Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

(a + b)²

(a - b)²

Повторим

Выполните умножение многочленов:

1) (x + y)(x + 3)

x² + 3x + xy + 3y

2) (m + n)(z + 2n)

mz + 2mn + nz + 2n²

3) (a - 4)(b + 7)

ab + 7a - 4b - 28

Упростим выражение

Перемножим сумму чисел на такую же сумму чисел

(n + 5)(n + 5) = n² + 5n + 5n + 5²

(n + 5)²

n² + 10n + 25

Упростим выражение

Перемножим разность чисел на такую же разность чисел

(n - 5)(n - 5) = n² - 5n - 5n + 5²

(n - 5)²

n² - 10n + 25

Заметим для общего случая

Найдем квадрат суммы чисел

(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b²

(a + b)²

a² + 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Заметим для общего случая

Найдем квадрат разности чисел

(a - b)(a - b) = a² - ab - ab + b²

(a - b)²

a² - 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Сформулируем вывод №1

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Сформулируем вывод №2

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Обобщим

(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b²

Проще

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)(a - b) = a² - ab - ab + b²

Проще

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух чисел

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности двух чисел

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Сформулируем вывод №3

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) при упрощении выражений позволяют выполнять меньше действий.

(a - b)² = a² - 2ab + b²

6 действий

2 действия

Сформулируем вывод №4

Формулы сокращенного умножения можно:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Развернуть

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Свернуть

a² - 2ab + b² = (a - b)²

Выпишем все ФСУ

1) Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2) Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²

3) Разность квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b²

4) Сумма кубов: (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

5) Разность кубов: (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

6) Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

7) Куб разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Попробуем устно

Свернуть формулу:

(k - m)²

k² - 2km + m²

(2b - 1)²

4b² - 4b + 1

(z + 10)²

z² + 20z + 100

c³ + 1

(c + 1)(c² - c + 1)

Попробуем устно

Развернуть формулу:

k² - 2km + m²

(k - m)²

(2x - y)²

4x² - 4xy + y²

(z + 8)²

z² + 16z + 64

(6a + 1)²

36a² + 12a + 1

Сформулируем вывод №5

Любую формулу сокращенного умножения (ФСУ) можно вывести, для этого достаточно раскрыть скобки.

(a - b)(a + b) = a² - b²

Выведем ещё одну формулу

Куб суммы

1

(a + b)³ = (a + b)²(a + b)

2

(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b)

3

(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³

4

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Примеры применения ФСУ

Вычислить: 999²

999² = (1000 – 1)² = 1000² - 2000 + 1

= 1000000 – 2000 + 1 = 998001

Обратите внимание:

Проще, чем в столбик

Примеры применения ФСУ

Вычислить: 3001² - 2999²

3001² - 2999²

(3001 + 2999)(3001 – 2999)

6000∙2 = 12000

Примеры применения ФСУ

Вычислить: 2001∙1999

(2000 + 1)(2000 - 1)

2000² - 1²

4000000 - 1 = 3999999

Примеры применения ФСУ

Раскрыть скобки:

(8x – 3y)²

(8x)² - 2∙8x∙3y + (3y)²

64x² - 48xy + 9y²

Примеры применения ФСУ

Раскрыть скобки:

(4a - 5b)(4a + 5b)

(4a)² - (5b)²

16a² - 25b²

Примеры применения ФСУ

Разверните формулу:

m³ - 27n³

m³ - (3n)³

(m – n)(m² + mn + n²)

Примеры применения ФСУ

Сверните формулу:

(y + 2)(y² - 2y + 4)

y³ - 8

Сформулируем вывод №6

Формулы сокращенного умножения:

Сокращают количество операций при вычислениях, значительно упрощая их.

⌵

Применяются для раскрытия скобок и упрощения умножения многочленов.

⌵

+

-

1

Проверь себя

Выберите верные равенства

+

16y² - 8y + 1

(4y - 1)²

+

25x² - 49y²

(5x - 7y)(5x + 7y)

+

(b + 4)(b² - 4b + 16)

b³ + 64

+

49k² - 42k + 9

(7k - 3)²

Задания и ответы появляются по щелчку

2

Проверь себя

Вычислите рациональным способом 49∙51:

49∙51 = (50 – 1)(50 + 1)

= 2500 – 1 = 2499

Задания и ответы появляются по щелчку

3

Проверь себя

Вычислите рациональным способом :

101² - 99² = (101 – 99)(101 + 99)

= 2∙200 = 400

Задания и ответы появляются по щелчку