Функции у=х^-n, их свойства и графики

  Функции 𝑦=𝑥 -n (𝑛 𝜖 𝑁), их свойства и графики.

•   Изучить свойства и график степенной функции с отрицательным целым показателем.

Постановка учебной задачи:

0. " width="640"

Функции у=x - 1 и у=x - 3 , их свойства и графики

Рассмотрим функцию y=x -1 или .

Свойства функции:

1.D(f): x   

2. E(x)= . При x 0 f (x) 0.

Функции у=x - 1 и у=x - 3 , их свойства и графики

3 . Нечетная.

Докажем это.

Заметим, что область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением ; это симметричное множество.

Далее имеем ,

= , таким образом, , а значит – нечетная функция.

Тогда по свойству нечетной функции, чтобы построить график функции y=x -1 , нужно построить график данной функции на открытом луче (0; +∞), а затем симметрично отразить его от начала координат.

0. Пусть 00. 2 случай: хПусть x 1 " width="640"

Функции у=x - 1 и у=x - 3 , их свойства и графики

4. Убывает на промежутках (–∞; 0) и (0; +∞).

Докажем это.

1 случай : х0.

Пусть 00.

2 случай: х

Пусть x 1

Функции у=x - 1 и у=x - 3 , их свойства и графики

5. Не ограничена ни снизу, ни сверху.

6.  Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7. Непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

8. Выпукла вниз при , выпукла вверх при .

Прямые y = 0 и x = 0 являются её асимптотами (горизонтальной и вертикальной).

y=x -1 или .

, где k≠0, в частности, график функции

• Графики функций вида

называются гиперболами.

Аналогичные свойства имеет функция у=x – 3 или y=

График функции y=x -3 или .

Гипербола часто встречается в природе.

• Вращая гиперболу вокруг каждой из осей, получают два гиперболоида вращения – однополостной и двуполостной.

Функция вида y=, где n – натуральное число, её свойства и график

Рассмотрим функцию y= (где n – натуральное число) или y=.

Свойства функции:

1.D(f): x  (-∞;0)U(0;+∞). 

2. Е(у)=(-∞;0)U(0;+∞).

Функция вида y=, где n – натуральное число, её свойства и график

3. Нечетная.

Докажем это.

Заметим, что область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением ; это симметричное множество.

Далее имеем ,

= = , таким образом, , а значит – нечетная функция.

График данной функции симметричен относительно начала координат.

Функция вида y=, где n – натуральное число, её свойства и график

4. Убывает на промежутках (–∞; 0) и (0; +∞).

5. Не ограничена ни снизу, ни сверху.

6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7. Непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

8. Выпукла вниз при , выпукла вверх при .

Прямые y = 0 и x = 0 являются её асимптотами (горизонтальной и вертикальной).

y=, где n – натуральное число

Во времена второй мировой войны гиперболы применялись для определения местоположения. На двух радиостанция одновременно испускалось два радиосигнала, человек определяющий своё местоположение расчитывал время между приходом каждого из этих дух сигналов, после чего строил на карте две гиперболы. Местом их пересечения и было его дислокация.

Это свойство используется в антеннах Кассегрена

Еще пример зона слышимости звука пролетающего самолета. Если самолет движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует трехмерную поверхность – гиперболоид вращения. 

0. " width="640"

Функции , , их свойства и график

Рассмотрим функцию y= или у=

Свойства функции:

1.D(f): x  (-∞;0)U(0;+∞).

2. Е(f): y0.

Функции , , их свойства и график

3. Четная

Докажем это.

Заметим, что область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением ; это симметричное множество.

Далее имеем ,

= , таким образом, .

Значит (по определению) функция четная.

Тогда по свойству четной функции, чтобы построить график функции y=x -2 , нужно построить график данной функции на открытом луче (0; +∞), а затем симметрично отразить его от оси ординат.

0. Пусть 00. 2 случай : хПусть x 1 " width="640"

Функции , , их свойства и график

4. Убывает на интервале (0;+∞), возрастает на интервале (-∞;0).

Докажем это.

1 случай : х0.

Пусть 00.

2 случай : х

Пусть x 1

5. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7. Непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

8. Выпукла вниз и при , и при .

Прямые y = 0 и x = 0 являются её асимптотами (горизонтальной и вертикальной).

График данной функции относится к видам гипербол.

График функции y= или у=

Аналогичные свойства имеет функция у=x – 4 или

Гипербола используется в физике, на дорогах, в архитектуре

0. " width="640"

Функция вида y=x - 2n , где n, её свойства и график

Рассмотрим функцию y=x - 2n , где n, или

Свойства функции:

1.D(f): x  (-∞;0)U(0;+∞).

2. Е(f): y0.

Функция вида y=x - 2n , где n, её свойства и график

3. Четная.

Докажем это.

Заметим, что область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением ; это симметричное множество.

Далее имеем ,

= , таким образом, .

Значит (по определению) функция четная.

График симметричен относительно оси Оу

Функция вида y=x - 2n , где n, её свойства и график

4. Убывает на интервале (0;+∞), возрастает на интервале (-∞;0).

5. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7. Непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

8. Выпукла вниз и при , и при .

Прямые y = 0 и x = 0 являются её асимптотами (горизонтальной и вертикальной).

Каждая ветвь такой гиперболы проходит соответственно через точки: 

Ответим на следующие вопросы

• Какова была цель урока?
• Достигли ли мы ее?
• Как мы ее достигли?

Домашнее задание

Глава 3, §13. №13.7-13.8 (в, г).

№ 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x -3

а) на отрезке [-3;-1]; 

б) на луче [2; + ∞)

№ 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x -6

а) на отрезке [2;3]; 

б) на луче [2; + ∞)