Физика. Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k=1,38·10-23 ДжК, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T0=273 КT0=273 К до T1=373 КT1=373 К приводит к изменению его давления от p0=1,013⋅105 Паp0=1,013·105 Па до p0=1,38⋅105 Паp0=1,38·105 Па. Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6⋅10236·1023, а объем при давлении в 1 атм1 атм равен V=22,4 лV=22,4 л. С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана kk:

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра kk:

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Обозначив модуль кручения как LL, момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как JJ, а угол поворота зеркала как φφ, можем записать уравнение колебаний следующего вида:

Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φφ, проинтегрируем результат и получим:

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290К290К, а модуль кручения L≈10−15 Н⋅м; <φ>≈4⋅10−6L≈10-15 Н·м; φ≈4·10-6, то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

<E>=32kTE=32kT.

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример.

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов (μ1, μ2)μ1, μ2.

Решение

Сначала вычислим общую массу смеси.

m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02→ρ=n1m01+n2m02m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02→ρ=n1m01+n2m02.

Параметр m01m01 обозначает массу молекулы одного газа, m02m02 – массу молекулы другого, n2n2 – концентрацию молекул одного газа, n2n2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρρ.

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

n1=ρ−n2m02m01;n2=n−n1→n1=ρ−(n−n1)m02m01→n1=ρ−nm02+n1m02m01→n1m01−n1m02=ρ−nm02→n1(m01−m02)=ρ−nm02.n1=ρ-n2m02m01;n2=n-n1→n1=ρ-(n-n1)m02m01→n1=ρ-nm02+n1m02m01→n1m01-n1m02=ρ-nm02→n1(m01-m02)=ρ-nm02.

Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

p=nkT→n=pkTp=nkT→n=pkT.

Подставим полученное равнее значение:

n1(m01−m02)=ρ−pkTm02→n1=ρ−pkTm02(m01−m02)n1(m01-m02)=ρ-pkTm02→n1=ρ-pkTm02(m01-m02).

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

m01=μ1NA, m02=μ2NAm01=μ1NA, m02=μ2NA.

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 атм1 атм, а температура 290К290К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как n1=ρ−pkTm02(m01−m02)n1=ρ-pkTm02(m01-m02), где m01=μ1NA, m02=μ2NAm01=μ1NA, m02=μ2NA.