Геометрия треугольника

1.1.Основные свойства треугольника

В случае если все три угла треугольника острые, то это остроугольный треугольник.

В случае если один из углов треугольника прямой, то это прямоугольный треугольник.

В случае если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.

Теорема. Определение вида треугольника по его сторонам:[8]

Пусть и - стороны треугольника, при этом - наибольшая сторона; тогда:

1. если , то треугольник остроугольный;

2. если , то треугольник прямоугольный;

3. если , то треугольник тупоугольный.

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна .

4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема 1. Свойства средней линии треугольника:

1. Средняя линия параллельна основанию треугольника.

2. Средняя линия равна половине основания треугольника.

3. Средняя линия (и только она) делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями треугольника [8].

1.2 Признаки подобия треугольников

1.3.Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников:

1. по двум сторонам и углу между ними:

1. по стороне и двум прилежащим к ней углам:

;

1. по трем сторонам:

1.4. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1. равны их катеты;

2. катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3. гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4. катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5. катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

1.5.Замечательные линии и точки в треугольнике

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону [4].

Ортоцентр треугольника. Теорема. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Центроид треугольника. Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Теорема 1. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Центр вписанной в треугольник окружности. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , которая равноудалена от трех сторон треугольника и потому является центром вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Срединный перпендикуляр к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

Теорема. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки  – середины сторон треугольника  ).

1.6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Если и – катеты, - гипотенуза, - высота, и - проекции катетов на гипотенузу, то:

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

1.7. Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Для практического применения формулировка теоремы синусов звучит вот в такой форме [5]:

Каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

1.8. Формулы вычисления площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Из этого, в частности, следует, что

площади треугольников, имеющих одинаковые основания, относятся как их высоты, а площади треугольников, имеющих одинаковые высоты, относятся как их основания.

Через основание и высоту

Через две стороны и угол между ними

Формула Герона

Через радиус вписанной окружности

Через радиус описанной окружности

Следствие. Площадь равностороннего треугольника со стороной выражается формулой

.

1.9. Теорема Чевы и Минелая

Теорема Чевы. Если на сторонах треугольника взяты соответственно точки , то отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда[2]

Теорема Менелая. Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки A1,

B1, C1. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство [2]:

1.10.Свойства замечательных точек треугольника

Теорема. Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера). Точка пересечение серединных перпендикуляров, точка пересечение медианов треугольника, точка пересечение высот треугольника.

Замечание. Отметим, что если треугольник неравносторонний, то точки пересечения медиан лежит на отрезке причем

2.1.Задачи на вычисление

ПРИМЕР 1. Стороны треугольника равны 10, 17, и 21. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.[4]

РЕШЕНИЕ.

Пусть — высота треугольника , в котором

. Обозначим . Поскольку — наибольшая сторона треугольника, точка лежит на отрезке , поэтому Выразив по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников и , получим уравнение

, откуда находим, что . Следовательно,

ОТВЕТ:

ПРИМЕР 2. Зная медианы треугольника , найдем сторону [5]

РЕШЕНИЕ.

По свойству медиан в треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении считая от вершины. Поэтому в нам известны две стороны: - и медиана .

Рассмотрим Удвоив его медиану достроим треугольник до параллелограмма Тогда откуда находим: .

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а биссектриса одного из острых углов равна . Найти катет.

РЕШЕНИЕ.

I способ. Положим Тогда по теореме Пифагора . Кроме того, по теореме о биссектрисе треугольника имеем , т.е. .

В итоге мы получили систему трех уравнений с тремя переменными:

решение которой сопряжено со значительными алгебраическими трудностями.

II способ. Положим Составим уравнение, использовав отрезок как опорный элемент. Из треугольника находим: , из треугольника имеем . Приравняв эти выражения, получим тригонометрическое уравнение .

Решим это уравнение:

Так как по смыслу задачи то получаем . Значит, угол , а угол . В итоге получаем

ОТВЕТ:

2.2.Задачи на доказательство

ПРИМЕР 4. В треугольнике проведены медианы пересекающиеся в точке . Точки соответственно середины отрезков Докажите, что треугольники и равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Отобразим треугольник симметрично относительно точки . Тогда, так как точка отобразится в точку

Аналогично точка отобразится в точку и точка - в точку . Треугольники и центрально-симметричны относительно точки , а потому равны. Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 5. Доказать, что во всяком треугольнике расстояние от ортоцентра до вершины вдвое больше расстояния от центра описанной около треугольника окружности до стороны

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть остроугольный треугольник, точка ортоцентр, точка центр описанной окружности, отрезки высоты, точки середины сторон, перпендикуляры к сторонам.

Треугольники подобны (

Значит, Отрезок средняя линия Значит, Но тогда что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 6. Два отрезка пересекаются в точке , которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников

РЕШЕНИЕ.

, то есть поскольку они являются накрест лежащими при прямых и секущей , то Аналогично доказываем параллельность прямых Итак, параллелограмм по определению. ( в параллелограмме противоположные стороны равны), общая для треугольника поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

2.3.Задачи на построение

ПРИМЕР 7. Построить треугольник по трем высотам.[4]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Задачу надо понимать так: даны три отрезка требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник , высоты которого проведенные из вершин соответственно равны

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ. Обозначим через длины сторон искомого треугольника, противолежащих углам а через длины отрезков Воспользуемся равенствами (каждое из произведений равно удвоенной площади треугольника). Из первого равенства получаем пропорцию а из второго равенства имеем и поэтому

Таким образом,

Полученные равенства показывают, что искомый треугольник со сторонами подобен треугольнику со сторонами

Это дает ключ к решению задачи.

ПОСТРОЕНИЕ. По данным отрезкам с длинами построим отрезок, длина которого равна Это можно сделать следующим образом: построим какой-нибудь угол и отложим от его вершины на одной стороне угла последовательно отрезки и а на другой стороне угла отрезок

Проведем прямую , а затем через точку прямую, параллельную Она пересекает луч в точке резок что следует из пропорции .

Далее построим треугольник по трем сторонам

. Этот треугольник, как уже было отмечено, подобен искомому треугольник у. через вершину проведем высоту треугольника и отложим на ней (или на ее продолжении) отрезок , равный . Через точку проведем прямую, параллельную Точки пересечения этой прямой с лучами являются вершинами искомого треугольника

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построенный треугольник подобен треугольнику и, следовательно, подобен искомому треугольнику. Высота, проведенная из вершины в построенном треугольнике , равна , как должно быть в искомом треугольнике, т.е. сходственные высоты в треугольнике и искомом треугольнике равны. Значит, коэффициент подобия равен 1, а это и означает, что треугольник есть искомый.

ИССЛЕДОВАНИЕ. Искомый треугольник можно построить в том случае, если можно построить треугольник , стороны которого равны соответственно Следовательно, данные отрезки должны быть такими, чтобы из отрезков с длинами можно было построить треугольник. В таком случае задача имеет решение.

ПРИМЕР 8. Постройте равнобедренный треугольник, если даны прямая, на которой лежит медиана, проведенная из вершины, две точки на боковых сторонах и точка на основании.

РЕШЕНИЕ.

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ. Предположим, что искомый равнобедренный треугольник построен. Данные точки лежат на боковых сторонах соответственно, данная точка , медиана на данной прямой . Поскольку медиана равнобедренного является также его биссектрисой, а биссектриса есть ось симметрии угла, то точка , симметричная точке относительно прямой , лежит на боковой стороне В то же время, медиана является также высотой равнобедренного треугольника . Поэтому точка лежит на прямой, перпендикулярной данной прямой

ПОСТРОЕНИЕ. Отсюда вытекает следующее построение. Строим точку , симметричную данной точке относительно данной прямой .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если точка отлична от данной точки и прямая пересекает данную прямую , задача имеет единственное решение. В этом случае прямая содержит одну из боковых сторон искомого треугольника, а прямая, симметричная ей относительно данной прямой — вторую. Основание искомого треугольника получим, проведя через данную точку прямую, перпендикулярную прямой .

ИССЛЕДОВАНИЕ. Если прямая параллельна то задача не имеет решений. Если же точка совпадет с , задача имеет бесконечно много решений.

2.4.Задачи на готовых чертежах

ПРИМЕР 9. Найти [9]

РЕШЕНИЕ.

(т.к. смежные углы в сумме дают )

(сумма углов в треугольнике равна )

ОТВЕТ:

ПРИМЕР 10. Найти [9].

РЕШЕНИЕ.

Катет лежит напротив угла в (по свойству прямоугольного треугольника).

ОТВЕТ:

3.1.Задачи на вычисление

1. Найти биссектрису прямого угла прямоугольного треугольника с катетами [8].

2. Через точку пересечения медиан треугольника проведен отрезок , параллельный . Найдите

3. В прямоугольном треугольнике . Найдите площадь треугольника

4. В треугольнике два угла равны , а площадь равна . Найдите меньшую высоту треугольника.[6]

5. В остроугольном треугольнике проведены высоты Найдите площадь треугольника

6. В равностороннем треугольнике сторона равна см. Найдите радиус вписанной в него окружности.

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Найдите их проекции на гипотенузу.

8. В прямоугольном треугольнике острый угол равен , а высота, проведенная к гипотенузе, равна 9 см. Найдите площадь этого треугольника.

9. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, - 30 см. Найдите среднюю линию, параллельную боковой стороне треугольника.

10. Прямая, проходящая через вершину треугольника , пересекает сторону в точке так, что , . Найдите углы треугольника .

3.2.Задачи на доказательство

1. Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой пополам?

2. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведенной к третьей стороне на диаметр описанной окружности.

3. Внутри треугольника взята точка . Докажите, что площади треугольников равны тогда и только тогда, когда точка лежит на медиане треугольника , проведенной из вершины [8]

4. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное расположение прямых .

1. Докажите, что треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см является прямоугольным. Определите длины катетов этого треугольника.

2. На сторонах равных треугольников взяты соответственно точки , причем . Докажите, что

3. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна квадрата гипотенузы.

4. Стороны равностороннего треугольника делятся точками в одном и том же отношении (считая по часовой стрелке). Докажите, что треугольник также равносторонний.

5. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников: а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе; в) по катету и прилежащему острому углу; г) по гипотенузе и острому углу.

6. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна основанию.

3.3.Задачи на построение

1. Построить равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведенной к основанию.

2. Постройте треугольник: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

4. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

5. Постройте треугольник если известны сторона , острый угол при вершине и разность сторон и .

6. Постройте треугольник , отношению сторон и высоте

7. Постройте треугольник по трем сторонам. Всегда ли это можно сделать?

8. Постройте треугольник: а) по двум сторонам и высоте, проведенным из одной вершины; б) по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам; в) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла; г) по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.

9. Постройте треугольник, если дана одна его вершина и две прямые, на которых лежат биссектрисы, проведенные из двух других вершин.

10. Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

3.4. Задачи на готовых чертежах

1. [3]

1. Найдите

1. Найдите

1. Найдите

1. Найдите .

1. Найдите .

1. равносторонний. Найдите

1. Найти равные треугольники.

1. Найдите

1. Найдите

Задача 1

Площадь окон лицевой стороны кукольного театра «Экият» составляет 40 м² , а одной боковой стороны 60 м². Окна кукольного театра образуют собой совокупность равносторонних треугольников из разноцветного стекла. Одна сторона треугольника равна 40 см. Определите, сколько стеклянных треугольников использовали для создания окон лицевой и двух боковых сторон театра кукол «Экият».

Татарский государственный театр кукол «Экият» был создан в 1934 году. Открытие нового здания состоялось 1 марта 2012 года. Помещение театра напоминает замок из волшебных сказок, в архитектуре которого соединены различные стили. На фасаде театра расположены часы и множество скульптурных сказочных персонажей.

А дрес: Казань, ул. Петербургская, 57

Задача 2

Длина здания театра равна 223 м, а ширина – 111 м. на каждого человека приходится 9 м². В 2001 году была проведена реконструкция театра, общая сумма который составила приблизительно 1,5 млрд. рублей. 1) Найдите приблизительно количество людей, которое может находится в здании театра; 2) рассчитайте стоимость одного квадратного метра при реконструкции театра.

Татарский академический государственный театр оперы и балета  имени Мусы Джалиля – один из крупнейших музыкальных театров России, носитель традиций российской, мировой и татарской национальной музыкальной культуры. 

Здание театра было построено в 1956 г. (архитекторы Скворцов и Гайнутдинов). Фасады и внутренние интерьеры театра выдержаны в стиле современного неоклассицизма и сочетают классические формы с  татарскими национальными орнаментами и элементами декоративно-прикладного искусства. В 2005 г. театр перенес капитальную реконструкцию. Техническая оснащенность на уровне европейских стандартов, явившаяся результатом  реконструкции, позволяет театру создавать новаторские спектакли со сложной сценографией, световыми эффектами. 

Адрес: Казань, площадь Свободы, 2.

Задача 3

Сторона треугольника равна 2 м. все стороны этого треугольника равны. Найдите площадь этого треугольника.

Эчпочмак – это татарское национальное блюдо. В Казани появился памятник треугольнику – эчпочмаку. В городе таких больше нет! Памятник открыли 30 августа 2016 года на территории комплекса «Туган Авылым». Выглядит очень съедобно. 
Памятник треугольнику стал подарком «Туган Авылым» на день рождения Республики Татарстан.

Адрес: Казань, улица Туфана Миннуллина, 14/56.

Задача 4

Мост миллениум имеет высоту около 45 метров. Одна половина пилона имеет 32 метра в основании. Найдите площадь одного пилона.

Мост Миллениум (тат. Милленниум күпере) — вантовый мост; самый высокий мост в Казани. Пересекает реку Казанку, соединяя улицу Вишневского с проспектом Амирхана и являясь частью Малого Казанского кольца.

Задача 5

Длина основного пролета моста Миллениум равна 2·100 м. Ширина моста 64 м. Требуется найти площадь пролетов и угол между этими пролетами.

Задача 6

Длина парка составляет 510 м, ширина – 110 м. На озеленение парка потратили 12,5 млн рублей. Рассчитайте стоимость озеленения 1 кв. м парк.

Парк Тысячелетия — парк в Вахитовском районе Казани. Встречается также альтернативное название парка — «парк Миллениум».

Парк Тысячелетия расположен в центре Казани, поблизости от северного берега озера Нижний (Ближний) Кабан.

Территория парка ограничена улицами Салимжанова с юга, Артёма Айдинова с востока (у Баскет-холла) и Островского с севера. С запада к парку примыкает главное здание ОАО «Татэнерго».

По периметру парка установлена металлическая ограда, украшенная у семи ворот фигурами зилантов. Внутренняя зона парка полностью пешеходная. Дорожки покрыты брусчаткой.

Аллеи парка, начинающиеся у ворот, сходятся в центре, где на возвышенной площадке установлен круглый фонтан диаметром 36 метров, главным элементом которого является чаша в виде казана, поддерживаемого зилантами. Она олицетворяет старинную легенду о возникновении города Казани. Восемь зилантов установлены также по периметру фонтана.

Задача 7

Длина гостинично-развлекательного комплекса «Ривьера» равна 85 м. Чему равна ширина, если его периметр равен 230 м? Найдите площадь и запишите ответ в см².

Казанская Ривьера (англ. Kazan Riviera)  — гостинично-развлекательный комплекс с аквапарком в городе Казани. Расположен на берегу Казанки, на пересечении проспекта Фатыха Амирхана и улицы Сибгата Хакима. Недалеко от Ледового дворца спорта «Татнефть арена», а также моста Миллениум.

Адрес: Казань, просп. Фатыха Амирхана, 1

На вычисление

На доказательство

На готовых чертежах

1. Указание: используя теорему косинусов, теорему Пифагора, теорему о биссектрисе.

1.Указание: через теорему синусов.

1. .

.

3.Указание: через площадь треугольника

2.

.

7.Указание: используя свойства медианы, прямоугольного треугольника

3.

.

10.Указание: воспользоваться признаком параллельности прямых.

4. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Задача 1

2307 стеклянных треугольников

Задача 2

2750 зрителей; 545455 рублей

Задача 3

Задача 4

720 м²

Задача 5

Задача 6

222,8 рублей

Задача 7

25500000 см²