на себя, то сколько их входит внутрь замкнутой поверхности, столько же их выходит из нее. В результате: магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Закон электромагнитной индукции: В замкнутом проводящем контуре, находящемся в изменяющемся магнитном поле, возникает ЭДС индукции, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

. (2)

Знак «‒» в формуле (2) обусловлен правилом Ленца.

П
равило Ленца: Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре, находящемся в изменяющемся магнитном поле, имеет такое направление, что собственное магнитное поле этого тока препятствует изменению внешнего магнитного поля.

Рисунки 3 иллюстрируют применение правила Ленца. На этих рисунках: ‒ индукция внешнего магнитного поля, ‒ индукция магнитного поля, создаваемого индукционным током, ‒ индукционный ток.

Формула (2) определяет мгновенное значение ЭДС индукции. В задачах для средней школы как правило используют среднее значение ЭДС индукции за промежуток времени :

. (3)

Среднее значение (3) совпадает с мгновенным значением (2), если магнитный поток изменяется с течением времени по линейному закону.

В большинстве задач направление индукционного тока (полярность ЭДС) не играют никакой роли, в этом случае следует использовать абсолютные значения:

(2’)

и . (3’)

Вихревое электрическое поле: Индукционный ток (направленное движение электронов проводимости) в проводнике возникает в результате появления электрического поля вокруг линий изменяющегося магнитного поля. В создании такого поля проводник никакой роли не играет, он является лишь индикатором, позволяющим обнаружить наличие такого поля. Силовые линии такого поля лежат в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля, не имеют начала и конца, т.е. замкнуты сами на себя, поэтому такое поле называется вихревым электрическим полем. В общем случае структура вихревого электрического поля сложная и определяется путем решения системы уравнений электродинамики Максвелла. Однако в случае осесимметричного магнитного поля, которое остается осесимметричным при изменении, силовые линии вихревого магнитного поля являются концентрическими окружностями с центром на оси симметрии магнитного поля. Модуль напряженности такого поля в каждой точке силовой линии одинаков и определяется по формуле, связывающей напряжение и напряженность однородного электрического поля. В данном случае:

, (4)

где ‒ радиус силовой линии.

Возможные типы задач

Как правило, задачи на данную тему заключаются в использовании выражений (3) или (3’) в комбинации с формулой (1). При этом изменение магнитного потока может определяться изменением любой из величин: , , или , или их комбинации. Часто такие задачи являются частью более сложных задач на закон Ампера, реже ‒ на закон Лоренца. При этом проводник является источником тока, ЭДС которого ‒ это ЭДС индукции, а сила тока равна:

, (5)

где ‒ сопротивление проводника. Направление тока определяется правилом Ленца.

Реже в задачах используются мгновенные значения (2) или (2’), поскольку приводят к более сложной математике, часто выходящей за рамки школьной программы. Мы рассмотрим примеры таких задач ниже.

Заряд, протекающий через поперечное сечение проводника, при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводником. Это очень часто используемый класс задач, в формулировке их условий обычно задано сопротивление проводящего контура и величины, позволяющие определить начальное и конечное значения магнитного потока через поверхность, ограниченную проводником. Независимо от характера изменения магнитного потока, все эти задачи решаются одинаково:

Средняя ЭДС индукции определяется выражением (3):

.

Среднее значение силы тока в контуре определяется законом Ома:

.

По определению силы тока ее среднее значение:

, или

. (6)

Разность начального и конечного значений магнитного потока может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от направления индукционного тока. В подавляющем большинстве задач это направление не играет роли, в этом случае:

. (6’)

ЭДС индукции в движущемся проводнике.

Рассмотрим линейный проводник длиной , движущийся в однородном магнитном поле индукцией , направление которой перпендикулярно оси проводника. Скорость проводника перпендикулярна как оси проводника, так и линиям магнитной индукции (см. рис. 4). Электроны проводимости внутри проводника движутся вместе с проводником, у них появляется не скомпенсированная составляющая скорости, равная скорости проводника. В результате на электроны действует сила Лоренца, модуль которой:

,

а направление определяется правилом правой руки. Под действием силы Лоренца электроны проводимости перемещаются на конец проводника, создавая на нем избыток отрицательного заряда. На противоположном конце проводника при этом образуется избыток положительного заряда. В результате между концами проводника возникает электрическое поле напряженностью (см. рис. 4), которое также действует на электроны проводимости с силой, модуль которой:

.

Дрейф электронов прекратится, когда эти силы станут скомпенсированными:

.

Электрическое поле внутри проводника является однородным, для него справедлива связь между модулем напряженности и напряжением:

.

Фактически, такой проводник стал источником тока. Поскольку его концы (клеммы) не замкнуты на внешнюю цепь, напряжение между ними равно ЭДС образовавшегося источника, она называется ЭДС индукции в движущемся проводнике. В результате:

. (7)

А теперь еще раз обратим внимание на рисунок 4. Скорость . Подставим это выражение в формулу (7):

,

где ‒ площадь, «заметаемая» проводником при движении. Произведение ‒ магнитный поток через поверхность, заметаемую проводником при движении. В результате:

. (8)

Формула (8) позволяет определить ЭДС индукции в движущемся проводнике в самых общих случаях. Ее следует определить так:

ЭДС индукции, возникающая в проводнике, движущемся в магнитном поле, равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, «заметаемую» проводником при движении.

Обобщение формулы (7) на выражение (8) выглядит частным случаем, справедливым при движении проводника, характеристики движения которого описаны выше. Однако выражение (8) справедливо всегда, при любых ориентациях оси проводника, скорости и магнитной индукции . Это можно доказать, используя правила скалярных произведений векторов. Опустим это доказательство и поверим в общность формулы (8).

В формуле (8) опущен знак «‒», соответствующий правилу Ленца и определяющий полярность ЭДС. В задачах, где полярность играет роль, рекомендуем использовать правило правой руки для направления силы Лоренца, действующей на электроны проводимости. Отрицательный полюс находится на том конце проводника, к которому смещаются электроны.

№ 731*. Вне цилиндра радиусом модуль индукции однородного магнитного поля линейно возрастает со временем по закону , где ‒ размерный коэффициент. Как должен меняться во времени модуль индукции однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон мог двигаться по окружности радиусом (рис. 78)? В начальный момент времени электрон покоился.

Р

Дано:

Внутри цилиндра радиусом магнитный поток равен:

. (1)

И зменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, модуль напряженности которого равен , где ‒ ЭДС индукции, которая возникла бы, если бы по окружности радиуса был расположен кольцевой проводник. По закону электромагнитной индукции:

. (2)

Силовые линии вихревого электрического поля ‒ окружности, касательные к которым показывают направление вектора (см. рис.). Сила , действующая на электрон со стороны электрического поля, направлена противоположно вектору , т.е. также по касательной к окружности. Модуль этой силы , где ‒ заряд электрона. Эта сила обуславливает тангенциальное (направленное по касательной к траектории движения) ускорение , которое находится из условия:

. (3)

Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца, модуль которой . Эта сила действует перпендикулярно направлению скорости и обеспечивает нормальное (центростремительное) ускорение электрона:

. (4)

Возьмем производную по времени от (4) и подставим в (3):

_.

Здесь ‒ модуль индукции магнитного поля в момент времени , от его значения решение не зависит.

№ 752*. Металлический стержень KL, сопротивление единицы длины которого , движется с постоянной скоростью, модуль которой , перпендикулярно KL (рис. 86). При этом он замыкает два проводника OC и OD малого сопротивления, образующих друг с другом угол и находящихся в однородном магнитном поле, модуль индукции которого . Найдите количество теплоты , выделившееся в системе за время движения стержня от точки O до точки C. Известно, что линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости системы, .

Дано:

Решение.

В ведем ось , совмещенную с проводником OC, начало которой поместим в точку . Текущая координата стержня при движении равна , а длина активной части (по которой течет индукционный ток) стержня равна (см. рис.1). Площадь, «заметаемая» стержнем при движении равна площади заштрихованного на рис. 1 треугольника: . Магнитный поток через эту поверхность:

.

Поскольку стержень движется равномерно, то

Мгновенное значение ЭДС индукции, возникающей в контуре:

.

Мгновенное значение мощности, выделяющейся в контуре:

.

Сопротивление контура равно сопротивлению активной части проводника:

.

Д ля нахождения количества теплоты, выделившейся в системе, построим график зависимости (см. рис.2). Это линейная зависимость, ее график ‒ прямая, проходящая через начало координат. Количество теплоты равно площади фигуры под графиком зависимости мощности от времени, в данном случае ‒ площади треугольника на рис. 2:

.

Здесь ‒ время движения стержня до точки ; . В результате: .

Сила Ампера

№ 758. Проводящий стержень длиной и массой подвешен за концы на двух одинаковых пружинах жесткостью в однородном горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны оси стержня. Модуль индукции магнитного поля . По стержню в течение промежутка времени пропускают кратковременный импульс тока силой , в результате чего стержень приобретает скорость, направленную вертикально вниз. Определите наибольшее смещение стержня при его последующем движении. Смещением стержня за время прохождения тока пренебречь.

Дано:

Решение 1. Смещением стержня за время прохождения тока пренебрегаем.

М одель системы, соответствующей условию задачи, изображена на рисунках 1 и 2. Рисунок 1 с разомкнутым ключом К иллюстрирует состояние равновесия стержня до включения тока. На стержень действуют 2 силы упругости и сила тяжести . При этом: , где ‒ деформация пружин в состоянии равновесия. Для упрощения, введем жесткость системы пружин:

. (1)

При замыкании ключа К по стержню в течение промежутка времени протекает ток силой , что приводит к возникновению силы Ампера:

, (2)

в результате чего равновесие нарушается, и стержень приобретает скорость (см. рис. 2). По второму закону Ньютона изменение импульса стержня равно импульсу равнодействующей сил, действующих на стержень:

.

Согласно условию, пренебрегаем смещением стержня за время . При этом силы и остаются скомпенсированными, в результате:

. (3)

Далее применим теорему об изменении кинетической энергии: сумма работ всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела. Поскольку при максимальном смещении стержня его кинетическая энергия равна нулю, то:

.

Работу совершают сила тяжести и силы упругости:

. (4)

Работа силы тяжести:

. (5)

Работа силы упругости:

. (6)

В результате: . Учитывая (1):

. (7)

Вычисления: .

Решение 2. Смещением стержня не пренебрегаем.

Интересно узнать, какую ошибку допускаем, пренебрегая смещением стержня за время прохождения тока (тем более, что полученный ответ не совпадает с ответом в сборнике)?

Рисунок 2 позволяет сформулировать второй закон Ньютона:

. (8)

Уравнение (8) ‒ это уравнение колебаний, сформулированное в системе координат, начало которой смещено относительно положения равновесия. Его решение имеет вид:

, где циклическая частота , а константа определяется из условия обращения (8) в тождество. Из этого условия следует:

.

Учитывая (1), согласно которому , получим:

. (9)

Для определения амплитуды и начальной фазы используем начальные условия для координаты и скорости:

. (10)

Проекция скорости равна производной по времени от координаты (9):

.

Из начального условия (10) для скорости следует:

.

Подставим в начальное условие (10) для координаты:

.

Окончательно, уравнение движения стержня во время протекания тока:

. (11)

За промежуток времени перемещение стержня равно:

. (12)

Вычисления: .

Много или мало по сравнению с ? Определим смещение в данном случае. Снова применим теорему об изменении кинетической энергии. В начальном и конечном состоянии скорость (кинетическая энергия) стержня равна нулю, следовательно сумма работ всех сил, действующих на стержень, равна нулю:

. (13)

Работы силы тяжести и силы упругости определяются выражениями (5) и (6), и равны в сумме:

,

сила Ампера совершает работу только при перемещении на :

. (14)

В результате:

. (15)

Вычисления: .

Отличие от значения, полученного по формуле (7), в третьем знаке, т.е. смещение стержня за время протекания тока практически не повлияло на ответ. Тем не менее, проанализируем выражение (15). Если смещением стержня пренебречь, то . Этот результат имеет простое объяснение: скорость не может мгновенно измениться от нуля до конечного значения, за время изменения скорости тело обязательно сместится на некоторое расстояние. Как же состыковать решения (7) и (15)?

Для этого в выражение (15) подставим в явном виде (12):

.

Если промежуток времени мал, то

,

что совпадает с ответом (7).

Вывод: решение первым способом справедливо не потому, что смещение стержня за время протекания тока мало, а потому что время протекания тока мало по сравнению с временем движения стержня в случае непрерывного протекания тока до максимального смещения (половиной периода колебаний), что позволяет использовать приближение малых аргументов для синуса. Определим для убедительности время движения стержня при смещении на расстояние :

Если , то

.

Время протекания тока в стержне составляет от времени смещения стержня на максимальное расстояние в случае непрерывного протекания тока.

№ 764*. На двух горизонтальных параллельных проводящих рельсах перпендикулярно им свободно лежат две одинаковые проводящие параллельные друг другу перемычки (рис 90). В некоторый момент времени достаточно быстро «включили» однородное магнитное поле, линии индукции которого вертикальны. Считая, что сопротивление рельсов значительно меньше сопротивления перемычек, и пренебрегая трением, найдите, во сколько раз изменилось расстояние между перемычками.

Решение.

М агнитный поток через поверхность, ограниченную перемычками и рельсами, площадь которой , где ‒ начальное расстояние между перемычками, ‒ расстояние между рельсами (рис.1), равен:

.

При включении магнитного поля в контуре возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой равно:

.

При этом в контуре возникает ток, мгновенное значение силы которого равно:

, где ‒ сопротивление одной перемычки. .

Направление индукционного тока, согласно правилу Ленца, такое, что собственное магнитное поле , создаваемое этим током, препятствует изменению внешнего магнитного поля . Направление этого кратковременного тока указано на рисунке 1. Правило левой руки позволяет определить направление силы Ампера, действующей на перемычки в этот момент (рис.1). Модуль мгновенного значения силы Ампера:

.

Изменение импульса перемычки (начальный импульс равен нулю) равно импульсу силы , действовавшей на перемычку за время нарастания магнитной индукции от нуля до :

.

‒ модуль скорости, которую приобрела перемычка при включении магнитного поля.

После того, как магнитное поле стало стационарным, перемычка двигалась в однородном магнитном поле, модуль индукции которого . При этом между концами обеих перемычек возникла разность потенциалов . Полярность, направление тока и сила Ампера, действующая при этом на перемычки, изображены на рисунке 2.

Сила тока в каждой перемычке : .

Модуль силы Ампера, действующей на перемычку:

.

По второму закону Ньютона: . Поскольку сила направлена противоположно скорости (см. рис. 2), то:

.

Это дифференциальное уравнение, решение которого:

.

Скорость:

. Подставляя выражение для , получим:

.

Каждая перемычка переместилась на четверть первоначального расстояния между перемычками. Следовательно, расстояние между перемычками уменьшилось в два раза.

№ 765*. Проволочная квадратная рамка массой со стороной падает без начальной скорости в магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны плоскости рамки (рис. 91). Модуль индукции поля изменяется по закону , где ‒ некоторый постоянный коэффициент. Сопротивление рамки . Определите модуль скорости рамки через достаточно большой промежуток времени. Изменит ли ответ наличие начальной скорости ? Решите задачу динамическим и энергетическим способами.

Р

Дано:

При движении рамки между концами верхней и нижней стороны рамки возникают ЭДС индукции и . Их значения: , .

Полярность ЭДС указана на рисунке. На рисунка видно, что источники тока, в которые превратились верхняя и нижняя стороны квадрата замкнуты друг на друга одноименными полюсами, поэтому полная ЭДС контура равна:

.

В контуре существует индукционный ток, направление которого, согласно правилу Ленца такое, что собственное магнитное поле этого тока препятствует изменению внешнего магнитного поля , т.е. направлено противоположно (см. рис.). По правилу буравчика определяем, что индукционный ток направлен против часовой стрелки на рисунке. Сила этого тока:

.

На верхнюю и нижнюю стороны квадрата внешнее поле действует с силами Ампера, направления которых определяются правилом левой руки и указаны на рисунке. Модули этих сил:

.

Модуль результирующей сил Ампера (см.рис.):

.

Кроме сил Ампера на рамку действует сила тяжести . Через большой промежуток времени движение рамки станет равномерным, при этом:

.

Сила Ампера

№ 652. По проволочному кольцу радиусом прходит ток силой . Кольцо помещено в однородное магнитное поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны плоскасти кольца (рис. 63). Определите модуль силы натяжения кольца, если модуль индукции поля .

Дано:

Решение.

Р ассмотрим малый элемент кольца длиной , такой, что его кривизной можно пренебречь и считать его прямолинейным проводником. На этот элемент опирается центральный угол (см. рис.), величину которого также будем считать малой. Длина элемента равна На элемент действуют силы: сила Ампера, модуль которой равен , и две силы натяжения и . Поскольку кольцо покоится, то:

.

В проекциях на ось : .

В проекциях на ось :

.

Поскольку угол мал, то

.

.