Функция y=cos x и её свойства

Дата: 30.03.2020.

Тема: Функция у=соs x.

Цели: повторить свойства функции y=sin x и ее график; сформировать знания учащихся про функцию y=cos x; изучить свойства функции y=cos x, используя построенный график.

Ход урока

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ.

Мы продолжаем изучать раздел «Тригонометрические функции числового аргумента». На прошлом уроке рассмотрели построение графика функции у=sin x и её свойства. Сегодня наша задача познакомиться с функцией у=соs x используя знания прошлых уроков.

Вспомним необходимую теорию по функции y=sin x. Ответьте устно на вопросы.

1. Какая функция называется четной? Нечетной?

2. Какая функция называется ограниченной?

3. Каковы область определения и область значений функции у=sin x?

4. Каков наименьший положительный период функции?

5. Какие ко­ор­ди­на­ты имеют точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка с осью абсцисс? Осью ординат?

6. Назовите про­ме­жут­ки, на ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, а на которых – отрицательные.

7. Назовите промежутки возрастания и убывания.

8. Назовите точки минимума и максимума функции, а так же максимальное и минимальное значение функции.

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Чтобы построить график функции у=cos х можем использовать таблицу значений и строить график поточечно. А можем использовать уже построенный нами график функции y=sin x и её свойства.

Давайте вспомним формулы приведения, а именно . Гра­фик функции у=cos х (ко­си­ну­соида) – это график функции y=sin x, «сдви­ну­тый» по оси x на   влево (рис.1).

Рис.1

Свойства функции y=cos x:

1) Об­ласть опре­де­ле­ния: xєR.

2) Об­ласть зна­че­ний: yє[-1;1] 

3) Функ­ция чет­ная: cos(-x)=cos(x), xєR, ее график симметричен относительно оси OY.

4) Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од: cos(x+ )=cos x, xєR.

5) Ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния с осью абс­цисс (аргумент х переобозначен через t, x=t):  

6) Ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния с осью ор­ди­нат: (0;1). 

7) Про­ме­жут­ки, на ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния (аргумент x=t):  .

8) Про­ме­жут­ки, на ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния (аргумент x=t):  .

9) Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния (аргумент x=t): .

10) Про­ме­жут­ки убы­ва­ния (аргумент x=t):  .

11) Точки ми­ни­му­ма (аргумент x=t): .

12) Ми­ни­мум функ­ции: -1.

13) Точки мак­си­му­ма (аргумент x=t) : .

14) Мак­си­мум функ­ции: 1.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Для функции y = cos x + 2 найти: а) множество значений функции; б) наибольшее (наименьшее) значения; в) нули функции; г) промежутки положительных (отрицательных) значений.

Решение:

а) E(f): т.к. – 1 £ cos x £ 1, то –1+2 £ cos x + 2 £ 1+2 Þ 1 £ cos x + 2 £ 3, т.е. y Î [1; 3].

б) y_max = 3, при: x = 2pn, n Î Z (т.к. cos x + 2 = 3 Þ cos x = 1 Þ x = 2pn, n ÎZ).

y_min= 1, при: x = p + 2pn, n ÎZ (т.к. cos x + 2 = 1 Þ cos x = - 1 Þ x = p + 2pn, n Î Z).

в) Нули функции: cos x + 2 = 0 Þ cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2| 1 Þ график данной функции не пересекает ось абсцисс.

г) f (x) 0: при любом значении х.

f (x) y Î [1; 3].

Пример 2. Сравнить числа и .

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Как построить график функции y = cos x и какие её свойства изучили?

Домашнее задание: №10.15(а, б); №10.16(в, г).