Георг Александр Пик. Формула Пика

исследовательская работа.   Георг Александр Пик. Форула Пика.  

Подготовила: Потапова Виктория, 11 А класс

Руководитель: Козырицкая Елена Сергеевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Одинцовская гимназия №7

Актуальность:

Формулу Пика можно применять при вычислении площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (это здание 3 в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике).

Цель исследования:

Применение формулы Пика для вычисления площади многоугольников с вершинами в узлах клетки.

Немного истории.

А знаете ли вы, что Георг Александр Пик и Альберт Эйнштейн любили вместе музицировать. Георг Пик – австрийский математик, родился 10 августа 1859 года в Вене. В 1876 году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, университет окончил в 1879 году, получив возможность преподавать оба эти предмета. 16 апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1900-1901 годах Георг Пик был деканом философского факультета Карлова университета и в 1911 году Пик оказался во главе комиссии, которая приняла на кафедру математической физика Альберта Эйнштейна. Они становятся близкими друзьями, совершая длительные пешие прогулки и музицировать. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широким написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Широко известна она стала только лишь в 1969 году, после того, как Гуго Штейнгауз включил её в свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп».

Сто лет назад австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. S = B + Г/2 – 1. Теорема Пика Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника, Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.

Сосчитаю количество внутренних узлов. В=88(красные точки рис. 5).

Сосчитаю граничные узлы. Г=31

(чёрные точки рис. 5).

Применю формулу Пика.

S=88+31:2-1 = 88+15,5-1=102,5(кв.ед)

Формула Пика не рассматривается в школьных учебниках, но представляет особый интерес для вычисления площади любого многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Я решила узнать какими способами вычисляли площадь мои одноклассники, кто справился с заданием и заняться изучением формулы. В нашем классе ни кто не знал формулы Пика. Также это задание мы решили дать учащимся 9 - 11 классов. Вот что получилось.

Класс

9

Правильно

16

Способ

10

Неправильно

2

9

11

16

Подсчет клеток

всего

10

8

Класс

Разбиение фигуры

24

3

11

56

1

8

Достроить фигуру до прямоугольника

4

14

всего

-

7

Формула

10

13

5

-

3

Пика

-

22

24

1

42

1

Чтобы подтвердить формулу приведу несколько примеров: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

1.Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, В=0, Г=4, и формула верна.

2.Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначу через а и b длины сторон прямоугольника. Тогда нахожу: S = a·b, В = (а-1)(b-1), Г=2(а+b). Непосредственной подстановкой убеждаюсь, что формула Пика верна.

3.Любой треугольник, расположенный на клетчатой бумаге, внутри которого нет узлов, а на его границе узлами являются только вершины треугольника, имеет площадь 0,5 кв.ед. Такие треугольники называются примитивными. Следовательно, справедливо следующее утверждение:

Все примитивные треугольники равновелики и их площади равны половине площади единичного квадрата.

Все пособия по подготовке к ЕГЭ, диагностические работы, а также демонстрационный вариант, содержат задания на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Это задание 3.Большинство таких заданий можно быстро выполнить, применив лишь формулы для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и трапеции.

Но в некоторых вариантах применение формул площадей фигур приводит к более объемному решению, чем использование формулы Пика. S = В + Г : 2 – 1, где В – количество улов внутри фигуры, Г – количество узлов на границе фигуры.

В=13, Г=6, S = 13 + 6 : 2 – 1 = 15(см 2 )

В = 9, Г = 12; S = 9 + 12 : 2 – 1 = 14(см 2 )

В=8, Г=6; S = 8 + 6 : 2 – 1 = 10(см 2 )

В = 9, Г = 4; S = 9 + 4 : 2 – 1 = 10(см 2 )

В = 21, Г = 6; S = 21 + 6 : 2 – 1 = 23(см 2 )

Заключение.

Умение пользоваться формулой Пика позволяет вычислять площади выпуклых многоугольников, а так же площади невыпуклых многоугольников. А значит, ее можно применять для вычисления площадей многоугольников в задании 3 на ЕГЭ.

1)Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + Г/2 - 1 - формулу Пика.

2)Формула Пика проста для запоминания.

3)Формула Пика удобна и проста в применении.

4)Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой формы .

Вывод .

Я познакомила своих одноклассников с формулой Пика и провела небольшую самостоятельную работу. Ребятам предлагалось вычислить площадь многоугольника, применяя названную формулу. По итогам этой работы можно сделать вывод, что на вычисление площади невыпуклого многоугольника с помощью формулы Пика было затрачено меньше времени, и не было допущено ошибок.

Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной программы и расширению кругозора.

Список литературы и интернет ресурсов.

http://hijos.ru

http://interneturok.ru

http://live.mephi st.ru

http://mathege.ru

Кушниренко А. «Целые точки в многоугольниках и многогранниках».

Васильев Н. «Вокруг формулы Пика».