Формулы двойного аргумента

(Слайд 3). Восстановите формулы:

cos(a + β) =

si п(а + β) =

tg(a + β) =

(ученик у доски записывает формулы), после сверяют по слайду.

(Слайд 4). Самостоятельная работа (5 мин)

I Вариант

1. Найти координаты точки окружности, соответствующей углу:

1. 540⁰

2. 270⁰

_3.

4. -4π

5. 6.5π

2. Записать все углы в радианах, соответствующие точке на окружности с координатами:

(0;-1)

3. Вычислите:

-------------------------------------------------------------------------------

II Вариант

1. Найти координаты точки окружности, соответствующей углу:

1. 540⁰

2. 270⁰

_3.

4. -4π

5. 6.5π

2. Записать все углы в радианах, соответствующие точке на окружности с координатами:

(1;0)

Вычислите:

После окончания работы взаимопроверка. (Слайд 5).

= ) = + = = + = + .

= = - =

= - = .

Критерии оценивания:
7 правильных ответов - 5
6 правильных ответов - 4
5 правильных ответов - 3

III. Изучение нового материала

Какие формулы вы применяли для выполнения заданий?

синус и косинус суммы и разности двух углов

Сегодня мы продолжим разговор о данных формулах и с
помощью их получим еще несколько новых формул. А также научимся применять вновь изученные формулы при решении упражнений.

На прошлом уроке мы рассмотрели случай, когда углы были различными.

- Могут ли быть углы равными? Да

Наши задачи: (Слайд 6). 1. Из формулы косинуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу косинуса двойного аргумента.

Формулу сложения для косинуса суммы выводит ученик у доски.

(задание проверяем по заранее сделанной записи)

=

При

) =

Заметим, что формула косинуса двойного угла имеет два разных продолжения, так как в ней можно выразить через , а можно выразить через :

= - =1- - = 1 -2

= - = -(1- )=2 - 1

(Слайд 7). 2. Из формулы синуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу синуса двойного аргумента.

Формулу сложения для синуса суммы, если , выводит ученик у доски:

(Слайд 8). 3. Из формулы тангенса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу тангенса двойного аргумента.

Аналогичную формулу можно получить и для , но запоминать ее не надо, так как без нее всегда можно обойтись: ,   ;

  , где nZ .

Формулы синуса и косинуса двойного аргумента справедливы для любых значений аргумента, а формула тангенса двойного аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента x, для которых определены и , а также отличен от нуля знаменатель дроби, т.е. .

VI. Физкультминутка. Гимнастика для глаз.

(возможна демонстрация видеоролика)

Рисуй глазами треугольник. Теперь его переверни вершиной вниз.

И вновь глазами ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути, а лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води. И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально, и в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись. Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась. Ты – молодец!          

V. Закрепление материала. (Слайд 9). Рассмотрим применение формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

1. Известно, что cosx = 0,8. Найти sin2x, cos2x, tg2x. xπ

Какой четверти принадлежит угол х?

Какой знак имеет синус в этой четверти?

Мы знаем, что sin2x = 2sinx • cosx , так как cosx нам известен остается найти sinx.

Для этого воспользуемся формулой: sin²x+cos²x=1

sin²х=1— cos²x

sinx =√ 1 - cos²x

значение синуса берем с плюсом так, как синус в первой четверти принимает положительное значение.

2. Упростите выражение:

1. ; 2) .

3. Работа с учебником: №№ 498, 499 (1,3,5), 500 (1,3); 501 (1,3), 502(1,3).

VI. Подведение итогов. Рефлексия. Домашнее задание.

Закончить занятие можно словами американского математика Мориса Клайна (Слайд 10):

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей».

Рефлексия.

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

- Какие формулы были использованы для получения формул двойного угла?

- На каком этапе урока у вас возникли затруднения, какого характера?

- Успешно ли вы решили возникшие затруднения?

- Какой этап урока не вызвал затруднений?

-Как ты оцениваешь свою работу на уроке?

(Слайд 11). Домашнее задание.

п. 29; №№ 499 (2, 4, 6), 500 (2,4); 501 (2,4), 502(2,4).

Дополнительный материал:

1. Запишите угол в виде 2 - некоторый угол:

а) 30⁰; б) 90⁰; в) ; г) ; д) 4 ; е) ; ж) .

2. Упростите выражение:

а) 2

б) 4

в) 5

г) 4

3. Упростите выражение:

а) –

б)

в)

г) (

д) ;

е) ;

ж) ;

4. Докажите справедливость равенства:

1) ;

;

3) ;

4) ;

5) ;

6) 2 ;

7) 1 ;

8) 1 ;

9) ;

10) .

5. Вычислите:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2) .

9