Геометрическое решение алгебраических задач

Задача 1: Решить систему уравнений, где x 0, y 0 , z 0.

Решение:

Рассмотрим угол О, величина которого равна 120°. На одной из его сторон возмем отрезки длиной 1 и 2, на другой стороне-отрезки длиной x и y. (рис. 1)

OC=x, CA=y, OD=1, DB=2.

Построим прямую, параллельную OB, проходящая через точку C, а через точку B проводим прямую, параллельную CD. Точку персечения построенных прямых обозначим точкой P. Четыреьугольник CDBP-параллелограмма.

A

P

P

B

D

O

2

C

y

1

2

x

120°

120°

Рис.1

OA = x+y = z, OB = 1 + 2 = 3, по теорему косинусов, имеем:

AP = , AB = , CD = BP =

Поскольку AP + PB = + = = AB, то точки A, P, B находятся на одной прямой. Треугольники COD и AOB подобны:

, y = 2x, z = 3x.

_Имеем:

Ответ:

Задача 2: Вычислять :

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC , где,

(рис.1): AB= = 13. Допустим, что BD-биссектриса, пропущенная с вершины B. По свойству биссектрисы,

B

α

α

Обозначим: .

5

13

C

5x

A

D

13x

Ответ: