Геометрическая прогрессия

МБОУ Городищенская СОШ

Погарского района Брянской области

Урок по алгебре в 9 классе по теме

«Геометрическая прогрессия»

Учитель: Гороховик Галина Фёдоровна

2018 г.

Тема урока: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: усвоить понятие геометрической прогрессии, вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии, применить на практике полученные знания.

Задачи урока:

Образовательные:

-расширить и углубить знания о числовых последовательностях;

-ввести определение геометрической прогрессии и вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;

-ознакомить с понятиями возрастающей, убывающей и конечной геометрической прогрессии;

-показать практическое применение понятия геометрической прогрессии и формулы n-го члена при решении задач.

Развивающие:

-развить аналитическое и логическое мышление;

-развивать зрительную память и произвольное внимание;

-развивать интеллектуальные умения: сравнивать, делать выводы, выявлять закономерности, анализировать.

Воспитательные:

воспитывать

-правильную самооценку;

-культуру общения;

-ответственность;

-аккуратность;

-взаимопомощь.

Содержание урока:

Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. 
3. Повторение.
4. Устные упражнения. 
5. Проблемная ситуация.
6. Формулировка темы и целей урока.
7. Историческая справка.
8. Объяснение нового материала.
9. Закрепление.
10. Возвращение к проблемной ситуации.

11.Обобщение.

12. Подведение итогов.
13. Домашнее задание.

Конспект урока

1. Оргмомент.

Притча:

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал её между сомкнутых ладоней и подумал: «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мёртвая? Если он ответит, что мёртвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет – живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил её между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка – живая или мёртвая?» Но мудрец ответил: «Всё в твоих руках».Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца «Всё в твоих руках» и пусть эти слова будут девизом нашего урока.

2.Проверка домашнего задания 

Над какой темой мы работали на прошедших уроках?

3. Повторение (устный опрос по вопросам)

1) Какая числовая последовательность называется  арифметической прогрессией?
2) Как найти разность арифметической прогрессии?
3) Как может быть задана арифметическая  прогрессия? 
4) Назовите формулу n-го члена.
5) Назовите формулу суммы n первых членов   арифметической прогрессии.
6) Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

4. Устные задания

1) Является ли последовательность чисел арифметической прогрессией? Если да, то назовите её разность.
– 4; 0; 4; 8; …
2) Зная первые два члена арифметической прогрессии, назовите следующие  за ними два члена.
–1; 3; …; 
3) (а_n) – арифметическая прогрессия, а₁ = 5, d = 2.
Найти   а₆, а₂₁.
4) (а_n) – арифметическая прогрессия, а₂  = 12; а₃ = 20.
Найти а₁, а₄. и d.
5) Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 16 и 64.
6) (а_n) – арифметическая прогрессия, а₆ = 8, а₈ = 14.
Найти а₇.
7) (а_n) – арифметическая прогрессия, a₁ = – 6; а₆ = 18.
Найти S₆.
8) Арифметическая прогрессия задана формулой а_n = 2n – 1.
Найти S₁₀.

9) Вместо ? вставьте такое число, чтобы последовательность являлась АП

5. Проблемная ситуация

Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 % , а в другом ежемесячно на 1 %.В какой банк выгоднее положить деньги?
(Учащиеся предлагают следующее решение)

Решение:

1. 10 000 * 1,14 = 11 400 р. –  в первом банке
2. 10 000 * 1,01  = 10 100 р. – через месяц
10 100 * 1,01 = 10 201 р. – через два месяца
10 201 * 1,01 = 10 303р. – через три месяца
10 303 * 1,01 = 10 406 р. – через четыре    и т.д.

Вопрос: Как более рационально решить? Есть ли какая закономерность в последовательности этих чисел?

10 100; 10 201; 10 303; 10 406 и т. д.

Учащиеся замечают, что каждый последующий член в 1,01 раз больше предыдущего и делают вывод о существовании ещё одного вида прогрессии.

6. Формулируется тема урока  и цели

Дети сами формулируют цели урока:

– Сформулировать определение геометрической прогрессии;
– Знать формулу n-ого члена;
– Уметь применять теоретический материал при решении задач;

Вопрос: В чем отличие геометрической прогрессии от арифметической?
Определение: Геометрической прогрессией последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: Является ли данная последовательность чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 6;  ...? 
4; 0; 0; 0; …?

Ответ: нет.

Вопрос: Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться?

Определение: Геометрической прогрессией последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. q-знаменатель ГП.

Далее один ученик читает вслух определение по учебнику и делается сравнение (всё точно)

Учитель: Как давно людям известны прогрессии, кто их открыл и почему они так называются, вы узнаете из сообщения ученицы.

7. Историческая справка (сообщение ученика)

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Вероятно, первая ситуация, в  которой людям пришлось с ними встречаться – подсчёт численности стада, проведённый несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных событий, количество новорождённых и умерших животных пропорционально числу всех животных в стаде. Значит, если за какой-то период времени количество овец увеличилось с 10 до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастет вдвое и станет равно 40. Название геометрическая прогрессия» объясняется тем, что последовательности такого рода легко могут возникнуть в геометрических построениях. Например, если начертить серию равносторонних треугольников так, чтобы вершины каждого следующего треугольника лежали на серединах сторон предыдущего , то площадь треугольника будет каждый раз уменьшаться вчетверо.

8. Объяснение нового материала 

b1= b, bn = bn-1 q (n=2,3,4,…) b≠0, q≠0

q – знаменатель 

b1; b2; b3; … ; bn; …
Пример1 1,4,16, 64…

Пример2 5, -1, 1/5, - 1/25, 1/125…

Пример 3 7,7,7,…

ГП яв-ся возрастающей, если b1≥0 и q≥1

ГП яв-ся убывающей, если b1≥0 и 0≤ q ≤1.

Приведите примеры.

Формула n-ого члена ГП.

Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

b2 = b1 * q
b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1 * q²
b4 = b3 * q = (b1 * q²) * q = b1 * q³
bn = b1 * q ^n-1  Формула  n-ого члена

9. Закрепление  материала

Устно: задание 1,2,3, задание 4,5,6  с записью на доске и в тетради.

1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией?

а) –3; 3; – 3; 3;…
б) 0; 2; 4; 8; …
в) 3; 6; 9; 12; … 
г) 2; 0; 0; 0; 0; …
д) 3; 6; 12; 24; …

2. Дана геометрическая прогрессия.

3; 12; 48; …

Найти q и назовите следующий член.

3. (b_n) – геометрическая прогрессия.

b4 = 20; q = 5.

Найти b3 ; b5.

Задача 1.

Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 6 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;243…)

Ответ: 243 бактерии

Задача 2.

Человек, заболевший гриппом ежедневно заражает четырех человек. Через сколько дней заболеет всё население посёлка в количестве 341 человека?

(Решение: 1; 4; 16;  64; 256
Итого: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
Ответ: на пятый день)

№17.1(а,б), №17.8(а,б), №17.10 (а,б)

10. Возвращение к проблемной ситуации (зная формулу, дети могут быстро решить задачу про банк)
Необходимо положить в банк на один год 10 000 рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 14 %, а в другом  ежемесячно на 1 %. В какой банк выгоднее положить деньги?

Решение (записывается в тетради):

1) 10 000 * 1,14 = 11 400 руб.
2) 10 000 * 1,01¹² = 11 268 руб.

Ответ: выгоднее положить деньги в первый банк.

11. Обобщение .Вопросы:

1. С каким новым понятием мы сегодня познакомились?
2. Дать определение геометрической прогрессии, назовите отличие от арифметической.
3. Что называется знаменателем прогрессии?
4. Как он находится?
5.Назовите формулу n-го члена..

12. Подведение итогов

1. Выставление оценок.
2. Рефлексия.

1) Что вызвало затруднение сегодня на урок?
2) Чем запомнится сегодняшний урок?
3) Что полезного для себя вы взяли с сегодняшнего урока?

Итог: Проведя  сегодня на уроке учебное исследование, мы не сделали открытие для науки, т. к. оказалось, что прогрессия была известна ещё в древности, но сделали его для себя. И я надеюсь, что знания, полученные сегодня на уроке, вам обязательно пригодятся в дальнейшей жизни. 
Желаю, чтобы вы  выбрали такую профессию, за которую платили столько, чтобы вам пришлось столкнуться с проблемой:  в какой банк выгоднее  вложить  деньги и под какие проценты?

13. Домашнее задание : П17, №17.2, №17.6, №17.11