Функции в задачах с параметром.

Использование свойств функции при решении задач с параметром

Бочкова Татьяна Владиславовна

Учитель математики ГБОУ Республики Марий Эл

«Политехнический лицей-интернат» г. Йошкар-Ола

[email protected]

Аннотация. В работе рассматривается решение задач с параметром, основанное на исследовании свойств функции. Материал может быть полезен учителям математики и обучающимся в процессе подготовки к единому государственному экзамену на профильном уровне. В качестве примеров взяты аналоги задания №18 из экзаменационных вариантов.

Ключевые слова: функция; параметр; монотонность; ограниченность; система уравнений; система неравенств; область значений.

Использование свойств функции при решении задач с параметром.

Задачи с параметром у многих обучающихся вызывают затруднения. Зачастую бывает непонятно, с чего начать, какие приёмы использовать, какую последовательность рассуждений выбрать. Однако, решению и этих задач можно научиться, если составить некоторую классификацию методов и приёмов решения. Одним из таких методов является исследование функции, входящей в состав уравнения или неравенства. Рассмотрим наиболее важные свойства, которые позволят значительно упростить решение задач с параметром.

Монотонность функции.

Полезно вспомнить следующие важные утверждения о монотонности функции:

1. Если функция y=f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x)=c имеет не более одного корня на промежутке I.

2. Если функция f(x) – монотонно возрастает, а функция g(x) – монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня.

3. Строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз. То есть, если f(x)- строго монотонна и f(a) = f(b), то a=b.

Решим несколько задач с использованием этих утверждений.

Пример 1. Найти все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень: 27х⁶ + (3а – 4х)³ + 3х² + 3а = 4х.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде: 27х⁶+3х²=(4х-3а)³+(4х-3а)

Заметим, что и левая, и правая части уравнения представляют собой некоторую функцию f(t) = t³+t. Причём левая часть равенства - это f(a), где а=3х², а правая часть – f(b), где b = 4x-3a. Поскольку f(a) = f(b), то по свойству монотонности следует, что a = b. Имеем: 3х² = 4х-3а. Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если его дискриминант будет неотрицателен. То есть достаточно решить неравенство 4-9а≥0, из которого следует, что а≤4/9.

Ответ: а ≤ 4/9.

Пример 2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень:

Sin¹⁴x + (a -3sinx)⁷ + sin²x + a = 3sin x.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

sin¹⁴x + sin²x = (3sin x – a) + (3sin x – a)

Левая и правая части равенства представляют собой некоторую функцию f(t), при чём, имеет место равенство f(a) = f(b), где а = sin²x, b = 3sin x – a.

По свойству монотонности: a = b, значит, имеем уравнение

sin²x = 3sin x – a, или sin²x – 3sin x + a = 0

Пусть sin x = c, где -1≤ с ≤ 1. Тогда с² -3с + а = 0. Это уравнения имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант неотрицателен. То есть

D = 9 – 4a ≥ 0, откуда a ≤ 9/4.

Заметим, что значение переменной с ограничено, поэтому стоит подробнее рассмотреть квадратичную функцию f(c) = c² – 3c + a. Абсцисса вершины параболы равна с₀ = 1.5 1. Значит отрезку [-1;1] может принадлежать только меньший корень уравнения. Это возможно лишь тогда, когда функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Поэтому моделью данной задачи будет следующая система неравенств:

Заметим, что полученный отрезок полностью удовлетворяет условию а ≤ 9/4. Значит то и есть искомые значения параметра а.

Ответ: -4 ≤ а ≤ 2.

Пример3. Найти все значения параметра а, для каждого из которых любой корень уравнения принадлежит отрезку [1;3]:

Решение.

Для решения введём несколько вспомогательных функций:

Заметим, что функции g(x) и h(x) строго возрастают, поэтому функция f(x) тоже возрастает, как сумма двух возрастающих функций. Кроме того, учитывая область определения логарифма, x 1/3.

Так как функция f(x) строго монотонна, то исходное уравнение имеет не более одного корня. Пусть х₀ – искомый корень и он принадлежит отрезку [1;3] – это удовлетворяет ОДЗ. В силу возрастания функции f(x), это возможно лишь тогда, когда на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков. То есть, необходимо решить следующую систему неравенств:

Ответ:

Ограниченность функции.

Следующую категорию задач тоже вряд ли удастся решить с помощью обычных алгебраических преобразований. Однако, исследование функции на ограниченность и оценка множества значений может привести к верному решению. Напомним несколько верных неравенств, связанных с ограниченностью функции:

Так же могут быть полезны следующие утверждения:

1. Если max f(x)=c и min g(x)=c, то уравнение f(x)=g(x) имеет те же корни, что и система

2. Если max f(x)=c и min g(x)=c, то неравенство f(x) ≥g(x) имеет те же решения что и система

3. Чтобы имело решения неравенство f(x) ≥ g(x) необходимо, чтобы выполнялось неравенство max f(x) ≥ min g(x)/

Пример4. При каких значениях параметра а система уравнений имеет хотя бы одно решение? Укажите эти решения для каждого найденного а.

Решение.

1). Так как y²≥ 0, а 4cos2 x ≤ 4, то а ≤ 4.

2). Так как √y≥0 и z² ≥0, то а ≥ 0.

Из 1) и 2) имеем 0≤ а ≤ 4.

3). Сумма модулей в правой части третьего уравнения неотрицательна, значит, выполняется условие (а – 4)² – 4 ≥ 0 или а(а – 4) ≥ 0. Решением этого неравенства будет объединение промежутков (-∞;0] и [4;+∞).

Учитывая все три условия, имеем: а = 0; 4.

4). Решим систему уравнений при а = 0.

Из второго уравнения следует, что y = 0 и z = 0. Тогда первое уравнение имеет вид: 4 сos 2x = 0, где x = π/4+πn/2.

Третье уравнение при найденном значении х является верным равенством. Значит, при а = 0 решением системы являются следующие решения: х = π/4+πn/2, y = z = 0.

5). Решим систему уравнений при а = 4.

Первое уравнение: 4 + y² = 4 cos 2x.

Так как левая часть равенства не менее 4, а правая часть равенства не превосходит 4, то равенство возможно лишь при y = 0, cos 2x = 1. То есть, х=πn.

Второе уравнение имеет вид: z² = 4, то есть z = -2; 2.

Проверим выполнение третьего уравнения при найденных значениях переменных: если а = 4, y = 0, z = 2, то 4 = 0+0+4 или 4 = 4. Значит, найденные значения являются решениями системы. Если а = 4, y = 0, z = -2, то 4=8+0+4 – это неверное равенство, значит z = -2 не может быть решением.

Имеем: при а = 4, х = πn, y = 0, z = 2.

Ответ: x = π/4+πn/2, y = z = 0, при а = 0

х = πn, y = 0, z = 2, при а = 4.

Пример 2. При каком значении параметра а уравнение имеет хотя бы один корень

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

1). Рассмотрим функцию и её поведение слева и справа от точки х = 2.

Если х2, то при раскрытии модуля, независимо от параметра а, получим линейную функцию с отрицательным угловым коэффициентом k = 2x+2x-5x=-x. Значит, при х 2 функция f(x) убывает.

Если хk = 2x+2x+5x=9x, или k = 2x-2x+5x=5x. Значит, при хf(x) возрастает.

Значит в точке х = 2 функция f(x) принимает наибольшее значение.

2). Рассмотрим функцию g(x) = a² +7^x2-4x+6 + 4 и h(x) = x² -4x +6.

Квадратичная функция h(x) принимает свое наименьшее значение в вершине параболы при х = 2. Тогда, функция g(x) в точке х = 2 так же принимает своё наименьшее значение.

Так как f_наиб(х) = g_наим(х), то х = 2 – корень уравнения.

Найдём, при каком значении а, х=2 удовлетворяет уравнению.

Ответ: -7; 7.

Литература

1. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2019. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко.-М.: МЦНМО, 2019.-288с.