Геометрический и физический смысл производной

Геометрический и физический смысл производной.

1) Мотивация изучения нового материала. Рассказ преподавателя (ознакомиться).

Источником понятия производной стали, как известно, две задачи, которые рассматривали известный ученый И.Ньютон и немецкий математик Г.Лейбниц (Приложение А):

1) нахождение скорости при произвольном законе движения,

2) нахождение касательной к произвольной линии.

Решение этих задач привело к одной и той же вычислительной задаче, которая легла в основу дифференциального исчисления, благодаря которой определен основной принцип дифференциального исчисления и возникло понятие производной, представляющей собой скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Выводы и формулы, полученные во время решения этих вопросов также имеют широкое применение в физике, механике и геометрии.

2) Сообщение темы, цели, заданий занятия. Рассказ преподавателя (ознакомиться).

Сегодня в теме «Приложения производной» мы имеем возможность, воспользовавшись наследием И.Ньютона и Г.Лейбница и вашими знаниями о производной, рассмотреть и решить одну из этих двух проблемных задач, расширить наши знания о производной и ее приложении, развить практические умения и навыки решения разнообразных задач с помощью полученных выводов и формул.

3) Сообщение этапов занятия. Рассказ преподавателя (ознакомиться).

Для этого нам необходимо определить уровень и глубину теоретических знаний во время устного фронтального опроса, закрепить необходимые практические умения и навыки вычисления производных во время индивидуального опроса у доски, рассмотреть и осмыслить проблемную задачу, которая привела к приложению производной в физике, усвоить геометрическое приложение производной, закрепить полученные знания во время решения задач и моделирования решения задач.

4) Актуализация опорных знаний обучающихся. Необходимо ответить на вопросы (вопросы и ответы записать в конспект).

Вопрос 1. Дайте определение производной функции в точке.

Вопрос 2. Как обозначается производная функции?

Вопрос 3. Как называется процесс вычисления производной?

Вопрос 4. Когда функция дифференцируема на интервале?

Вопрос 5. Назовите производные некоторых элементарных функций: y = tg x, y = , y = arcsin x?

Вопрос 6. Какие правила дифференцирования существуют?

Вопрос 7. По какому алгоритму вычисляются производные элементарных функций в точке?

Вопрос 8. Назовите производные функций у =3 , у = 2 ; у = 5е^х ; у = 2 tgx.

Вопрос 9. Какая функция называется сложной?

Вопрос 10. Исправьте ошибки в вычислении производной функции:

у= sin 3х , у= 2^{4х ,} у= ,

= cos 3x, = 4+2^4x ln2 , = .

Вопрос 11. Какая функция называется неявной?

Вопрос 12. Какая функция задана параметрически?

Вопрос 13. Закончите решение:

х³+у²=0,

3х²+2у =0, _t= 5,

2у = -3х², _t=5,

= = .

Вопрос 14. Как найти производную второго, третьего, n – го порядка?

Вопрос 15. Найдите вторую производную функции у = 10х, у = 3 sinх.

5) Актуализация опорных умений и навыков. Осмысление и закрепление необходимых для изучения нового материала практических умений и навыков вычисления производных элементарных функций в точке (записать в конспект).

Задача 1. Решить самостоятельно.

Вычислить производную функции у(х)= -5х⁷+4х⁶-2х³+5х²-6х+1 в точке х₀= -1.

6) Изучение нового материала. Примеры и моделирование решения задач (записать в конспект план занятия, физический и геометрический смыслы производной, уравнения касательной и нормали, все решенные и смоделированные задачи).

В рамках темы "Производная на основании механического и геометрического смыслов" мы детально рассмотрим проблемную задачу, которая привела к физическому смыслу производной, закрепим полученные формулы, решая прямую и обратную физическую задачу, моделируя решение разнообразных физических задач, по аналогии определим геометрический смысл производной и используя уравнения касательной и нормали закрепим геометрический смысл производной.

Итак, рассмотрим новый материал по плану:

1. Физическое приложение производной. Примеры.

2. Геометрическое приложение производной. Примеры.

Для рассмотрения первого вопроса нам необходимо вспомнить некоторые физические величины и определить закон движения. Из физики нам известно, что

t – время, которое измеряется в с,

S – длина пути, которая измеряется в м,

V – скорость движения, которая измеряется в м/с,

а – ускорение движения, которе измеряется в м/с².

Закон движения – это зависимость пути S от времени t, то есть S=f(t).

Нам необходимо решить задачу, которая формулируется так: найти скорость тела, которое движется по закону S=f(t) в момент времени t.

Будем считать, что расстояние S и время t – физические величины, которые можно измерять.

Пусть за время от t до t+Δt тело прошло путь S+ΔS=f(t+Δt).

Тогда ΔS=f(t+Δt)-f(t)

Средняя скорость тела, которое движется вдоль некоторой линии, определяется по формуле

V_сер =

Чтобы найти мгновенную скорость такого тела, необходимо перейти к границе отношения при Δt→0:

V = lim = lim =

Таким образом, мы решили нашу задачу и получили физический смысл производной: скоростью тела, которое движется по закону S=f(t), называется производная первого порядка от закона движения за время t. Имеем, V(t) = S^I(t).

Продолжая, имеем: ускорением движения тела, которое движется по закону S=f(t), называется производная второго порядка от закона движения за время t.

Имеем, а(t) = S^II(t) = V^I(t).

Рассмотрим прямую стандартную задачу на применение физического смысла производной.

Задача 1. Найти скорость тела и его ускорение в момент времени t = 2с, если тело движется по закону

S (t) = 4t³ - 6t² + t. Применим полученные формулы:

V(t) = S^I(t) = 12t² – 12t +1,

a(t) = V^I(t) = 24t -12,

Если t =2c, имеем:

V(2) = 48 – 24 + 1=25(м/с),

а(2) = 48 – 12 = 36 (м/с²).

Продолжая рассмотрение этого вопроса, будем моделировать разнообразные физические задачи и алгоритмы их решения при помощи физического смысла производной.

Для рассмотренной прямой задачи существует и обратная.

Задача 2. Найти момент времени t, когда тело, которое движется по закону S(t), будет иметь скорость (ускорение) V м/с (а м/с²).

Для решения этой задачи необходимо найти закон скорости V (t) (закон ускорения а(t)) и решить уравнение V (t) = V ( а (t) = а).

Перед моделированием других задач проанализируем некоторые условия движения. Если тело останавливается, то V = 0 м/с. Если два тела движутся по законам S₁ (t) та S₂ (t), то их скорости будут равны при V₁(t) = V₂(t).

Сформулируем условие другой задачи.

Задача 3. Найти момент времени t, когда тело, которое движется по закону S(t), остановится. Для решения этой задачи необходимо найти V (t) и решить уравнение V (t) = 0.

Сформулируем условие четвертой возможной задачи на движение.

Задача 4. Найти момент времени, когда скорости тел, которые движутся по законам S₁ (t) та S₂ (t), будут равны. Для решения этой задачи необходимо найти V₁(t) и V₂(t) и решить уравнение V₁(t) = V₂(t).

Таким образом, мы не только рассмотрели задачу, которая привела к физическому смыслу производной, но и, благодаря методам научного познания, смоделировали различные физические задачи и алгоритмы их решения.

Сформулируем геометрический смысл производной по аналогии с физическим смыслом производной и рассмотрим его практическое применение. Геометрический смысл производной: значение производной функции у=f(x) в точке х₀ равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции у=f(x) в точке (х_0; f(x₀)) и положительным направлением оси ОХ. То есть, имеем

f ′(x₀) = tg φ= k, где k – угловой коэффициент.

Рассмотрим прямую задачу на применение геометрического смысла производной.

Задача 1.

Найти тангенс угла наклона касательной к кривой f(x) = х² в точке М₀(-2; 4).

Используя формулу геометрического смысла производной, имеем:

f^І(x) = 2x,

f^І(x₀) = f^І(-2) = -4,

Итак, tg φ= -4.

С помощью геометрического смысла производной и уравнения прямой с угловым коэффициентом были получены уравнения касательной и нормали к графику функции у=f(x) в точке М₀(х₀;у₀):

у-у(х₀) = у^І(x₀) (x-x₀) и у-у(х₀) = - (x-x₀).

Воспользуемся этими формулами для решения задач на составление уравнений касательной и нормали.

Задача 2. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой у=х³ в точке М (1;1)

Проанализируем условие задачи. Имеем у=х³, х₀=1, у₀= у(х₀) = 1.

y^I(x) = 3х²

y^I(x₀) = y^I(1) = 3.

Составим уравнения касательной и нормали по формулам

у-у(х₀) = у^І(x₀) (x-x₀), у-у(х₀) = - (x-x₀),

у – 1 = 3 (х-1), у – 1 = - (х-1),

3х – у -2 =0. 3у + х -4 =0.

7) Закрепление изученного материала (записать в конспект).

Только самостоятельное решение задания может показать качество и глубину полученных знаний, умений и навыков. Для этого вам необходимо самостоятельно проанализировать условие задачи, обдумать алгоритм решения и решить ее в течении 5 минут.

Задача 1. Решить самостоятельно.

Составьте уравнение касательной к кривой, если соответствующее уравнение нормали имеет вид у-2= - (х - 1).

8) Домашнее задание: изучить и составить конспект, следуя указаниям, решить задачу

№1.

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Приложение А

Основные теоретические положения

Механическое приложение производной.

Пусть материальная точка движется равномерно и прямолинейно. Это означает, что за каждую единицу времени она проходит одинаковое расстояние, которое называют скоростью этого движения.

Закон равномерного движения (зависимость расстояния S от времени t) выражается линейной функцией

S = v t + S₀ , (1)

графиком которой является прямая.

Верным будет и обратное утверждение, а именно: любая линейная функция (1), где v и Sо - постоянные величины, выражает закон прямолинейного равномерного движения. Действительно, найдем расстояние, которое прошла материальная точка за время t₁ и t_г = t₁ + Δ t (Δ t 0- приращение). Из равенства (1)

Δ S = S₂ - S₁= (v t_г + S₀) - (v t₁+ S₀) = v(t_г - t₁) = vΔt

Откуда

(2)

Равенство (2) означает, что отношение пройденного пути к промежутку времени, за который материальная точка прошла этот путь, является величиной постоянной.

Кроме того, - средняя скорость v_с . Значит, для равномерного движения средняя скорость v_с = v является постоянной и не зависит от времени Δt. Она сохраняется в любой момент времени. Поэтому целесообразно среднюю скорость для равномерного движения принимать за мгновенную скорость или за скорость в данный момент времени. Поскольку в любой момент времени мгновенная скорость одинакова, ее называют скоростью равномерного движ

Рассмотрим теперь задачу о нахождении скорости свободно падающего тела. В этом случае зависимость пути от времени определяется формулой

S=

Зафиксируем произвольный момент времени и вычислим среднюю скорость на отрезке [t₀; t₀₊Δt]:

Как видим из формулы, средняя скорость изменяется с изменение Δt и чим меньше Δt, тем средняя скорость точнее характеризует скорость падающего тела в момент времени t₀. Поэтому целесообразно за скорость v в данный момент времени t₀ принять границу v_с, когда Δt приближается (стремится) к нулю, то есть

откуда получаем известную формулу скорости

Аналогично определяется скорость произвольного движения, при условии, что точка движется по прямой линии. Пусть имеем закон движения S = f(t). Тогда

Отметим, что при фиксированном значении t₀ границей средней скорости является число. Для разных значений t₀ эти числа разные. Значит, поскольку каждому значению t₀ соответствует единственная определенная граница, то мож­но утверждать, что граница является функциею t, то есть

Задача о нахождении скорости движущейся точки в данный момент времени является одной из основных задач, которые привели к возникновению дифференциального исчисления. Для решения поставленной задачи мы выполнили граничный переход в выражении в виде

при стремлении Δt к нулю. Этот граничный переход називается дифференцированием функции f.

Дифференцирование или вычисление производной в механике и физике означает нахождение скорости материальной точки по известному закону движения S = f(t)

Значит, производная - это скорость.

Формула (3) связует между собой расстояние и скорость. В конце XVII ст. известный английский ученый И.Ньютон впервые решил задачу о скорости методом граничного перехода. Открытие И.Ньютона стало поворот­ным пунктом в истории естествознания. Выяснилось, что связь между количественными характеристиками разнообразных процессов, которые исследуются в физике, химии, геометрии, технике, экономике аналогичны связи между расстоянием и скоростью.

Геометрическое приложение производной.

Основные законы дифференциального исчисления, независимо от И. Ньютона, открыл немецкий математик Г. Лейбниц, решая задачу про­ведения касательной к произвольной кривой.

С понятием касательной к кривой в данной точке мы ознакомились в курсе геометрии при изучении окружности. Касательная к окружности определялась как прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку. Однако это определение является отдельным случаем. Его нельзя применить , например, к незамкнутым кривым. Действительно, в случае параболы, уравнение которой у = х , ось абсцисс Ох и ось ординат Оу имеют с кривой в точке О по одной общей точке. Значит, каждая из них в соответствии с определением должна быть касательной к кривой в точке О. Но это не так. Если рассмотреть графики функций у = sin х или у = cos х, то прямые у = 1 и у = -1 имеют бесконечное количество общих точек (а не одну!), и они являются касательными к данным кривым.

Значит, приведенные примеры требуют более точного пояснения, что такое касательная. Возникает необходимость дать общее определение касательной, которое подходило бы как для замкнутых так и для незамкнутых кривых. Для этого придется использовать граничный переход, аналогично тому, который был осуществлен при вычислении и скорости.

Пусть имеем некоторую произвольную кривую (рис.1). Возьмем на этой кривой две точки М₀ и М₁, и через них проведем прямую М₀М₁, которую назовем секущей. Пусть точка М₁ двигаясь вдоль кривой, приближается к точке М₀. Тогда секущая М₀М₁, вращаясь вокруг точки М₀, изменит свое положение, которое с приближением М₁ к М₀ стабилизируется. Если длина хорды М₀М₁ стремится к нулю и величина угла М₁М₀Т стремится к нулю, то прямую М₀Т называют граничным положением секущей М₀М₁. Значит, имеем такое определение.

рис.1

Определение. Касательной к кривой в точке М₀ називается граничное поло­жение секущей М₀М₁, если точка М₁ стремится вдоль кривой до совпадения с точкой М₀.

Отметим, что с какой бы стороны точка М₁ не приближалась по кривой к точке М₀, секущая М₀М₁ при этом будет приближаться к одному и тому же граничному положению (до одной и той же прямой). Только в этом случае говорят, что в точке М₀ кривая имеет касательную.

А теперь объясним это языком формул.

Пусть кривая является графиком функции у = f(х), а точка М₀, которая принадлежит графику, имеет координаты (х₀; f(х₀)). Касательной будет некоторая прямая, которая проходит через точку М₀. Для того чтобы построить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим угловой коэффициент касательной через k.

Сначала найдем угловой коэффициент k₁ секущей М₀М₁. Пусть абсцисса точки М₁ равна х1 = х₀ + Δх . рис. 2

Тогда из рис. 2 имеем:

Для нахождения k необходимо устремить х₁ к х₀, или Δх к нулю. Тогда точка М₁, двигаясь вдоль кривой, приближается к точке М₀, а секущая М₀М₁ – к касательной в точке М₀. Таким образом, угловой коэффициент касательной можно найти как границу виражения при условии, что х₁ стремится к х₀

Заметим, что при фиксированном значении х₀ угловым коэффициентом касательной является число. Для разных значений х₀ эти числа разные. Поэтому угловой коэффициент является функцией аргумента х:

Как видим, мы пришли к той же задаче, которая рассматривалась при нахождении скорости. Значит, нужно выполнить граничный переход в выражении при стремлении Δх к нулю.

Дифференцирование или вычисление производной в геометрии означает вычисление углового коэффициента касательной к кривой у = f(х).

Кроме этого, если Δx→0, то угол β, который образует секущая М₀М₁ с положительным направлением оси Ох, стремится к углу а, который образует касательная к кривой в точке M₀ с положительным направлением оси Ох. Вследствие неперерывности тангенса:

, проте .

Поэтому соотношение (2) можно переписать еще и так: