Геометрия, 9 класс Контрольная работа по теме «Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей».

Геометрия, 9 класс
Контрольная работа по теме «Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей».

РЕШЕНИЕ

№1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.

Решение:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, выраженный через сторону :

R = : √3.

Подставим в эту формулу значение стороны = 5√3 см:
R = 5√3 : √3 = 5 (см)
= 𝛑R² = 25𝛑 (см²)
С окружности = 2𝛑R = 10𝛑 (см)
Ответ: S = 25𝛑 см²; С = 10𝛑 см.

№2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Решение:

Длина дуги окружности:

= · 120° = 𝛑 = 2 𝛑 (см)

Площадь кругового сектора:

= · 120° = 𝛑 = 5 𝛑 ( )

Ответ: =2 𝛑 см; = 5 𝛑 .

№3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Решение

Найдем сторону правильного треугольника, вписанного в окружность:

= : 3 = 6√3 : 3 = 2√3 (дм)

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, выраженный через сторону :

= : √3 =

Подставим в эту формулу значение стороны = 2√3 см:
= 2√3 : √3 = 2 (см).

Так как правильный шестиугольник описан около той же окружности с радиусом 2 см, следовательно, = = 2 (см).

Сторона шестиугольника , выраженная через радиус вписанной окружности:

Значит, = 6

Ответ: = см.

№4. Найти площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 6 см, ∠ВСА = 60°, О – центр окружности.

Решение

1. ∠АВС - вписанный, опирается на диаметр, значит ∠В = 90°.
   В прямоугольном ∆АВС:

1. катет ВС лежит напротив угла в 30°, значит, равен половине гипотенузы:
   АС = 2ВС = 8 см

Радиус окружности равен половине гипотенузы:
R = 8:2 = 4 см
2) По теореме Пифагора найдем АВ:
АВ = = = = 4 (см)

= – = 𝛑R² - AB·BC = 16𝛑 - 8 ( )

Ответ: = 16𝛑 - 8