Эстетика и математика

Эстетика и математика

Заложены ли математические законы в природе?

Цели исследования:

• Расширить кругозор учащихся, способ-ствовать развитию познавательного интереса.
• Показать школьникам общеинтеллек-туальное значение математики.
• Способствовать познанию законов красоты и гармонии окружающего мира.

Подчеркивает ли красоту пропорция?

Задачи исследования:

• Познакомиться с понятиями «золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой прямоугольник».
• Научиться определять числовое значение золотого отношения.
• Научиться делить отрезок в золотом отношении.

Гипотеза исследования:

Такие неуловимые вещи как красота и гармония подчиняются математическим расчетам.

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер

Деление отрезка в золотом отношении

Дано: отрезок АВ.

Построить: золотое сечение отрезка АВ, т. е точку С так,

чтобы

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок В D =АВ.

Далее, соединив точки А и D , отложим отрезок D Е=В D , и наконец, АС=АЕ. Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Золотой треугольник

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении.

Золотой прямоугольник

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине дает число φ , называется золотым прямоугольником.

Золотая спираль

Золотое сечение и золотая спираль в природе

Пропорции человеческого лица

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В , делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС , в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D , делит в золотом отношении расстояние ВС , т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC .

Работы Фидия

Скульптор Фидий, живший в V в. до н.э., часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знамени-тыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света, и Афины Парфенос.

Зевс Олимпийский

Афина Парфенос

Аполлон Бельведерский

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении. Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении. Эти пропорции показаны на изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Парфенон

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким. Так, отношение высоты здания к его длине равно φ . Отношения целого ряда частей Парфенона дают число φ . Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

Пентаграмма

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций! Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться.

Закон углов

В 1850 г . немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138 ° . Угол между лучами – ветками, обозначим через α , а угол, дополняющий его до 360 ° , - через ß . Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол - большая часть этой величины:

Отсюда получаем уравнение и находим положительный корень

Тогда

  Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

Вывод:

Все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, можно открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Используемые ресурсы:

• Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. М., 1990.
• Виппер Ю.Ф. Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве. М., 1976.
• Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.
• И.Г. Зенкевич Эстетика урока математики: Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1981.