Формулы нахождения проихводных

Правила нахождения производной произведения и производной частного

Законспектируйте теорию и выполните Задание.

1. Производная произведения

Пример:

Первый множитель (x+1) -f, второй множитель – (2x-5) -g

Расписываем по формуле:

Пример:

Первый множитель sin(x), второй множитель cos(x)

1. Производная частного

Пример:

Пусть f(x) = x-1, g(x) = x²+5

По формуле:

Задание:

Найдите производную по формулам

1. Производная сложной функции

Если известна производная функции f(x), то производную функции f(u) можно вычислить с помощью следующей формулы:

(f(u))’ = f’(u)*u’

Пример 1. Вычислить производную функции

Пусть u = x+2. Степень является «Внешней функцией», поэтому сначала используем формулу производной для степени. Выражение в скобках является «внутренней» функцией, поэтому второй шаг – найти производную данного выражения.

Первый шаг. «Внешняя» функция. Так как .

Второй шаг. «Внутренняя» функция.

Теперь по формуле остается перемножить полученные производные:

Пример 2. Вычислить производную функции

«Внешняя» функция – Степень. «Внутренняя» - косинус. Косинус находится в степени, поэтому является «внутренней» функцией.

Раскроем сначала внешнюю функцию, используя формулу для степени.

Перейдем к внутренней функции: (cos(x))’= -sin(x)

Перемножим полученные производные:

Можно, используя формулу синуса двойного аргумента, записать: -sin(2x)

Пример 3. Вычислить производную функции

Пример похож на предыдущий, однако теперь косинус является внешней функцией, , аргумент косинуса 2х – внутренней, так как находится «внутри» косинуса.

Найдем производную внешней функции:

Обратите внимание, что аргумент при нахождении производной остался точно таким же.

Теперь внутренняя функция:

Перемножим полученные производные: