Математика. Решение геометрических задач координатным методом. Задачи + решения.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма (1601-1665) и Рене Декартом (1596-1650). В их формулировках расстояния координатных осей могли быть только положительными числами или нулем. Важная идея в том, что одно или оба эти расстояния можно также считать и отрицательными, принадлежит Исааку Ньютону (1643-1727). Г.В. Лейбниц (1646-1716) первым назвал эти расстояния «координатными».

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Декарт построил аналитическую геометрию. Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй.

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они могли бы дать, оставаясь раздельными.

Компоненты умения применять координатный метод в конкретных ситуациях является следующие умения:

1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2. строить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. оптимально выбирать систему координат;

6. составлять уравнения заданных фигур;

7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8. выполнять преобразования алгебраических соотношений.

Данные умения можно отобразить на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1. задачи на построение точки по ее координатам;

2. задачи на нахождение координат заданных точек;

3. задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4. задачи на оптимальный выбор системы координат;

5. задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6. задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7. задачи на преобразование алгебраических равенств.

В связи с усилием роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становится проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих двух типов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.

Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода.

1.Задачи на доказательство

№1

Докажите, что три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – высоты ∆АВС, точка С₁ начало координат. Тогда вершины ∆АВС имеют координаты:

где 

Координаты точки Н удовлетворяют уравнению ВВ₁:

Следовательно, .

Ч.т.д.

№2

Докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть в ∆АВС, . Точка С – начало координат. Вершины ∆АВС имеют координаты:

где 

Ч.т.д.

2.Задачи на вычисление

№3

Вычислите расстояние между прямыми, содержащими противоположные стороны ромба, если длины его диагоналей равны .

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть ABCD – ромб. . Точка О – начало координат. Вершины ромба имеют координаты:

.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно:

.

Ответ: 

№4

Решите уравнение :

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть .

Ответ: 

3.Задачи на отыскание геометрических мест точек

№5

Найдите множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний от двух точек А и В есть постоянная величина λ, не равная единице.

Решение

Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точка В – начало координат и точка А лежит на оси х. Тогда .

Для того чтобы точка  принадлежала искомому множеству, необходимо и достаточно, чтобы

Т.к.  то разделим на 

Этим уравнением определяется окружность радиуса с центром в точке. Точка С лежит на прямой АВ. Эта окружность называется окружностью Аполлония.