Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Свойство геометрической прогрессии.

Урок № 88-89 Класс 9-Ж,В,Б Дата 21,02.23 Шевель И.А.

Тема: Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Свойство геометрической прогрессии.

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:

Образовательные:

- выделить из множества числовых последовательностей геометрическую прогрессию;

- дать чёткое определение геометрической прогрессии;

- вывести формулу n-го члена прогрессии;

- описать характеристическое свойство геометрической прогрессии;

- на примерах осуществить первичную отработку применения формулы n-го члена геометрической прогрессии.

Воспитательные и развивающие:

- развивать логическое и аналитическое мышление;

- память;

- развитие и осмысление использования в речи математических терминов при ответах на вопросы теории алгебры.

Цель урока: изучить теорию по теме «геометрическая прогрессия. Формула n – го члена геометрической прогрессии»; выработать навыки решения основных типов заданий на нахождение n – го члена геометрической прогрессии; формировать умение находить п-й член последовательности по заданной формуле.

Планируемые результаты: понимать смысл понятие числовой последовательности;  умение использовать индексные обозначения и строить речевые высказывания; умение устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько её новых членов; - умение изображать члены последовательности точками на координатной плоскости; - использовать различные языки математики (словесный, аналитический, графический, рекуррентный)

Личностные УУД: умение устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом; умение развивать интеллектуальные способности, логическое мышление в процессе решения задач, сравнивать, выявлять закономерности, обобщать; формирование ценностных отношений друг к другу,  учителю, результатам обучения. Метапредметные: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; оценивать правильность выполнения действия; умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; Предметные: умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера. Уметь находить любой член арифметическо последовательности. Уметь вычислять разность арифметической прогрессии. Уметь применять свойство арифметической последовательности.; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений.

Оборудование: доска, раздаточный материал; ноутбук; проектор.

Структура урока:

Этап 1. Вступительное слово учителя, постановка целей,

объявление тематики урока - 2 мин.

Этап 2. Актуализация знаний, устная работа - 5 мин.

Этап 3. Объяснение нового материала - 8 мин.

Этап 4. Первичное закрепление - 8 мин.

Этап 5. Работа в группах - 6 мин

Этап 6. Решение задач по новой теме - 8 мин.

Этап 7. Выполнение теста «Как понял ты новый - 5 мин.

материал»

Этап 8. Обобщение изученного, постановка домашнего задания,

выставление оценок - 3 мин.

Методы и приёмы преподавания:

- фронтальная беседа;

- сообщение;

- тестирование;

- экспресс-опрос;

- упражнения - демонстрация;

Ход урока

I.Организационный момент

Ребята, предыдущий урок алгебры был посвящен теме «АП». Из всех числовых последовательностей особо выделяют две. Их назвали прогрессиями. АП изучили, сегодня поговорим о ГП

II.Устная работа

Вспомнить формулы АП

Свойство АП

Тест по АП на раздаточном

III.Объяснение нового материала

ВИДЕОРОЛИК

Какие последовательности образованы с помощью одного и того же правила? (Учащиеся пытаются сформулировать определения самостоятельно)

Определение:

Числовая последовательность, каждый член которой отличен от нуля, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. B_n+1=b_n*q

Слово прогрессия в переводе с латинского означает «движение вперед».

Число, которое умножается на каждый член прогрессии, чтобы найти последующий член называется знаменателем геометрической прогрессии

q = a_n+1 / a_n

d может быть любым числом кроме 0; если d=1, то все члены равны; если |d|

Чтобы однозначно задать ГП достаточно задать:

1 пособ: 2; 10; (два члена её); 2 способ: а₁ = 2; d = 2;

Вспомним, как называется формула для нахождения любого члена числовой последовательность которого используется предыдущим члены (или члена)

-рекуррентная формула

Т. е. найти любой член ГП можно с помощью рекуррентной формулы

a_n+1 = a_{n *}q

Найдите 4-е члена ГП: (a_n) a₁ = 2; q = 3

А что если нужно найти 31- й или 101 –й член прогрессии?

Понятно, что выше использованный способ нахождения любого (в том числе с большим порядковым номером) члена ГП неудобен из-за значительных вычислений.

Попробуем вывести формулу n-ого члена прогрессии.

Рассмотрим ГП (a_n), в которой a₁ -1-ый член, q - знаменатель.

По определению ГП:

a₂ = a_{1 *}q

a₃ = a_{2 *}q = a_{1 *}q*q = a_{1 *}q²

a₄ = a_3*q = a_{1 *}q²_*q= a_{1 *}q³

А нет ли какой-то связи между порядковым номером числа прогрессии и числа степени q.

Есть: она на 1 меньше.

Тогда a_n = a₁ *q^n-1

Это и есть формула n-ого члена арифметической прогрессии.

Вспомним, как на плоскости выглядела АП? Прямая

А теперь давайте построим ГП

b_n=(b_1/q)*qⁿ т.е.y=c*a^x это показательная или экспоненциальная функция

Говорят о линейном росте членов АП и об экспоненциальном росте членов ГП

Свойство ГП: квадрат любого члена ГП , начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

Верно и обратно: если в последовательности отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то это ГП.

Поэтому модуль = корню квадратному из произведения предыдущего и последующего членов.

IV. Первичное закрепление

№623-624(а), 625(а = ¼), 627(а =1458), 628(а =3/64), 630(а = 1/81), 631(а = +-3)

V. Работа в группах №634 (=6, 18 ,54 или -6, 18, -54)

VI. Решение задач по новой теме Применение изученного №637 (b₆=66254)

VIII. Рефлексия. Итог. Постановка домашнего задания Что же сегодня мы узнали?

Домашнее задание: п. 27-выучить определение и формулы, № 623-625(б), 626 , 627-628(б),630-631(б), 639 по желанию №629

Учитель оценивает учащихся, отвечающих у доски и активно с места.