Физика. Колебания и волны.

Колебаниями называются процессы, при которых движения или состояния системы регулярно повторяются во времени. Наиболее наглядно демонстрирует колебательный процесс качающийся маятник, но колебания свойственны практически всем явлениям природы. Колебательные процессы характеризуются следующими физическими величинами.

Частота колебаний n или f – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т. Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с^–1. Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц. В расчетах нередко используют круговую, или цикличную частоту w = 2pn.

Фаза колебаний j – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.

Амплитуда колебаний А – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.

Периодические колебания могут иметь самую разную форму, но наибольший интерес представляют так называемые гармонические, или синусоидальные колебания. Математически они записываются в виде

u(t) = A sin j = A sin(wt + j0),

где A – амплитуда, j – фаза, j0 – ее начальное значение, w – круговая частота, t – аргумент функции, текущее время. В случае строго гармонического, незатухающего колебания, величины А, w и j0 не зависят от t.

Любое периодическое колебание самой сложной формы может быть представлено в виде суммы конечного числа гармонических колебаний, а непериодическое (например, импульс) – бесконечным их количеством (теорема Фурье).

Система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, совершает свободные, или собственные колебания, частота которых определяется физическими параметрами системы. Собственные колебания также могут быть представлены в виде суммы гармонических, так называемых нормальных колебаний, или мод.

Возбуждение колебаний может происходить тремя путями. Если на систему действует периодическая сила, меняющаяся с частотой f (маятник раскачивают периодическими толчками), система будет колебаться с этой – вынужденной – частотой. Когда частота вынуждающей силы f равна или кратна частоте собственных колебаний системы n, возникает резонанс – резкое возрастание амплитуды колебаний.

Если параметры системы (например, длину подвеса маятника) периодически изменяют, происходит параметрическое возбуждение колебаний. Оно наиболее эффективно, когда частота изменения параметра системы равна ее удвоенной собственной частоте: f_пар = 2nсоб.

Если колебательные движения возникают самопроизвольно (система «самовозбуждается»), говорят о возникновении автоколебаний, имеющих сложный характер.

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h, ему сообщают потенциальную энергию mgh. Она полностью переходит в кинетическую энергию движения mv²/2, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. Если при этом происходит потеря энергии, колебания становятся затухающими.

В физике отдельно рассматриваются колебания механические и электромагнитные – связанные колебания электрического и магнитного поля (свет, рентгеновское излучение, радио). В пространстве они распространяются в форме волн.

Волной называется возмущение (изменение состояния среды), которое распространяется в пространстве и несет энергию, не перенося вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны могут возбуждаться только в среде (газе, жидкости, твердом теле), а электромагнитные волны распространяются и в вакууме.

Если возмущение волны направлено перпендикулярно направлению ее распространения, волна называется поперечной, если параллельно – продольной. К поперечным относятся волны, бегущие по поверхности воды и вдоль струны, а также электромагнитные волны – векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны вектору скорости волны. Типичный пример продольной волны – звук.

Уравнение, описывающее волну, можно вывести из выражения для гармонических колебаний. Пусть в какой-то точке среды происходит периодическое движение по закону А = A₀ sin wt. Это движение будет передаваться от слоя к слою – по среде побежит упругая волна. Точка, находящаяся на расстоянии x от точки возбуждения, станет совершать колебательные движения, отставая на время t, необходимое для прохождения волной расстояния х: t = x/c, где c – скорость волны. Поэтому законом ее движения будет

A_x = A₀ sin w(t – x/c),

или, так как w = 2p/T, где T - период колебаний,

A_x = A₀ sin 2p(t/T – x/cT).

Это – уравнение синусоидальной, или монохроматической волны, распространяющейся со скоростью св направлении х. Все точки волны в момент времени t имеют разные смещения. Но ряд точек, отстоящих на расстояние cT одна от другой, в любой момент времени смещены одинаково (т.к. аргументы синусов в уравнении отличаются на 2p и, следовательно, их значения равны). Это расстояние и есть длина волны l = сТ. Она равна пути, который проходит волна за один период колебания.

Фазы колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии Dходна от другой, отличаются на Dj = 2pDх/l, и, следовательно, на 2p при расстоянии, кратном длине волны. Поверхность, во всех точках которой волна имеет одинаковые фазы, называется волновым фронтом. Распространение волны происходит перпендикулярно ему, поэтому оно может рассматриваться как движение волнового фронта в среде. Точки волнового фронта формально считают фиктивными источниками вторичных сферических волн, при сложении дающих волну исходной формы (принцип Гюйгенса-Френеля).

Скорость смещения элементов среды меняется по тому же закону, что и само смещение, но со сдвигом по фазе на p/2: скорость достигает максимума, когда смещение падает до нуля. То есть волна скоростей сдвинута относительно волны смещений (деформаций среды) по времени на Т/4, а в пространстве на l/4. Волна скоростей несет кинетическую энергию, а волна деформаций – потенциальную. Энергия все время переносится в направлении распространения волны +х со скоростью с.

Введенная выше скорость с отвечает распространению только бесконечной синусоидальной (монохроматической) волны. Она определяет скорость перемещения ее фазы j и называется фазовой скоростью с_ф. Но на практике гораздо чаще встречаются как волны более сложной формы, так и волны, ограниченные во времени (цуги), а также совместное распространение большого набора волн разной частоты (например, белый свет). Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью. Если же фазовая скорость волны зависит от ее частоты w, наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w0 ± Dw, из-за дисперсии расплывается.

Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью v_гр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: с_ф > v_гр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

Колебания и волны

Гармоническое колебание

Фаза колебаний

Рис. 55

Частота колебаний

Циклическая частота

Максимальное ускорение

Скорость гармонического колебания

Максимальная скорость

Ускорение колеблющейся точки

Сила, под действием которой точка массы/и совершает гармоническое колебание

Период колебаний математического маятника

Период колебаний пружинного маятника

Возвращающая сила

При малых амплитудах период и частота колебаний математического маятника не зависят от амплитуды.

Период и частота гармонических колебаний математического маятника не зависят от его массы.

Если колебательная система выведена из положения равновесия и затем предоставлена сама себе, то она совершает колебания, называемые свободными колебаниями.

Механический резонанс - явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой периодически действующей вынуждающей силы.

Если свободные механические колебания происходят без потерь энергии, то они называются собственными колебаниями.

Вынужденными называются колебания, происходящие под действием периодической вынуждающей силы.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Кинетическая энергия колеблющейся точки

Волной называется процесс распространения колебаний.

Продольными называются волны, частицы которых колеблются вдоль направления распространения волны.

Звуковой волной называется процесс распространения колебаний упругой среды в диапазоне частот от 16 до 20000 Гц.

Поперечными называются волны, частицы которых колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Колебания упругой среды с частотой, большей слышимых частот, называются ультразвуковыми колебаниями, или ультразвуком.

Колебания упругой среды с частотой, меньшей слышимых частот, называются инфразвуковыми колебаниями, или инфразвуком.

Уравнение гармонической волны

Длина волны

Разность фаз

Полная энергия колебаний

Формула Томсона

Циклическая частота

Колебательный контур - электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности L и конденсатора С.

В колебательном контуре возникают колебания с одной и той же циклической частотой щ:

заряда q на обкладках конденсатора; напряжения U на обкладках конденсатора; силы тока в колебательном контуре; энергии электрического и магнитного поля.

Колебания заряда на обкладках конденсатора

Колебания напряжения

Колебания силы тока

Колебания ЭДС

Эффективное (действующее) значение силы тока

Эффективное (действующее) значение напряжения

Переменный ток

Индуктивное сопротивление

Емкостное сопротивление

Полное сопротивление цепи переменного тока

Энергия потерь

Скорость электромагнитных волн

Работа трансформатора

Работа трансформации

Скорость электромагнитных волн в среде