Функция – неотъемлемая часть нашей жизни

Оглавление

1. Введение. ……………………………………………………………...............................2

2. Гипотеза, цели, задачи исследования ………………………………………….………2

3. Актуальность темы, проблема………………………………………………………….3

4. Аннатация……………………………………………………………………………..….4

5. Основная часть(Теория)………………………………………………………………... 5

6. Историческая справка…………………………………………………………….……..6

7. Определение функций…………………………………………………………………..6

8. Способы задания функций…………………………………………………………..…7

9. Виды функций…………………………………………………………………………...7

10. Свойства функций…………………………………………………………………….…7

11. Преобразование графиков функций …………………………………………………...7

12. Функция в заданиях ЕГЭ №12(примеры из профильного уровня )……………..…..8

13. Функция в вузах. Основы высшей математики………………………….…………....9

14. Функция вокруг нас (практическая часть)…………………………………………….9

15. Вывод…………………………………………………………………………………....10

16. Заключение……………………………………………………………………………...10

17. Список литературы…………………………………………………………………......11

18. Интернет источники…………………………………………………………………....12

Приложения

Приложение 1. Буклет.

Приложение 2. Рисунки.

Приложение 3. Фото

Теория без практики мертва или бесплодна,

практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики,

сверх всего того, и умение.

А.Н. Крылов

Введение

Тема исследовательской работы «Функция – неотъемлемая часть нашей жизни» выбрана неслучайно, в дальнейшем я хочу продолжить образование в математическом классе, поэтому дополнительные знания по одной из самых важных тем математики мне пригодятся.

В современном мире функции имеют большое значение, так как позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс, стараясь разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.

Гипотеза:

мы предполагаем, что одним из инструментов описания реального мира является функция. Функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека.

Цели и задачи:

Функциональная линия просматривается в курсе алгебры, начиная с 7 класса. Возникает потребность обобщить, дополнить и систематизировать вопросы, связанные с областью определения функции, множеством значений, четностью и нечетностью функций. Многие задания ЕГЭ требуют аккуратного применения вопросов, связанных с периодичностью функций, их монотонностью, нахождением промежутков убывания и возрастания, точек экстремума и экстремумов функций. К 11 классу накапливается существенный арсенал различных математических функций.

На ЕГЭ появились новые виды заданий, решение которых не возможно без усвоения свойств функций.

Цель – систематизация приемов использования свойств функций при нахождении максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Представить единым целым все вопросы, связанные с применением свойств элементарных функций при решении самых разнообразных математических задач.

Задачи :

овладение системой знаний о свойствах функций;

формирование логического мышления учащихся;

формирование опыта творческой деятельности через исследовательскую деятельность.

формирование навыка работы с научной литературой, использования различных интернет-ресурсов;

подготовка к сдаче ЕГЭ

повысить математическую культуру при рассмотрении темы: « Функция и ее свойства».

Актуальность темы

Функции стали неотъемлемой частью нашей жизни: ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющий понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.

Проблема

На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Аннотация

По курсу «Функция и ее свойства в школьном курсе,

ЕГЭ №12(профильного уровня)11 класс

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Изучение дисциплины «математика» направлена на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;

уметь:

1. вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

2. определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

3. строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

4. использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

В данном разделе рассмотрим следующие темы:

Функции. Область определения и множество значений. График функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции: монотонность (возрастание, убывание), четность, нечетность, ограниченность, периодичность, наибольшее и наименьшее значения функции, точки экстремума, экстремум функции. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция (композиция).

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Определения функций, их свойства и графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Основная часть Тема 1. Способы задания функции. Область ее определения и область значения функции Определение функции, графика функции. Способы задания функций: графический, аналитический, табличный, параметрический, словесный. Область определения функции. Область значения функции. Историческая справка Основная цель – систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», полученные ими в 7-10 классах; рассмотреть способы задания функций; дать историческую справку о введении термина «функция» и «график функции»; рассмотреть примеры на нахождение области определения и множества значений функции.

Тема 2. Основные свойства функций

Наибольшее и наименьшее значение функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Свойство монотонности функций., знаки постоянства функции, нули функции

Тема 3. Подготовка к ЕГЭ

Историческая справка

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Появилась возможность записывать общие формулы.

Само слово «функция» (от латинского functio - совершение,выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году Леонард Эйлер.

Определение функции:

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.). Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции и обозначают D.Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции и обозначают Е.

Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Виды функций

1) Линейная функция

2) Степенная функция

3) Показательная функция

4) Логарифмическая функция

5) Квадратичная функция

6) Тригонометрические функции

7) Обратные тригонометрические функции

Свойства функций

1. Нули функции

2. Промежутки знакопостоянства функции

3. Возрастание (убывание) функции

4. Четность (нечетность) функции

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х² вдоль оси у в |а| раз (при |а|  1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

2.  Параллельный перенос графика функ­ции у = ах² вдоль оси х на |m|  (вправо при m 0 и влево при т 0).

3. Параллельный перенос графика функ­ции  вдоль оси у на |n| (вверх при п 0 и вниз при п 0).

Функция в заданиях ЕГЭ

Во всех вариантах КИМов представлены задания на проверку функиональных представлений. Ставятся вопросы, касающиеся области определения и области значений функций, четности и нечетности, промежутков возрастания и убывания, точек максимума(минимума), наибольших и наименьших значений.

При ответах на указанные вопросы возможно исследование функций:

Элементарными методами и с помощью производной.

Примеры встречающиеся на ЕГЭ под №12 (профильный уровень)

1. Найти наибольшее значение функции f (х) = х + е на отрезке [-1;2]

1. Найти наименьшее значение функции е - 3х на интервале(-1;1))

Решение

1. f(х) = 1 – е = 0

е = 1

х = 0 [-1; 2]

f(-1)= -1 +е = -1 +е = е -1

f(2) = 2 + е = 2 +

f(0) = 1

у = 2 +

у = 1

Решение

1. f (х) = 3е – 3 = 0

е = 1

х =0

f (0) = е - 3*0 = 1

f(х)

f(х)

у = 1

Функция в вузах.

Основы высшей математики: Изучив школьную программу по теме функция мне стало интересно исследовать выше. я начал изучать для себя -Основы высшей математики.

1.Предел функции.

2.Бесконечно- малые функции.

3.Непрерывные функции.

Функция вокруг нас

Математические функции являются одним из основных понятий в различных областях науки и техники.

Математическое понятие функции широко используется в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека; в медицине, в экономике, в быту, в природе, в архитектуре и в технике , в создании сооружений любой высоты.

Вывод

В результате изучения данной темы, я усвоил:

понятие функции; способы задания функции; методы решения более сложных задач, применяя характерные свойства функций (область определения и множества значений функции; четность и нечетность, периодичность функции; свойство монотонности функций) способы построения графиков функций: линейная ф-я, прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность, квадратичная, квадратный корень, модуль, степенная ф-я, показательная ф-я, логарифмическая ф-я, тригонометрическая ф-я, обратно тригонометрическая ф-я.

умею: решать задачи, связанные с областью определения функции, множеством значений, четностью и нечетностью функций. решать задачи на наименьшее и наибольшее значение функции; строить графики функций с использованием свойств функций; исследовать функцию по заданному графику.

Знаю , классификацию функций изучаемых в школьном курсе.

Заключение:

Цель моей работы достигнута и выдвинутая гипотеза о том, что функции – неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду нашла свое подтверждение. В ходе исследовательской работы я открыл для себя много нового и интересного.

В данном проекте изложены теория функции, основные свойства функций, графики, основные понятия и методы. Приведены решения примеров, здесь сделана попытка соединить в краткой форме теоретический и практический материал.

Работая над проектом, я постарался изучить все вопросы, связанные с функцией и с ее применением в математике, в ЕГЭ , в жизни человека и решить все поставленные в начале работы задачи. Изучение функций развивает науку в целом и является двигателем научно- технического прогресса. Таким образом, изучив и проанализировав литературу по истории развития функций, их применения в науке, технике и в окружающем мире, я убедился, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни.

Список литературы:

1. М.И.Башмаков Математика учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования – 5 издание, испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.

2. Ш.А.Алимов Алгебра и начала анализа учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение– 384 с. , 2006

3. А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение– 384 с. , 2007

4. Н.Ш.Кремер Высшая математика для экономистов: учебник для вузов – 2-е изд., М.:ЮНИТИ, 2004. – 471с.

5. Н.В.Богомолов Математика: учебник для ссузов – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 395с.

6. М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, Г.Л.Луканкин, Г.Н.Яковлев Алгебра и начала анализа часть 1. Под редакцией Г.Н.Яковлева – математика для техникумов – М., изд., Наука- 1977 – 336с.

7. О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.Л.Павлов Сборник задач по математике для техникумов – М., Наука – 1987.206с.

8. 1.Математика.10-11 классы. Функции помогают уравнениям: элективный курс / авт.-сост. Ю.В. Лепехин. – Волгоград: Учитель, 2009 . – 187с.

9. 2.ЕГЭ 2012. Математика. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике.

10. Все задания группы В. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В.М.: Экзамен, 2012 - 544

11. 5.Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.

12. 6.Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [ А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2007.

1. Н.Л. Лобоцкая и др. Высшая математика. Мн.1987г.

2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М. 1998г.

3. И.В. Павлушков и соавт. Основы высшей математики и математической статистики. М.2004г.

Интернет-источники:

1. Открытый банк задач ЕГЭ:

2. http://mathege.ru 18.http://alexlarin.net/ege/matem/main.html

19.http://www.fipi.ru/view/sections/226/docs/62720.https://vk.com/ege100ballov,

21.https://www.youtube.com/channel/UCLDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg

22. http://khanacademy.org 

23http://tetradka.ru

24.http://www.formules.ru/ 

25. http://www.diary.ru/~eek/p82538713.htm

26. http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=752

27. http://ege-ok.ru/

Он-лайн тесты:

1. http://uztest.ru/exam?idexam=25

2. http://egeru.ru

3. http://reshuege.ru/

4. http://alexlarin.net/ege/matem/main.html

5. .https://4ege.ru/matematika/57012-internet-resursy-dlya-podgotovki-k-profilnomu-ege-po-matematike.html

6. http://www.berdov.com/

Официальные сайты:

1. http://www.fipi.ru/
   25. http://ege.edu.ru

1