Факультативный курс
«Классические задачи планиметрии и их обобщения»
Пояснительная записка
Автор: Казанцева М.Н., учитель математики
Одной из основных целей учебного предмета «Математика» как компонента общего среднего образования является развитие мышление, прежде всего формирование абстрактного мышления, способности к абстрагированию, и умению «работать» с абстрактными «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие как сила и гибкость, конструктивность и критичность и др.
Школьные программы по математике не предусматривают изложение фактов их «Новой геометрии треугольника» и их обобщений. Между тем некоторые из фактов «Новой геометрии треугольников» просты, интересны и находят применение при решении весьма сложных задач.
Изучение планиметрии в школьном курсе, основанной на классической Евклидовой аксиоматике, заканчиваются изучением площадей фигур в 9 классе средней школы. К этому времени ученик знакомы с основными свойствами простейших геометрических фигур, владеют методами простейших геометрических построений, имеют понятие о преобразовании фигур, сохраняющих расстояние, а так же о преобразовании подобия. Они знакомы с основными планиметрическими фактами, например, теоремой синуса, теоремой косинуса, теоремой Пифагора. Однако, очень много замечательных теорем, являющихся классическими, остаются за пределами школьного курса. Вместе с тем за последние столетия в элементарной геометрии треугольника было проведено много интересных исследований. Они привели к установлению различных отношений в треугольнике. Было открыто множество теорем, получивших имена своих открывателей – выдающихся математиков всего мира, разработаны современные методы их доказательств.
Анализ доказательств классических задач планиметрии показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить, логически рассуждать, способствуют развитию сообразительности, изобретательности, математической грамотности.
Затруднения, возникающие в преподавании геометрии, связаны не с приобретением навыков, а с необходимостью освободить воображение от всяких предубеждений и привычек, развивать способность к наблюдению и дерзанию. Очень трудно убедить учеников в необходимости вышесказанного. Для многих из них курс геометрии представляется собранием теорем, которые надо знать наизусть, а задача – коварной загадкой, попыткой сбить с толку и обмануть.
Но известно, что решение задач – одно из основных средств математического развития школьников. Каждая геометрическая задача служит конкретным целям обучения, но основная ее цель – развитие творческого и математического мышления учащихся.
Интерес к делу со стороны учащихся имеет решающее значение. Интересную задачу легче решать, так как уже один интерес к ней сам по себе, независимо от желания, моделирует умственную энергию, облегчает запоминание, ускоряет изучение предмета.
С.Л. Рубинштейн говорил: «Для того чтобы учащийся по-настоящему включился в работу, нужно, чтобы задачи, которые перед ним ставятся в ходе учебной деятельности, были не только понятны, но и внутренне приняты, то есть, чтобы они приобрели значимость для учащегося и нашли, таким образом, отклик и опорную точку в его переживаниях».
Занимательные задачи развивают математическое мышление, мобилизируют творческую энергию учащегося.
Данный курс содержит много интересных, оригинальных задач. Здесь подобраны интересные, красивые теоремы, с помощью которых учащиеся могут находить разнообразные, оригинальные, иногда неожиданные пути решения задач, требующих смекалки, остроумных дополнительных построений. Многие из данных теорем позволяют упростить решение некоторых задач школьного курса геометрии.
При разработке факультативного курса ставилась задача – дать учащимся, проявляющий повышенный интерес к математике, возможность углубленного изучения классических задач планиметрии и их обобщений путем рассмотрения дополнительно теоретического материалы и задач, которые помогают развивать психические процесс школьников, в частности логическое, творческое мышление. А также, кроме повышения уровня знаний учащихся, показать красоту математики, привить интерес к предмету, увлечь и заинтересовать учащихся математикой.
Следует отметить, что многие теоремы могут быть изучены не только в классах с углубленным изучением предмета или факультативных курсах, но и в обычных классах, так как некоторые теоремы, как уже отмечалось выше, просты, интересны и позволяют упростить решение многих задач.
Таким образом, можно утверждать, что в школьном математике на факультативных курсах, в специализированных классах и школах необходимо уделять больше внимания классическим задачам планиметрии и их обобщениям, так как эти задачи играют немаловажное значение в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, способствуют их эстетическому воспитанию.
Место факультативного курса в учебном плане
Программа курса "Классические задачи планиметрии и их обобщения" рассчитана на 1 час в неделю, всего 35 часов в течение года.
Календарно – тематический план
| Название раздела | Кол-во часов |
| Изучение замечательных точек и линий, связанных с треугольником | 4 |
| Замечательные теоремы о треугольниках | 31 |
| Теорема Чевы | 5 |
| Теорема Менелая | 6 |
| Теорема Дезарга | 4 |
| Теорема Морлея и ее обобщения | 5 |
| Теорема Птолемея | 6 |
| Формула Герона и ее обобщения | 4 |
| Защита творческих проектов | 1 |
| Всего | 35 |
Тематическое планирование.
| № занятия | Тема занятия | Кол-во часов |
| Изучение замечательных точек и линий, связанных с треугольником. |
|
| 1 | Центр тяжести, ортоцентр. Центры вписанной и описанной окружностей. Центр вневписанной окружности. | 1 |
| 2 | Средняя линия треугольника. Прямая Эйлера. | 1 |
|
| Теорема Штейнера – Лемуса. (2 часа) |
| 3 | Историческая справка. Доказательство теоремы Штейнера – Лемуса. | 1 |
| 4 | Решение задач на применение теоремы Штейнера – Лемуса. | 1 |
| Замечательные теоремы о треугольниках. |
|
|
| Теорема Чевы (5 часов) |
| 5 | Историческая справка. Различные доказательства теоремы Чевы и ее обобщений. | 1 |
| 6 | Обратная теорема Чевы: различные доказательства, обобщения обратной теоремы Чевы. | 1 |
| 7 | Обобщение теоремы Чевы для тетраэдра. | 1 |
| 8 | Следствия из обобщения теоремы Чевы для тетраэдра. | 1 |
| 9 | Решение задач на применение теоремы Чевы. | 1 |
|
| Теорема Менелая (6 часов) |
| 10 | Историческая справка. Различные доказательства теоремы Менелая. | 1 |
| 11 | Обратная теорема Меналаяи ее различны доказательства. | 1 |
| 12 | Обобщение теоремы Менелая (теорема Карно). | 1 |
| 13 | Обобщение теоремы Менелая для тетраэдра. | 1 |
| 14,15 | Решение задач на применение теоремы Менелая. | 2 |
|
| Теорема Дезарга (4 часов) |
| 16 | Историческая справка. Доказательство теоремы Дезарга и теоремы обратной ей. | 1 |
| 17 | Обобщение теоремы Дезарга: обобщенная теорема Дезарга, обратная обобщенная теорема Дезарга. | 1 |
| 18,19 | Решение задач на применение теоремы Дезарга и обобщения теоремы Дезарга. | 2 |
|
| Теорема Морлея и ее обобщения (5 часов) |
| 20 | Историческая справка. Трисектрисы угла. | 1 |
| 21 | Доказательства теоремы Морлея. | 1 |
| 22 | Доказательства теоремы Морлея. Полная обобщенная теорема Морлея. | 1 |
| 23 | Морлеевская ориентация и последовательность треугольников. | 1 |
| 24 | Решение задач на применение теоремы Морлея. | 1 |
|
| Теорема Птолемея (6 часов) |
| 25 | Историческая справка. Теорема Симсона. | 1 |
| 26 | Теорема Птолемея. | 1 |
| 27 | Обобщенная Теорема Птолемея. | 1 |
| 28 | Теорема Брештейдера. | 1 |
| 29,30 | Решение задач на применение теоремы Птолемея. | 2 |
|
| Формула Герона и ее обобщения (4 часов) |
| 31 | Теорема: формула герона. | 1 |
| 32 | Теорема Брахмогупты. | 1 |
| 33 | Свойство четырехугольника, вписанного в окружность (диагонали которого перпендикулярны и прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит одну из сторон (АВ) пополам). | 1 |
| 34 | Решение задач на применение теоремы Брахмогупты. | 1 |
| 35 | Защита творческих проектов | 1 |
587
75 083 
