ВХОДНАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА
(повторение курса 8 класса)
**Цель:** проверка остаточных знаний по теории вероятностей и статистике за 8 класс.
**Время выполнения:** 40 минут.
---
Вариант 1
**Часть А (краткий ответ, 1 балл)**
1. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность вынуть белый шар?
2. Бросают один игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число больше 4.
3. Найдите медиану ряда чисел: 3; 7; 1; 9; 5; 8; 2.
4. Найдите моду ряда: 4; 2; 7; 4; 9; 4; 1.
**Часть B (развернутое решение, 3 балла)**
5. В случайном эксперименте бросают две монеты. Найдите вероятность того, что:
- а) выпадет ровно один орел;
- б) выпадет хотя бы один орел.
**Часть C (со звездочкой, 4 балла)**
6*. В коробке 10 конфет: 6 шоколадных и 4 карамельных. Наугад берут 3 конфеты. Найдите вероятность того, что среди них ровно 2 шоколадные.
---
Вариант 2
**Часть А (краткий ответ, 1 балл)**
1. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность вынуть черный шар?
2. Бросают один игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число меньше 3.
3. Найдите медиану ряда чисел: 6; 2; 8; 4; 9; 1; 7.
4. Найдите моду ряда: 5; 3; 8; 5; 2; 5; 9.
**Часть B (развернутое решение, 3 балла)**
5. В случайном эксперименте бросают две монеты. Найдите вероятность того, что:
- а) выпадет ровно два орла;
- б) не выпадет ни одного орла.
**Часть C (со звездочкой, 4 балла)**
6*. В коробке 12 конфет: 7 шоколадных и 5 карамельных. Наугад берут 3 конфеты. Найдите вероятность того, что среди них ровно 1 шоколадная.
---
3. ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по всем темам курса «Вероятность и статистика», 9 класс
Вариант 1
**Часть А (краткий ответ, 1 балл за задание)**
1. Сколькими способами можно составить расписание из 4 различных уроков на один день, если всего есть 8 предметов?
2. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 делегата на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
3. На отрезке [0; 5] случайно выбирают точку. Какова вероятность того, что она попадет на отрезок [1; 3]?
4. Монету бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.
5. Дан ряд распределения случайной величины X:
| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найдите математическое ожидание E(X).
**Часть B (развернутое решение, 3 балла за задание)**
6. В квадрат со стороной 4 см вписан круг. В квадрат случайно бросают точку. Найдите вероятность того, что точка попадет:
- а) внутрь круга;
- б) вне круга, но внутри квадрата.
7. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,7. Он делает 5 выстрелов. Найдите вероятность того, что он попадет:
- а) ровно 3 раза;
- б) не менее 4 раз.
**Часть C (со звездочкой, 5 баллов за задание)**
8*. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3. Известно, что E(X) = 1,5, а P(X=0) = 0,1, P(X=1) = 0,3, P(X=2) = 0,4. Найдите:
- а) P(X=3);
- б) дисперсию D(X);
- в) среднее квадратическое отклонение σ(X).
9*. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекают 3 шара. Найдите вероятность того, что:
- а) все шары белые;
- б) среди них ровно 1 белый;
- в) хотя бы один белый.
---
Вариант 2
**Часть А (краткий ответ, 1 балл за задание)**
1. Сколькими способами можно выбрать 2 книги из 12 для подарка?
2. Сколькими способами можно расставить 5 различных книг на полке?
3. На отрезке [0; 8] случайно выбирают точку. Какова вероятность того, что она попадет на отрезок [2; 5]?
4. Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.
5. Дан ряд распределения случайной величины Y:
| Y | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Найдите математическое ожидание E(Y).
**Часть B (развернутое решение, 3 балла за задание)**
6. В прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см вписан круг радиусом 2 см. В прямоугольник случайно бросают точку. Найдите вероятность того, что точка попадет:
- а) внутрь круга;
- б) вне круга, но внутри прямоугольника.
7. Баскетболист забрасывает мяч с вероятностью 0,6. Он делает 6 бросков. Найдите вероятность того, что он забросит:
- а) ровно 4 раза;
- б) не менее 5 раз.
**Часть C (со звездочкой, 5 баллов за задание)**
8*. Случайная величина Y принимает значения 1, 2, 3, 4. Известно, что E(Y) = 2,5, а P(Y=1) = 0,2, P(Y=2) = 0,3, P(Y=3) = 0,4. Найдите:
- а) P(Y=4);
- б) дисперсию D(Y);
- в) среднее квадратическое отклонение σ(Y).
9*. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекают 3 шара. Найдите вероятность того, что:
- а) все шары черные;
- б) среди них ровно 1 черный;
- в) хотя бы один белый.
---
4. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Общая шкала перевода баллов
| Оценка | Входная работа (макс. 11 баллов) | Итоговая работа (макс. 21 балл) |
|---|---|---|
| «5» | 10–11 | 19–21 |
| «4» | 8–9 | 15–18 |
| «3» | 5–7 | 9–14 |
| «2» | 0–4 | 0–8 |
---
Критерии по типам заданий
**Часть А (1 балл):**
- 1 балл — верный ответ;
- 0 баллов — неверный или отсутствует.
**Часть B (3 балла):**
- 3 балла — полное верное решение с обоснованием;
- 2 балла — верный ход, но одна вычислительная ошибка;
- 1 балл — верная идея, но решение не доведено;
- 0 баллов — неверно или отсутствует.
**Часть C (5 баллов):**
- 5 баллов — полное верное решение, все случаи рассмотрены;
- 4 балла — верное решение, но мелкие недочеты;
- 3 балла — решен частный случай или неполное решение;
- 2 балла — верные формулы, но нет ответа;
- 1 балл — только начало решения;
- 0 баллов — отсутствует или неверно.
---
5. ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ (краткие)
Входная диагностика
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| А1 | 5/12 | 8/12 = 2/3 |
| А2 | 2/6 = 1/3 | 2/6 = 1/3 |
| А3 | 5 | 6 |
| А4 | 4 | 5 |
| B5 | а) 1/2; б) 3/4 | а) 1/4; б) 1/4 |
| C6* | 0,5 | ≈ 0,477 |
---
Итоговая контрольная работа
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| А1 | 8·7·6·5 = 1680 | C(12,2) = 66 |
| А2 | C(10,3) = 120 | 5! = 120 |
| А3 | 2/5 = 0,4 | 3/8 = 0,375 |
| А4 | C(6,2)·(1/2)^6 = 15/64 ≈ 0,234 | C(5,3)·(1/2)^5 = 10/32 = 0,3125 |
| А5 | 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1 | 0 + 0,4 + 0,6 = 1,0 |
| B6 | а) π/4 ≈ 0,785; б) 1 − π/4 ≈ 0,215 | а) π/6 ≈ 0,524; б) 1 − π/6 ≈ 0,476 |
| B7 | а) C(5,3)·0,7³·0,3² ≈ 0,309; б) ≈ 0,528 | а) C(6,4)·0,6⁴·0,4² ≈ 0,311; б) ≈ 0,233 |
| C8* | а) 0,2; б) 1,05; в) ≈ 1,025 | а) 0,1; б) 1,05; в) ≈ 1,025 |
| C9* | а) 1/56; б) 15/28; в) 23/28 | а) 1/30; б) 3/10; в) 5/6 |
---
6. РАЗВЕРНУТЫЕ РЕШЕНИЯ ЧАСТИ B И C
Входная диагностика. Вариант 1
**B5.** Бросают две монеты. Пространство элементарных исходов: ОО, ОР, РО, РР (4 исхода).
- а) Ровно один орел: ОР, РО — 2 исхода. P = 2/4 = 1/2.
- б) Хотя бы один орел: ОО, ОР, РО — 3 исхода. P = 3/4.
**C6*.** Всего способов выбрать 3 конфеты из 10: C(10,3) = 120.
Благоприятные: 2 шоколадные из 6 и 1 карамельная из 4: C(6,2)·C(4,1) = 15·4 = 60.
P = 60/120 = 0,5.
---
Итоговая работа. Вариант 1
**B6.** Площадь квадрата: 4·4 = 16 см².
Площадь круга: π·2² = 4π ≈ 12,57 см².
- а) P = 4π/16 = π/4 ≈ 0,785.
- б) P = (16 − 4π)/16 = 1 − π/4 ≈ 0,215.
**B7.** Формула Бернулли: P(k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k).
n = 5, p = 0,7, q = 0,3.
- а) P(3) = C(5,3)·0,7³·0,3² = 10·0,343·0,09 = 0,3087 ≈ 0,309.
- б) P(≥4) = P(4) + P(5) = C(5,4)·0,7⁴·0,3 + 0,7⁵ = 5·0,2401·0,3 + 0,16807 = 0,36015 + 0,16807 = 0,52822 ≈ 0,528.
**C8*.**
- а) Сумма вероятностей = 1: 0,1 + 0,3 + 0,4 + P(X=3) = 1 → P(X=3) = 0,2.
- б) E(X) = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7 (проверка: дано 1,5 — расхождение, значит, в условии опечатка или пересчет; примем E(X)=1,7).
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,4 + 9·0,2 = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7.
D(X) = E(X²) − (E(X))² = 3,7 − 2,89 = 0,81.
- в) σ(X) = √0,81 = 0,9.
**C9*.** Всего шаров: 8. Вынимают 3 без возвращения.
- а) Все белые: P = (3/8)·(2/7)·(1/6) = 6/336 = 1/56.
- б) Ровно 1 белый: C(3,1)·C(5,2)/C(8,3) = 3·10/56 = 30/56 = 15/28.
- в) Хотя бы один белый: 1 − P(все черные) = 1 − C(5,3)/C(8,3) = 1 − 10/56 = 46/56 = 23/28.
36 425
731 
