Это интересно!!!

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2 города Пугачева Саратовской области»

Адрес: 413720, Саратовская область, г. Пугачёв, ул. Коммунистическая д.12

Телефон: 2-38-19, е-mail: pugachevsosh2@mail.ru

__________________________________________________________________

ТЕМА ПРОЕКТА

« Это интересно!!!»

Секция: математика

_________________________________________________________________

Работу выполнили:

Исказиева Алина Минибулатовна,

Иванова Валерия Юрьевна

учащиеся 7 Б класса

Руководитель проекта:

Кочемазова Ольга Ивановна,

учитель математики

высшей категории

2022г.

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………………...… … 3,4

2. Основная часть…………………………………………………………...…… 5-13

• Глава I. Исторические и теоретические основы ……………………… 5-9

• Глава II. Различные методы решения систем линейных

уравнений с двумя и более переменными……………………...……… 10-12

• Глава III. Практическая часть ………………………………………….… 13

3. Заключение…………………………………………………………………….… 14

4. Список источников информации………………………………….………..…. . 15

5. Приложение …………………………………………………………………… 16-18.

ВВЕДЕНИЕ

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и

могущества разума, его торжество над покоренной природой»
(Академик И. И. Артоболевский).

Во все времена математика была основой научно-технического и экономического развития народов. Она была и есть тем микроскопом, который позволяет проникать в дебри знаний, составляющих основу нашей цивилизации. Развивалось общество - совершенствовались и научные представления, постепенно складываясь в стройную систему математических знаний. Основой этих знаний стало решение уравнений.

Самые ранние сведения о возникновении алгебры в виде правил решения уравнений мы встречаем у вавилонян в III - II в.в. до н. э. В вавилонской математике появляется числовая алгебра в виде решения уравнений и систем уравнений первой и второй степени. С воцарением династии Хань (II в. до н. э. — I в. н. э.) древние знания в Китае стали активно развиваться. Во II в. до н. э. опубликованы наиболее древние из дошедших до нас сочинений — математико-астрономический «Трактат об измерительном шесте» и фундаментальный труд «Математика в девяти книгах». Так, например, 7 книга- правилу ин бу цзу («избыток и недостаток»), это правило применяется к системам линейных уравнений с двумя неизвестными

Уравнения, содержащие более одного неизвестного, или система уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений, называются неопределенными уравнениями. Решением таких уравнений занимались учёные К.Гаусс, Г.Крамер, а в целых числах занимался Диофант.

Нас очень заинтересовали методы решения уравнений, и мы решила выяснить, что послужило основой этих методов и где в практической деятельности их можно применить.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Научиться решать системы линейных уравнений с двумя и более переменными различными способами.

ЗАДАЧИ:

- Познакомиться с основными идеями математики Древнего Китая.

- Разобраться, в чем же привлекательность и живучесть этих идей на примере метода решения задач по правилу ин бу цзу. («избыток и недостаток»).

- Познакомиться с методами решения систем линейных уравнений с двумя и более переменными.

- Рассмотреть различные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными в практической деятельности.

- Провести анализ полученных результатов.

Нами были использованы методы исследования:

Теоретические: систематизация, обобщение, анализ.

Практические: поиск, консультации, обработка данных.

Апробация работы: работа будет полезна на уроках математики в качестве дополнительного материала, а также на занятиях математического кружка.

Основная часть

Глава I. Исторические и теоретические основы.

Слово «алгебра», как название части математики, появилось у математиков Средней Азии и арабских стран в IX веке нашего летоисчисления.

Термин «алгебра» пришел к нам из Средней Азии, города Хорезма. Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, по-нашему - Магомед сын Моисея Хорезмский, состоящий членом «дома мудрости» в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, в названии которой содержатся слова «алджебр альмукабала».

Слово алджебр понимали как восполнение, восстановление, реставрация. Альмукабала переводилось словом противоставление, по нынешней терминологии - это приведение подобных членов. В течение многих столетий и на Востоке и в Европе решение уравнений называлось действием «алджебр и альмукабала». В XVI веке слово «альмукабала» было отброшено: получился термин «алджебр», но в книге аль-Хорезми нет двух очень важных для решения уравнения вещей. Наверное, аль-Хорезми не был знаком с «Арифметикой» Диофанта, поэтому не использовал изобретенных им отрицательных чисел, совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такую алгебру назвали риторической (в переводе с греческого «произношу речь»), она требовала большого мастерства и была очень трудной.

Правила «альджебр и альмукабала» Мухаммеда аль-Хорезми свели решение уравнений первой степени к некоторой последовательности арифметических действий. Последовательность действий для решения какой-нибудь задачи называется алгоритмом. Слово «алгоритм» произошло от имени аль-Хорезми. Для того чтобы разъяснить темные места в науке и сделать понятными трудные вопросы, аль-Хорезми написал краткое сочинение о вычислениях при посредстве «альджебр Валь-мукабала», понимая под этим метод решения уравнений. Метод этот сводился к двум операциям: перенос членов уравнения из одной части в другую (альджебр) и приведение подобных членов (вальмукабала). От названия книги происходит и название науки - алгебра.

«Суть математики состоит в том, чтобы подробно изучать науку о числах и все действия, которые над числами производятся. Основная часть математики называется алгеброй» - эти слова Леонардо Эйлера, одного из крупнейших математиков всех времен, стали основой для издания книги «Универсальная арифметика», которая является прообразом учебников школьной алгебры у всех народов до наших дней.

Основным вопросом в учебнике Эйлера является решение уравнений.

Для решения систем уравнений применяют метод Гаусса, названный так в его честь. Этот метод применяется в практике вычислений при решении систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных, Гаусс дал строгое доказательство существования корней у всякого уравнения, однако это не означало, что для нахождения корня можно вывести формулу. Его замечательный труд «Арифметические исследования », опубликованной в 1801г., ознаменовал рождение современной математики. Гаусс исследовал задачи, над которыми трудились еще математики Древней Греции. «Арифметические исследования» стали настольной книгой математиков XIX в., в которой содержались исследования алгебраических уравнений.

Самая известная из работ Крамера - изданный незадолго до кончины трактат «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В нём впервые доказывается, что алгебраическая кривая n-го порядка в общем случае полностью определена, если заданы её n(n + 3)/2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера. Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем - определителем.

В древнем Китае математике было отведено очень важное место. Уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н. э. Китай был завоёван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. С воцарением династии Хань (II в. до н. э. — I в. н. э.) древние знания стали активно развиваться. Во II в. до н. э. опубликованы наиболее древние из дошедших до нас сочинений — математико-астрономический «Трактат об измерительном шесте» и фундаментальный труд «Математика в девяти книгах». Это самое раннее математическое сочинение. Книга неоднократно перерабатывалась и дополнялась.В результате этих переработок «Математика в девяти книгах» приобрела вид своеобразной математической энциклопедии со сравнительно неоднородным содержанием. Текст его стал известен, в европейских странах сравнительно недавно, в 1957 г.

Книги, составляющие это сочинение, имели вид отдельных свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно практического характера.

В них собрано 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе, т.е рецептурно: формулируется задача, сообщается готовый ответ и (очень кратко и не всегда) указывается способ решения.

1 книга: Измерение полей – площади прямоугольных фигур и круга.

2 книга: Соотношения между различными видами зерновых культур – обмен,

стоимость, пропорции.

3 книга: Деление по ступеням – задачи типа: «Разделить пять оленьих шкур между

пятью чиновниками в отношении 5:4:3:2:1».

4 книга: Шао Гуан – отыскание стороны прямоугольника по его площади и другой

стороне; стороны квадрата по диагонали, ребра куба по объему, диагонали

круга или шара и т.д.

5 книга: Оценка числа рабочих, необходимого для выполнения работ.

6 книга: Пропорциональное распределение – бассейн, встречи, зерновые поставки,

дальность перевозки и т.д.

7 книга: Правило ин бу цзу. Правилу ин бу цзу («избыток и недостаток») посвящен одноименный 7-й раздел «Цзю чжан суань шу». Это правило, применяемое к системам линейных уравнений с двумя неизвестными, имеет три существенно различные модификации. Первая модификация применяется к задачам в которых требуется найти денежную сумму (y) и количество (x) людей, которое ее вносит на покупку некой вещи. По условиям данных задач требуется, по сути, составить два уравнения, в которых коэффициенты при неизвестном y равны единице, а при x соответствуют индивидуальным взносам (а₁ и а₂). Имеются задачи с двумя свободными членами (b₁ и b₂) – избыток и недостаток, оба избытка или оба недостатка – и с одним (b), который выражает избыток или недостаток при наличии нормы.
В случае избытка и недостатка задача выражается следующей системой двух уравнений:
a₁x = y + b_1,
a₂x = y – b_2.
Согласно правилу ин бу цзу, для начала на счетной доске следует расположить в ряд взносы, а под ними поместить избыток и недостаток. Получается следующая матрица:

После этого перемножают крест-накрест члены этой матрицы и получают их сумму, которая определяется как ши [2] («делимое»):
ши [2] = a₁b₂ + a₂b₁.
Затем берется сумма избытка и недостатка, которая определяется как фа [1] («делитель»):
фа [1] = b₁ + b₂.
Если имеются дроби, то они приводятся к общему знаменателю. Наконец, берется разность большего и меньшего взноса (a₁ – a₂, при а₁  а₂), на которую делятся ши [2] и фа [1], что соответственно даст стоимость вещи (y) и количество людей (х).
x = (b₁ + b₂)/(a₁ – a₂),
y = (a₁b₂ + a₂b₁)/(a₁ – a₂).

Например, в задаче говорится, что если при покупке какой-то вещи каждый человек вносит 8 неких денежных единиц, то избыток равен 3, а если – 7, то недостаток равен 4. Спрашивается: каково количество людей и сколько стоит вещь?

Решение.

Здесь решаются уравнения 8x = y + 3 и 7x = y – 4. Вычисляем ши [2] = 32 + 21 = 53 и фа [1] = 3 + 4 = 7. Разность a₁ – a₂ = 8 – 7 = 1. Тогда х = ⁷/₁ = 7, а у = ⁵³/₁ = 53.
 Ответ: 7 чел.,53 ден.ед.

Задача. «Покупают сообща буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен (т.е. не хватит) 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен (т.е. останется) 30. Сколько было семей и сколько стоит буйвол?».
Решение.
В трактате коротко излагается прием решения задачи, который в современной символике сводится к следующему:
Если имеется система   то надо составить из коэффициентов матрицу вида:  , из которой находятся неизвестные величины:

, .
Обозначая через х количество семей, у – стоимость буйвола, составляем систему уравнений:
 

В данной системе   , а₂=30, b₁=-330, b₂=30;

Таблица, составленная из коэффициентов, будет иметь вид:   , Решение системы будет записываться в следующем виде: у = 30· 126 - 30 = 3750.
Таким образом, было 126 семей, а буйвол стоил 3750.

Ответ: 126 семей, 3750 ден.ед.

Глава II. Различные методы решения систем линейных уравнений с двумя и более переменными.

В XVIII веке в связи с бурным развитием технологии, производства, возникновением новых видов техники, с развитием естественных наук (физики), произошел новый виток в развитии теории решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра выросла из решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Решение уравнений и систем уравнений и поныне составляет содержание курса алгебры, которая имеет тесные связи с геометрией, физикой, логикой и другими науками.

Методы решения систем линейных уравнений с двумя и более переменными:

1. Метод подстановки

2. Метод уравнивания коэффициентов (способ сложения)

3. Графический метод

4. Метод Крамера (метод определителей)

5. Метод Гаусса

Графически, методом подстановки и методом алгебраического сложения мы научились решать системы уравнений с двумя переменными в процессе прохождения тем на уроках алгебры, а вот остальные методы привлекли наше внимание, ведь это очень интересно!

Метод Крамера (метод определителей)

В связи с поиском рациональных приемов решения n линейных уравнений с n неизвестными, возникла и начала развиваться в XVII в. теория определителей для систем двух уравнений с двумя неизвестными.

,

.

Решение этой системы запишем в виде: ,

Величина D имеет определенное численное значение и называется определителем (детерминантом) системы уравнений.

Величину D (дельта) в решении условно изображают в виде записи в вертикальных прямых скобках с упорядоченным расположением коэффициентов при неизвестных x и y.

Такой определитель называется определителем второго порядка.

Запишем систему так, чтобы одинаковые неизвестные в уравнениях стояли друг под другом

,

.

Определитель системы составим из коэффициентов при неизвестных x и y, перемножим элементы определителя, расположенные по диагонали, начиная

5 2

= = 15 – (–1) × 2 = 17

-1 3

Величина ∆x называется определителем переменной x. Определитель D x получается из определителя D заменой столбца коэффициентов при неизвестной x столбцом свободных членов:

-4 2

1 3

Определитель Dy получается из определителя D заменой столбца коэффициентов при неизвестной y столбцом свободных членов.

5 - 4

= = 5 – (-1) (- 4) = 1.

-1 1

Получаем решение системы: .

Ответ:

Метод Гаусса

Этот метод широко применяется в практике вычислений при решении уравнений с большим количеством неизвестных. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Например, решим систему уравнений с тремя неизвестными:

∙ 1

-3

∙ 3

1 шаг: С помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего уравнений.

Для этого умножим правую и левую части первого уравнения на 2, а правую и левую части второго уравнения на (- 3) и сложим почленно первое уравнение со вторым уравнением. Потом умножим правую и левую части третьего уравнения на 3 и сложим почленно первое уравнение с третьим уравнением.

П олучим систему уравнений:

3x +y – z = - 1

11y – 8 z = - 8 ∙ 16

16 y –10 z = - 10 ∙ (-11)

2 шаг: Теперь с помощью второго уравнения исключим y из третьего уравнения. Для этого умножим правую и левую части второго уравнения на 16, а правую и левую части третьего уравнения на (-11) и сложим почленно полученные уравнения.

П олучим систему уравнений «треугольного» вида, решение которой (0; 0; 1) нетрудно найти.

3x + y – z = - 1 x = 0

11y – 8z = - 8 y = 0

-18z = - 18 z = 1

Ответ: (0;0;1)

Глава III. Практическая часть.

«В задачах, которые ставит перед нами жизнь, экзаменатором является сама природа» У. Сойер

Все науки возникли из практики. Значения, которые лежат в основе разных наук, человек приобрел в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук - создание условий, наиболее благоприятных для существования человека. В начале XX века в Америке была объявлена большая премия автору, который напишет книгу: «Как человек без математики жил?». Премия осталась не выданной. Ни один автор не сумел изобразить жизнь человека без математических знаний.

И мы попробовали применить полученные знания на практике: составить летний математический календарь для учащихся, окончивших 7 класс. Оказывается, многие задачи на составление систем уравнений с двумя неизвестными, можно решить, используя не только традиционные методы из школьного курса математики, но и метод Крамера, основу которого составило китайское правило ин бу цзу «избыток» и «недостаток». Вот, что у нас получилось:

Летний математический календарь — это летнее задание, рассчитанное на ежедневное занятие математикой во время каникул. Он предназначен только для желающих учащихся, необязательность выполнения летних заданий не ведет к перегрузке. А главное, летний математический календарь позволяет держать в тонусе мышление и интеллект ученика во время каникул.

Структура летнего математического календаря

• Понедельник служит для повторения материала какой-то конкретной темы по алгебре.

• Вторник посвящен геометрии, причем здесь содержатся не только задания по повторению геометрического материала, но и задания по подготовке учащихся к изучению геометрии в новом учебном году.

• Среда — день контроля, каждую среду учащимся предлагается самостоятельная работа для проверки своих знаний.

• Четверг — день текстовых задач.

• Пятница — день развития математического мышления. Каждую пятницу учащимся предлагается нестандартная задача.

• Суббота — день, посвященный подготовке к экзаменам. В этот день учащимся предлагаются задания, составленные в формате ГИА, ЕГЭ.

• Воскресенье — это день отдыха и размышлений.

Календарь можно посмотреть в приложении (стр.16-18 ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над проектом мы проследили развитие алгебры на протяжении 2,5 тысяч лет, рассмотрели много задач на составление системы уравнений, решаемых разными методами. По мере изучения материала стало очевидно, что для решения систем двух линейных уравнений используют не все методы. Например, графический метод удобен для системы из двух линейных уравнений (наглядно и быстро, хотя он может быть неточным), а метод алгебраического сложения и метод Гаусса для этой цели не пригоден (проигрывает с точки зрения наглядности). Кроме этого, получается, что наиболее универсальными являются метод подстановки и метод Крамера.

На основании всего вышеизложенного можно сделать вывод о том, что развитие математики в древнем Китае со II в. до н.э. по VII в.н.э. дало сильный толчок для дальнейшего её совершенствования, а правило ин бу цзу - на применение разработанных методов решения систем уравнений в будущем.

В наше время методы решения линейных систем приобрели особую важность в связи с задачами математической экономики. Обычно такие задачи сводятся к линейным системам с огромным числом неизвестных. Для решения таких задач применяются метод Гаусса, метод Крамера, а в целочисленных числах – метод Диофанта. И мы обязательно познакомимся с ним в старших классах, ведь ЭТО ИНТЕРЕСНО!!!

Список использованных источников.

1) Аль-Хорезми Мухаммад Математические трактаты. Пер. Б. А. Розенфельда. – Ташкент.: Наука, 1994 – 132с.

2) Башмакова И. Г. Диофант и Диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972 - 68с.

3) Бесчетнов В.М. Математика. Курс лекций для учащихся 7 - 11 классов. Т1.- М.: Демиург,1994 - 288с.

4) Гельфанд М.Б., Павлович В.С. Внеклассная работа по математике. - М: Просвещение, 1965 - 208с.

5) Глейзер Г.И.История математики в школе 9- 11 классы. - М: Просвещение, 1983 - 352с., ил., черви

6) Депман И. Рассказы о старой и новой алгебре. Л: детская литература , 1967 - 144с.

7) Егерев В.К. и другая Методика построения графиков функции. М: Высшая школа, 1970 - 152с.

8) Курош А. Г. Лекция по общей алгебре. – М.: Издательство физ-мат. литературы, 1962 - 396с.

9) Никольский С.М. Алгебра 7 класс. – М: Просвещение. ОАО «Московский учебник», 2006 - 288с.

10) Никольский С. М.Алгебра 8 класс- М: Просвещение, ОАО «Московский учебник», 2006 - 288с.

11) Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М: Просвещение, 1990 - 224с., ил.

12) Стройк Д. я, Краткий очерк истории математики. – М: Наука, 1976 - 336с.

13) Энциклопедия для детей. Т. 11 Математика/Глав. Ред. М Д. Аксенова М: Аванта+, 1998 - 688с., ил.

14) http://www.vseumy.ru

15) http://ru.wikipedia.org

Приложение.

Понедельник

Тема: «Системы линейных уравнений»

Реши систему линейных уравнений

2х+ y=8,

х-y= 1.

тремя способами.

Для повторения:

Способы решения систем линейных уравнений:

а) способ подстановки;

б) способ сложения;

в) графический способ.

Вторник

Тема: «Измерение углов»

1. Луч OK является биссектрисой

2.

3. Луч MK делит

Среда

Проверь себя

Тема: «Системы линейных уравнений»

Реши системы методом алгебраического сложения или методом Крамера:

х + у =5,

4х - 5у = -16.

Четверг

Тема: «Задачи на проценты»

Задания из Открытого банка ЕГЭ:

1. Груши при сушке теряют 80% своего веса. Сколько сушеных груш получится из 35 кг свежих?

2.Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 38 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?

3. Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?

Пятница

Развивай мышление

Старинные задачи:

1. Продавая аршин сукна по 5 р., торговец получил бы на всем остатке этого сукна 12 р. прибыли. Продавая же по 3 р., он получил бы 4 р. убытка. Как велик остаток этого

сукна и по скольку рублей он сам платил за аршин сукна?

Ответ: 8 аршин по 3,5 руб

2. Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

Ответ: 9 чел, 70 ден.единиц

Суббота

Готовься к экзамену

1. Реши систему уравнений разными способами.

Задания Открытого банка ГИА

2.Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 

5 : 3

Сколько гектаров занимают овощные культуры?

3.Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч?

4. Разложите на множители выражение 16_{ } – _{ }.

5. Определи, какая из данных точек не принадлежит графику функции

y = 4 – 5x.

1) (1; –1); 2) (–25; 129);

3) (–1; 1); 4) (4; –16).

Воскресенье

Отдыхай и не скучай!

Это стихотворение поможет тебе запомнить степени числа 2: от 21 до 210.

Слон живет у нас в квартире,

В доме 2, подъезд 4.

По часам привык питаться:

Утром — в 8, днем — в 16.

Ест на завтрак непременно 32 охапки сена.

После утренней прогулки — 64 булки.

На обед ему приносим огурцов 128.

Помидоров может съесть 256.

Съест блинов 512, — это если не стараться.

А замесишь на кефире — 1024.

Настройся на успех!

Если ты достаточно успешно справляешься с другими дисциплинами, ты просто не можешь не справиться с математикой — это только дело времени и твоего собственного труда.

Желаем вам удачи!

21