Геометрия "Цилиндр"

Геометрия 11 класс

Цилиндр

Повторение

По какой формуле находится площадь прямоугольника?

а+b

ab

2(а+b)

а²

Верно!

Повторение

По какой формуле находится площадь круга?

2r

2 П r

П r²

П r

Верно!

Повторение

По какой формуле находится длина окружности?

2r

П r

2П r

2П

Верно!

Повторение

Вычислить длину окружности и площадь круга, если радиус окружности равен 2,5 см.

Ответ

С = 2 Пr = 2 П 2,5 = 5 П

S= Пr² = 6,25П

Тема урока

Цилиндр

Определение

Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r , лежащую в этой плоскости.

Через каждую точку окружности  проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α .

прямая

L

Определение

Отрезок прямой между двумя основаниями называется образующей цилиндра

Совокупность всех образующих называют цилиндрической поверхностью

Фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называется цилиндром

Окружность с центрами О и О1 называются основаниями цилиндра

Отрезок ОО1 называют осью цилиндра

Расстояние между плоскостями α и β называют высотой цилиндра

Радиусы окружностей в основаниях называют радиусом цилиндра

Ось цилиндра

Образующая

Основания

Развертка цилиндра

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания — вращением сторон ВС и АD.

Поэтому цилиндр называют  телом вращения.

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник , две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

АВСD – осевое сечение

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом . Такая секущая плоскость отсекает тело, также являющееся цилиндром.

Сечения цилиндра

Если цилиндр пересекается плоскостью не параллельной основанию и, при этом, не касающейся ни одного из них (оснований), то сечением является эллипс

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость пересекает основание, сечением является парабола или даже гипербола

Наклонный цилиндр

Наклонный цилиндр  - цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований.

Цилиндр в архитектуре

«Уолл Билдинг» в Хиро

Цилиндр в архитектуре

"Башня ветров" в Иокогаме

Цилиндр в архитектуре

Цементный комбинат на окраине французской столицы

Цилиндр в архитектуре

В китайском городе Чунцин появилась уменьшенная версия стеклянного Apple Store из Шанхая. 

Цилиндр в архитектуре

Английский замок в Сандерленде украшает необычный фонтан, который создал архитектор Уильям Пай. Фонтан представляет собой прозрачный цилиндр с воронкой водоворота по середине.

Цилиндр в архитектуре

Отель Radisson Blue расположен в Берлине и знаменит своим удивительным архитектурным стилем. Здесь так же находится самый большой цилиндрический аквариум в мире.

Площадь боковой  поверхности цилиндра

Представьте, что мы разрезали цилиндр по образующей.

Мы получим прямоугольник. Его длина – длина окружности основания, а ширина – длина образующей или просто высота цилиндра h .

Площадь полной поверхности цилиндра

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Так как площадь каждого основания равна πr 2 , то для вычисления площади  полной поверхности цилиндра получаем формулу:

Решение задач

Задача 1.  

Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра равна S.

Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение задачи

Решение задач

Решение:

По рисунку площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD.

S ABCD =AB x AD = 2rh

S бок =2 П rh

2 П rh =S (по условию)

Отсюда: 2rh = S : П.

Получим:

Решение задач

Задача 2. 

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?

Решение задачи

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м 2 , а площадь основания – 5 м 2 . Найдите высоту цилиндра.

№ 525

C

Решение.

1. Площадь основания – круг,

B

тогда

2. Площадь сечения – прямоугольник,

тогда

D

r

Ответ:

A

Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

Решение.

r 1 =10

1) Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса

R = r 1 + 10 = 20 cм.

10

10

2) Площадь этого круга

3) Найдем площадь боковой поверхности цилиндрической части

4) Найдем площадь шляпы

Ответ:

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 16 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение.

B

C

45 

16

45 

A

D

Ответ:

Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите: a ) высоту, если r = 10, d = 8, AB = 13.

№ 527

В

a

С

r

К

d

Ответ:

r

А

Через образующую АА 1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен  .

В

A



C

В 1

Ответ:

А 1

C 1

Самостоятельная работа

Плоскость  , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу A m D с градусной мерой  . Радиус цилиндра равен a , высота равна h , расстояние между осью цилиндра ОО 1 и плоскостью  равно d .

Найдите AD, если a = 10 см,  = 60  .

Найдите AD, если a = 8 см,  = 120  .

Домашнее задание

П.п. 59, 60, читать, учить формулы

№ 523, 529

Для умных и талантливых: сделать макет цилиндра

Критерии:

• аккуратность,
• использование интересных материалов,
• наглядность