Формула Пика-простой способ для вычисления площадей

Формула Пика- простой способ для вычисления площадей.

Выполнила: ученица 9 класса Ермолаева Дарья

Учитель: Хасматулина Н.Р.

Как определить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой основе

Цели и задачи:

Цели исследования:

• 1. Изучение формулы Пика.
• 2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

• 1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• 2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• 3. Создать электронную презентацию работы
• 4. Сделать выводы по результатам работы.
• 5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Георг Пик

Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет.

Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ

посвящены многим разделам математики, таким как:

линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.

Теорема Пика

Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году. Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г : 2 + В – 1, где

Г – число узлов решетки на границе многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Формула Пика  — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

Вычисление узлов.

В = 35

Г = 15

Вычисление узлов

В=43, Г=14

Пример 1

B=6, Г= 3 S = Г /2+ В – 1 S = 3 /2 + 6 – 1 = 6,5

Пример 2

В=9, Г=4 S = Г /2+ В – 1 S = 4 /2 + 9 – 1 = 10

Возникает вопрос: получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами ? Оказывается, все просто…

По формулам площади

S = 49-( 3,5 +7+2+2,5+1 ) = 33 ( см ² )

По формуле Пика Г= 4; В= 32

… быстро и легко…

По формулам площади

По формуле Пика

Г = 18, В = 28

Попробуйте сами…

По формулам площади и теореме Пифагора

По формуле Пика

Г= 18, В = 28

S = 28 + – 1 =36 см ²

Задание ОГЭ

Решение:

По формуле Пика:

S = В +Г/2-1

Найдите площадь четырёхугольника АВС D

В = 5, Г = 7

S = 5+7/2–1=7,5(см²)

  Ответ: 7,5 см².

• Таким образом, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге: - Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = Г : 2 + В - 1 . - Формула Пика очень проста для запоминания. - Формула Пика очень удобна и проста в применении.

- Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

В = О, Г = 4

В = 2, Г = 7

S = 0 + 4/2 = 2

S = 2 + 7/2 = 5,5

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования:

• Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
• Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
• Создали электронную презентацию

Литература

1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014 – 2015г.

3.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

4.Мтематические этюды. etudes.ru

5.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы М. Просвещение ,2010