Гармонические колебания. Метод аналогий при решении задач.

10

Гармонические колебания.

Метод аналогий при решении задач.

Общеизвестно, что «с точки зрения» математики все гармонические колебания одинаковы, так как описываются одними и теми же уравнениями. Например, выражение х = х_m(cos wt + j₀) в механике может описывать изменение со временем координаты, в электромагнетизме – заряда, силы тока или напряжения. Это позволяет решать некоторые сложные задачи путём их переформулирования, приводящего к другим, более легким.

После того, как вышел в свет учебник физики под редакцией А.А. Пинского для выпускного класса, где кратко описывается аналогия электромагнитных и механических колебаний, данная методика сразу была взята автором на вооружение и уже без малого десять лет используется на уроках. Результаты – превосходные. В этой работе приводятся примеры решения некоторых задач, использованных на уроках, контрольных работах и олимпиадах.

Для быстрого нахождения аналогий в колебаниях запишем закон сохранения энергии при незатухающих колебаниях груза на пружине и в колебательном контуре:

m L

= const v I

= const x q

k

x^’’=v^’=a q^’’=I^’

mv=P LI=F

ma=F LI^’=e=êj=F^’

= =

m₁+m₂+…+m_n L₁+L₂+…+L_m

k₁+k₂+…+k_n + +…+

+ +…+ С₁+С₂+…+С_n

и т.д.

Используя эти аналогии, можно получать и формулы. Например, , где – волновое сопротивление контура. Соответственно в механике будем иметь: и т.д.

Можно также найти соответствие между следующими схемами:

k m

C L

m₁ m2

k ₁ k₂

c₁ c₂ L₁ L₂

c₁ L₁

k₁ k₂ m₂

c₂ L₂ m₁

и т.д.

Перейдем к задачам.

Задача1.

Определите период незатухающих колебаний грузов массами m₁и m₂, соединенных пружиной, жесткостью k.Трение отсутствует.

m ₁ k m₂

Решение 1.

Свяжем систему отсчета с центром масс тел, тогда он – неподвижен. Как следует из закона сохранения импульса, периоды колебаний обоих тел должны быть одинаковы, и задача сводится к нахождению периода колебаний одного из тел, например массой m₁,прикрепленного более короткой пружиной к центру масс:

m ₁

k₁

Найдем жесткость k₁. Вся пружина представляет собой две, жесткостью k₁ и k₂, соединенные последовательно, следовательно

₁= ₂=

Решение 2.

Перейдем от механических к электромагнитным колебаниям:

C L₁ L₂

, что в задаче соответствует записи

Задача 2.

В колебательном контуре совершаются незатухающие колебания. В момент, когда на конденсаторе с заряд достигает максимального значения q_m, ключ к замыкают. Найдите новый период колебаний и максимальное напряжение на конденсаторе 2с.

2 C

K

C

L

Решение 1.

После замыкания ключа конденсаторы практически мгновенно перезаряжаются. При этом закон сохранения энергии электростатического поля не выполняется, что можно доказать, использовав закон сохранения заряда: q_m=q_m1+q_m2

Начальная энергия электрического поля:

W₀= ; q_m=q_m1+q_m2; q_m1=cu_m1, q_m2=2cu_m2

Так как конденсаторы соединены параллельно, то

u_m1= u_m2; q_m= cu_m1+2cu_m1 u_m1=

Энергия электрического поля сразу после замыкания ключа:

W₁ + W₂=

что в три раза меньше начальной энергии. Две трети ушло с электромагнитным излучением, так как электроны при перезарядке двигались с огромным ускорением.

Итак, максимальное напряжение на конденсаторе 2с равно: u_m2=

Новый период колебаний:

Сложности, возникающие ввиду того, что закон сохранения энергии электростатического поля не выполняется, что может привести к ошибке в решении, пропадают, если от электромагнитной системы перейти к механической.

Решение 2.

Перейдем от электромагнитных к механическим колебаниям:

А

k /2 k m

B

Пружина k максимально сжата (или растянута).После удаления перегородки АВ обе пружины практически мгновенно деформируются и только затем начинают действовать на груз m: , но очевидно, что , так как и .

Поэтому , что соответствует в задаче записи: и новый период колебаний:

, что в задаче соответствует записи: T=2p

Задача 3.

Тело массы m совершает незатухающие колебания под действием максимальной силы F_m. В момент когда обе пружины полностью сжаты, точку О соединения пружин фиксируют. Найдите скорость тела через нового периода колебаний.

k /2 k m

O

Решение 1.

На тело действует лишь пружина жесткостью k. Поэтому максимальная сила F_m=kx_m действует в момент полного сжатия обеих пружин и x_m – деформация пружины, прикрепленной к телу. В этот момент скорость тела равна нулю. Очевидно, что через нового периода колебаний тело будет находиться в положении равновесия и значит иметь максимальную скорость. Воспользуемся законом сохранения энергии:

При переходе от механических к электромагнитным колебаниям решение становится настолько очевидным, что всякие рассуждения просто бессмысленны.

Решение 2.

2 C

C K

L

,что в задаче соответствует записи

Задача 4.

Все тела – одной массы m, пружины – одинаковой жесткости k. Левая пружина сжата силой F и связана нитью. Найдите максимальную скорость первого тела после пережигания нити. Трение отсутствует.

m k 3 m

k

1 2 m

k

После пережигания нити все три пружины практически мгновенно окажутся деформированными и лишь затем начнут действовать на тела. Эквивалентная жесткость пружин определяется из формулы:

Новая сила упругости, действующая на тела со стороны пружин в первый момент равна: , где - суммарная деформация всех пружин. Очевидно, что она равна начальной деформации левой пружины, то есть и .

Согласно закону сохранения импульса, первое тело будет совершать колебания относительно центра масс под действием пружины некоторой жесткости . Так как частоты колебаний тел 1 и 2+3 – одинаковы, то:

и

.

Запишем закон сохранения энергии, используя соотношение: и, принимая во внимание, что и

Решение оказывается проще при переходе от механических к электромагнитным колебаниям.

Решение 2.

K C 2 L

1 L

U, C C 3 L

Надо найти максимальный ток через катушку 1 после замыкания ключа К. Очевидно, что этот ток равен от общего тока через все катушки, так как ток обратно пропорционален сопротивлению , которое в свою очередь пропорционально индуктивности:

найдем из закона сохранения заряда:

И окончательно имеем: , что в задаче соответствует записи:

.

Задача 5.

В колебательном контуре происходят незатухающие колебания. Когда сила тока в катушке 1 достигает максимального значения , в неё быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют сердечник, что приводит к увеличению её индуктивности в раз. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после вставки сердечника.

C

L₁ L₂

Решение осложняется тем, что неясно, будет ли работать закон сохранения энергии магнитного поля или нет. Однако как следует из аналогии электромагнитных и механических колебаний, в которых закон сохранения импульса выполняется всегда, в электромагнитной системе должен выполняться следующий закон сохранения: или ,то есть имеет место закон сохранения магнитного потока.

Решение 1.

,где – новый максимальный ток через катушки по закону сохранения энергии после того как сердечник вставлен в катушку:

или

Решение 2.

m₁

k

m₂

При переходе в механическую систему в момент, когда грузы имеют максимальную скорость , на груз массы ставят без начальной скорости перегрузок , такой массы, что их суммарная масса увеличивается в раз: + = , что соответствует неупругому удару. Следовательно, закон сохранения механической энергии не выполняется! По закону сохранения импульса:

.

И по закону сохранения энергии после того, как груз поставлен:

,

что в задаче соответствует записи:

Задача 6.

Цепь первоначально разомкнута и конденсатор С₁ заряжен до напряжения U₁, а конденсатор С₂ остается незаряженным. Определите максимальную величину силы тока в цепи после замыкания ключа К.

L

U_1,C₁ C₂ K

Решение данной задачи с использованием законов сохранения заряда и энергии займет более страницы. Поэтому попробуем ее решить двумя простыми способами, каждый из которых основывается на переходе в механическую систему.

Решение 1.

П ерейдем в механическую систему.

k₁ m

k₂

Одна из параллельно соединенных пружин сжата и связана нитью. После разрезания нити тело начинает совершать колебания. Очевидно, что максимальная сила, которая будет действовать на тело, равна силе упругости, с которой была первоначально сжата пружина жесткостью k_1.

Тогда по второму закону Ньютона

,но и

,

что в задаче соответствует записи:

Решение 2.

При рассмотрении механической модели легко выясняется, что F_m=F₁,а значит U_m после замыкания ключа в электромагнитной схеме равно U₁. тогда

Задача 7.

Одна из пружин жесткостью k сжата силой F и связана нитью. Каков будет период колебаний грузов и какова их максимальная скорость после разрезания нити.

m k k 2m

k/2

Приводить решение этой задачи без перехода в электромагнитную систему просто не имеет смысла, так как оно слишком громоздко. Поэтому сразу перейдем к электромагнитной системе.

Решение.

C

,

что в задаче соответствует записи:

Максимальный ток через катушки найдем по закону сохранения заряда и энергии после замыкания ключа К:

Точки в катушках будут делиться обратно пропорционально их индуктивности и значит

,

что в задаче соответствует записи:

Метод аналогий может быть использован не только в колебаниях, но и при решении других физических проблем. Например, возможно введение силовой и энергетической характеристики любого потенциального поля, такого, скажем, как поле сил инерции. Тогда сложные задачи, в которых используют центробежные силы или силы Кориолиса, сводятся к простым, решаемым с помощью закона сохранения энергии.