Ֆունկցիաների ինտերպոլացում

Ֆունկցիաների ինտերպոլացում

Որոշ խնդիրների լուծման ընթացքում օգտագործում են աղյուսակով տրված ֆունկցիայի արժեքները: Նման դեպքերում, եթե անհրաժեշտ է որոշել ֆունկցիայի այն արժեքները, որոնք չկան աղյուսակում, ապա կարելի է ընտրել աղյուսակային ֆունկցիային ինչ որ իմաստով մոտ որևէ պարզագույն ֆունկցիա և հաշվումը կատարել նրա անալիտիկ տեսքից օգտվելով: Այդպիսի ֆունկցիայի որոշման ձևերից մեկը ինտերպոլացումն է: Դիցուք` x կետերում տրված են y= f( x) ֆունկցիայի արժեքները: Պահանջվում է կառուցել այնպիսի y= F( x) ֆունկցիա,որը նեւյն ` x0, x1,..., xn կետերում ընդունի նույն արժեքներըը: x-ի այլ արժեքների համար F (x) ֆունկցիան կոչվում է ինտերպոլացնող, իսկ նրա կառուցման պրոցեսը` ինտերպոլացում:

Տարբեր կարգի վերջավոր աճեր

Տված է y=f(x) ֆունկցիան:Արգումենտի աճը նշանակենք h-ով՝ ∆x=h:Այդ դեպքում y ֆունկցիայի առաջին կարգի վերջավոր աճը կլինի.

∆y≡∆f(x)=f(x+∆x) - f(x)

Նույն կերպ կստացվի ֆունկցիայի բարձր կարգի վերջավոր աճերը.

∆^n y=∆(∆^(n-1) y)

Ընդհանրապես ճիշտ է հետևյալ բազմանդամի վերջավոր աճի հաշվարկը,եթե

pn (x)=a0 x^n+a1 x^(n-1)+...+a_n

ապա ∆^n p_n (x)=n! a_0 h^n=const,որտեղ ∆x=h, (1)

իրոք

∆pn (x)=pn(x+h)-pn(x)= a0[(x+h)^n-x^n ]+a_1[...

Եթե կլոր փակագծերը բացենք …կստանանք n-1 աստիճանի բազմանդամ ,այնահետև նույն կերպ շարունակելով ի վերջո կստացվի (1)-ը:

∆^s pn(x)=0,եթե sn:

Նյուտոնի առաջին ինտերպոլացիոն բազմանդամ

Խնդրի դրվածքը

Դիցուկ տված y=f(x) ֆունկցիան,որը X_i=x₀+ih հավասարահեռ կետերում ըհդունում է

Y_i = f(x_i) արժեքներ, որտեղ h-ը ինտերպոլացիայի քայլն է:Պահանջվում է ընտրել այնպիսի P_n(x) բազմանդամ(աստիճանը չի գերազանցում n-ին),որը հանգուցային կետերում ընդում է նույն արժեքը՝ P_n(X_i)= Y_{i , (i=0,1,2,...,n):Պարզվում է,որ այդ պահանջը համարժեք} է հետևյալին՝

, m=0,1,2,…,n (1)

Որոնելի բազմանդամը փնտրվում է հետևյալ կերպ.

,m=1,2,…,n (2)

(3)

=

=

=

Տեղադրենք ,կստանանք՝

= =2 ! , որտեղից՝ , շարունակելով, կստանանք`

՝ , 0!=1,և :Գործակիցները տեղադրելով (3)-ի մեջ.

+...+ ,որին անվանում

են Նյուտոնի առաջին ինտերպոլացիոն բազմանդամ:Գործնական աշխատանքի դոպքում նշանակենք :

Նյուտոնի 2-րդ ինտերպոլացիոն բազմանդամ

Դիցուկ տված y=f(x) ֆունկցիան,որը X_i=x₀+ih հավասարահեռ կետերում ըհդունում է

Y_i = f(x_i) արժեքներ, որտեղ h-ը ինտերպոլացիայի քայլն է: Նյուտոնի 1-ին ինտերպոլացիոն բազմանդամը կատարում էր ինտերպոլացիա x_{0 կետի շրջակայքում:} x_n կետի շրջակայքում օգտագործվում է 2-րդ բազմանդամը:Հետևաբար պահանջվում է ընտրել այնպիսի P_n(x) բազմանդամ(աստիճանը չի գերազանցում n-ին),որը հանգուցային կետերում ընդում է նույն արժեքը՝ P_n(X_i)= Y_{i , (i=0,1,2,...,n):Պարզվում է,որ այդ պահանջը համարժեք} է հետևյալին՝

ΔⁱP_n(x_n-i)= ΔⁱY_n-i (1)

Բազմանդամը կառուցվում է հետևյալ կերպ՝

P_n(x)=a₀+a₁(x- x_n )+a₂(x-x_n)(x-x_n-1)+…+a_n(x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁), (2),որը ընդհանրացված աստիճանով կլինի հետևյալը՝

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)^[1] + a₂(x-x_n-1)^[2] + … + a_n(x-x₁)^[n]

^{Ինչպես նկատում ենք.} X_i հայտնի է, x-ի արժենքը մենք ենք տալիս,մնում է գտնել a_i արժեքները ,,որոնք որոշում ենք, օգտվելով (1) բանաձևից:Այսպիսով՝

P_n(x_n)=a₀=Y_n,կազմում ենք հերթական վերջավոր աճերը և որոշում a_i -ն:

ΔP_n(x)=1*a_1*h+2h*a₂(x-x_n-1)^[1] +…+ nha_n(x-x₁)^[n-1]

ΔP_n(x_n-1)= 1 *a₁h= ΔY_n-1 a₁=

Δ² P_n(x)=1*2*h²*a₂x +…+ n(n-1)h² a_n(x-x_n)^[n-2]

Δ² P_n(x_n-2)=1*2*h²a₂=Δ²Y_n-2 a₁= , … ,a_n=

Տեղադրելով (2)-ի մեջ,կստանանք Նյուտոնի 2-րդ բանաձևը՝

P_n(x)=Y_n + (x-x_n) +….+ (x-x_n)….(x-x₁): Գործնական աշխատանքի համար նշանակենք նմանապես կստացվի

P_n(x)=Y_n + qΔ Y_n-1 + Δ² Y_n-2 +….+ ΔⁿY₀

Ինտերպոլացիայի բազմանդամներ ȳ·ñ³ÝÅÇ ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ µ³½Ù³Ý¹³Ù

ȳµáñ³ïáñ ³ß˳ï³Ýù N 1

¸ÇóáõÏ n=1-Ç ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù »ñÏáõ Ï»ï` x₀ ¨ x₁

Ծրագիրը TP լեզվով

Program Lang1;

Var x0, x1, y0, y1, A, B, X, L : real;

begin Write('x='); read(x);

begin

Write('x0='); read(x0);

Write('Y0='); read(Y0);

Write('x1='); read(x1);

Write('Y1=1); read(Y1)

end;

begin A:=(x-x1) / (x0-x1);

B:=(x-x0)/(x1-x0);

L:=A*Y0+B*Y1;

Writeln('L=', L)

end

end.

Օրինակ, տված է y=f(x) ֆունկցիան, որը xi կետերում ընդունում է yi արժեք (i=0,1) տե’ս աղյուսակը: Հաշվել L1(37)-ը:

x y

35,7 7,62

40,22 12,78

Պատ. L= 9,104

ȳݷñ³ÝÅÇ ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ µ³½Ù³Ý¹³Ù

ȳµáñ³ïáñ ³ß˳ï³Ýù N 2

n=2, i=0,1, 2

program Lang2;

Var x0, y₀, x1, y1, x₂, y₂:real; L, A, B: real; x:real;

begin

writeln; writeln (‘vvedite znachenie’);

read(x0, y₀, x1, y1, x₂, y₂); read(x);

begin A:=(x-x₁) * (x-x₂) /((x₀-x₁)*(x₀-x₂);

B:= (x-x₀) * (x-x₂) /((x₁-x₀)*(x₁-x₂);

C:=(x-x₀) *(x-x₁) /((x₂-x₀)*(x₂-x₁);

L:=A*y₀+B*y₁+C*y₂;

Write('L=',L);

end;

end.

Օրինակ, տված է y=f(x) ֆունկցիան, որը xi կետերում ընդունում է yi արժեք (i=0,1,2) տե’ս աղյուսակը: Հաշվել L(323,5)-ը:

x y

321,0 2,50651

322,8 2,50893

324,2 2,51081

Պատ. L(323,5)=2,5098