"Геометрическая формула фуллерена"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №169» Советского района г. Казани Исследовательская работа по математике

Геометрическая химия фуллерена

Выполнила ученица

11а класса

МБОУ «СОШ №169»

Сахабутдинова Камилла

Научный руководитель:

учитель математики школы №169

Шаботич Рима Ремовна

Введение :\ Fullerene C60 _ Фулерен C60 _ Фуллерен C60.mp4 F

Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело это многогранник. Это окружающие нас различные здания, детали, кристаллы, предметы быта и красоты и т.д.

Но это еще и ФУЛЛЕРЕН. Понятие фуллерены в мире химии достаточно новое. Их открытие произошло в 1985 году.

Цель работы: Изучить проявление свойств многогранников, на основе молекулы фуллерена.

Задачи:

• Теоретически изучить свойства и значение фуллеренов.
• Выявить общность строения фуллеренов и многогранников.
• Сделать подборку математических задач химического содержания.
• Изготовить модели молекулы фуллерена С60 из различных материалов.
• Рассмотреть как связана устойчивость фуллеренов с их геометрическим строением.

Объект исследования : фуллерен - С60.

Предмет исследования : интеграция химии и геометрии на примере фуллеренов.

Гипотеза: Для того что бы понять специфические особенности фуллеренов необходим практико – деятельностный подход в изучении их строения на основе теории многогранников. Методы исследования: теоретический анализ и синтез, обобщение, моделирование и решение математических задач химического содержания.

Фуллерены – аллотропная модификация углерода

• а – алмаз

• б – графит
• в – фуллерен

Фуллерен является третьей аллотропной формой углерода (первые две - алмаз и графит). Молекула фуллерена является органической молекулой, а сам фуллерен представляет собой молекулярный кристалл, являющийся связующим звеном между органической и неорганической материей.

История открытия

В 1973 году русские учёные Д. А. Бочвар и Е. Н. Гальперн опубликовали результаты квантово-химических расчётов, из которых следовало, что должна существовать устойчивая форма углерода.

В 1980-х годах астрофизические исследования позволили установить, что в спектрах некоторых звёзд, так называемых «красных гигантах», обнаружены полосы, указывающие на существование чисто углеродных молекул различного размера.

В 1985 году Гарольд Крото и Ричард Смолли начали проводить исследования уже в «земных» условиях. Исследования указывали на существование крупных агрегатов из углеродных атомов – С 60 и С 70 .

Название «фуллерен» было дано в честь известного американского архитектора Бакминстера Фуллера.

Геометрическое строение фуллеренов .

Фуллерен имеет форму многогранника. Фуллерен С 60 имеет форму усечённого икосаэдра. Он состоит из 60 вершин, 90 ребер и 32 граней.

Молекулы фуллеренов могут содержать от 20 до 540 углеродных атомов. Наиболее устойчивый и изученный из всех фуллеренов это С 60. ( 60 атомов углерода ).

На сайте http :// www.jcrystal.com/steffenweber/gallery/Fullerenes/Fullerenes.html собрана коллекция GIF изображений фуллеренов от С 20 до С 540.

Но, как оказалось, не все грани фуллерена одинаковы. Он, как и футбольный мяч, состоит из пятиугольников и шестиугольников. Поэтому фуллерен называют иногда букиболом или бакиболом.

Платоновы тела

Совокупность всех правильных многогранников, ограниченных равными правильными многоугольниками трехмерного Мира. Существует всего пять объемных правильных тел, в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания.

Земля - куб

Воздух - октаэдр

кубики составляют землю, которая «не течет»

Вода - икосаэдр

состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать

выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков

Огонь - тетраэдр

Додекаэдр

жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры

воплощает в себе «все сущее»

АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА:

полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани – правильные многоугольники нескольких типов.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В - Р+Г=2

Многогранник

Вершины

Тетраэдр

Грани

4

Гексаэдр или Куб

8

Ребра

4

Октаэдр

Додекаэдр

6

6

Формула Эйлера

6

20

В+Г-Р=2

12

Икосаэдр

4+4-6=2

8

12

12

8+6-12=2

12

Усечённый икосаэдр

(фуллерен С 60 )

30

60

6+8-12=2

20

32

20+12-30=2

30

90

12+20-30=2

60+32-90=2

В общем виде молекулы фуллере­нов представляют собой многогранник, построенный из многоугольников двух видов: шестиугольников (гексагонов) и пятиугольников (пентагонов). Вершины всех многоугольников - атомы углерода.

Все полученные или смоделированные фуллере­ны имеют 12 "обязательных" пятиугольни­ков. В зависимости же от количества гекса­гонов состав сферических молекул может быть различным. Простейший фуллерен тео­ретически имеет формулу С 20 и состоит только из 12 пентагонов, образующих пра­вильный многогранник – додекаэдр. Однако ввиду неустойчивости такой молекулы выде­лить фуллерен-20 практически не удавалось. Согласно существующим воззрениям на структуру фуллеренов, устойчивыми могут быть только те из них, в которых 12 "обяза­тельных" пентагонов разделены гексагонами и не имеют между собой общих вершин или ребер. Фуллерен С 60 имеет 32 грани (12 пентагонов и 20 гексаго­нов) и он наиболее устойчив. Высшие фуллерены (например, С 78 или С 80 ) допускают различный порядок "выклады­вания" поверхности пентагонами и гексагона­ми при сохранении их общего числа и принци­па изоляции пентагонов, т.е. имеют изомеры.

ТЕОРЕМА АЛЕКСАНДРОВА

Для того, чтобы развёртку превратить в поверхность выпуклого многогранника, необходимо, чтобы

а) удовлетворялось условие Эйлера

б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°

Практическая часть исследовательской работы

Задача№1.

В фуллеренах каждый атом углерода соединен с соседними атомами одной π-связью и 3 σ- связями.

Сколько π- связей и сколько σ-связей содержит молекула А?

Решение:

В образовании каждой связи участвуют по два атома.

Значит, σ- связей в фуллерене 60∙3/2 = 90

(столько же, сколько ребер), π- связей в 3 раза меньше, то есть 30.

Задача №2 .

Докажите, что любой фуллерен содержит четное число атомов.

Доказательство:

Число атомов определяется формулой

n = {5∙12+6∙Г6}/3

n =20+2∙Г6

Очевидно, что n–чётно, как при чётных, таки при нечётных Г6.

Задача№3 .

Докажите, что нельзя построить фуллерен из одних шестиугольников .

Доказательство:

Все атомы углерода имеют координацию 3.

Пусть подобный фуллерен построен и содержит n шестиугольных граней, Г = n.

Тогда

2n – 3n + n =2, т.е. 0=2(!)

Очевидно, что не существует n, при котором данное равенство выполняется.

Следовательно, такого многогранника не существует.

Задача№4.

Покажите, что у любого фуллерена есть 12 пятиугольных граней.

Решение:

Обозначим количество пятиугольных и шестиугольных граней, соответственно, Г5 и Г6.

Тогда Г=Г5+Г6 Согласно теореме Эйлера:

{5∙Г5+6∙Г6}/3 - {5∙Г5+6∙Г6}/2+5∙Г5+6∙Г6=2

Г5/6=2,

Г5=12

Задача №5.

Для изображения фуллеренов на плоскости используют диаграммы Шлегеля.

Диаграмма Шлегеля – это проекция трехмерного многогранника на плоскость.

Проекция делается из точки, находящейся над центром одной из граней.

На проекции видны все атомы и все грани.

Перед вами диаграмма Шлегеля для фуллерена С70

Какой многогранник, состоящий из атомов

углерода, изображен на следующей

диаграмме Шлегеля:

Это – фуллерен? Если– да, то чему равны В, Г5 и Г6?

Существует ли в этом фуллерене граничащие друг с другом шестиугольные грани?

Решение:

Это фуллерен С26 .Он имеет только

пятиугольные и шестиугольные грани.

В=26, Г5=12 и Г6=2.

Две шестиугольных грани не граничат друг с другом

Задача №7.

Особой стабильностью отличаются фуллерены, на поверхности которых пятиугольники

Не граничат друг с другом (правило изолированных пятиугольников).

Какое минимальное число атомов может содержать фуллерен, подчиняющийся правилу изолированных пятиугольников?

Решение: Количество пятиугольниковравно12.

Фуллерен с минимальным числом атомов состоит только из пятиугольников.

Тогда он содержит 5∙12/3=20 атомов углерода.

Это С20.

Если пятиугольники изолированы, то у них 12∙5=60

Общих сторон с шестиугольниками.

Каждый шестиугольник может граничить с тремя разделенными пятиугольниками.

Таким образом, у нас минимально 60/3=20 шестиугольников.

Общее количество атомов углерода в таком фуллерене

{12∙5+6∙20}/3=60.

Речь идет о Бакминстер фуллерене, С60.

Фуллерены в природе

• Присутствует в образцах, собранных в осадочных отложениях кратера Садбури, образовавшегося в результате метеоритного удара 1,85 млрд. лет назад.
• В образцах из участков границы мелового и третичного периодов в Новой Зеландии образованных примерно 65 млн. лет назад в результате удара гигантского метеорита.
• в некоторых образцах шунгитов Северной Карелии, в США и Индии, метеоритах и донных отложениях, которым 65 миллионов лет.
• Фуллерены образуются при горении природного газа и разряде молнии. Над Средиземным морем: во всех 43 образцах воздуха, взятых от Барселоны до Стамбула, были обнаружены фуллерены.
• Фуллерены в больших количествах были обнаружены и в космосе: в 2010 году в виде газа, в 2012 — в твердом виде.

Применение фуллеренов

• В качестве носителей информации со сверхвысокой плотностью, используя фуллереновые магнитные диски
• В качестве основы для производства аккумуляторных батарей
• В качестве красителей для копировальных машин и 3D принтеров
• Обсуждаются вопросы применения их в создании фотоприёмников и оптоэлектронных устройств
• Известен метод получения алмазов из поликристаллического фуллерита
• Есть возможность создания сверхпроводников
• изучается применение синтетических производных С 60 при лечении слабоумия и болезни Паркинсона.
• нанокристаллы фуллеренов, растворяясь в воде, обладают бактерицидным действием

Моделирование молекулы фуллерена С 60

Конструирование шаро-стержневой модели:

Для изготовления модели молекулы С 60 были использованы следующие материалы:

60 шариков из пластилина и проволока.

Плетение фуллерена С60 из бисера

на основе многогранников:

Материалы: 90 круглых бисерин одного размера,

леска длиной примерно 80—90см. 

Заключение

В процессе изучения я узнала много новой, научной и полезной для меня информации о фуллеренах: составе, строении, свойствах, методах получения и нахождении в природе, практическом значении для человека.

В очередной раз я убедилась, что «В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удаётся предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа» - Герман Вейль.

Были выявлены особенности правильных многогранников, изготовлены их чертежи, развёртки и модели. Изготовлены модели молекулы фуллерена С 60 из различных материалов.

В ходе исследования подтвердилась гипотеза: Для объяснения специфических особенностей фуллеренов необходим практико - деятельностный подход в изучении их строения на основе теории многогранников.

PS

• учеными университета Райс предсказывает существование "букибола", состоящего целиком из атомов бора.

• Ученые синтезировали кремниевый аналог

углеродных бакиболлов

• Создан первый высокотемпературный сверхпроводник на основе фуллеренов, активируемый лазерным светом
• Мною написана песня о фуллерене .

Песнь о фуллерене

Под «крутым» микроскопом графиты бросает «в кювет»

Снова дух замирает

Фуллеренов прекраснее нет.

Многогранников чудо экраны выводят опять.

Нанотрубки помогут металлы в разы укреплять…

Припев: Фуллерены, букиболы,

Мир научный лишь недавно вас узнал.

Фуллерены, букиболы

Вы графитов и алмазов идеал

Это ваша судьба, быть не может иначе…

Лишь собою рискуя

Создаете вы сверхпроводник.

И в реакции Прато без сомнения вклад ваш велик.

Снова опыты, споры и риск без конца Мы работой своей обжигаем сердца…

Припев: Букиболы, фуллерены

От болезней мир вы можете спасти

Букиболы, фулерены

Вы мечту на долгожительство внесли.

Это ваш судьба. Не должно быть иначе!

Литература:

• Атанасян Л. С., Геометрия 10-11, М. , Просвещение, 2005.
• Белов Д. В., Новые полиморфные МОДИФИКАЦИИ УГЛЕРОДА, Химия в школе, №2, 2003.
• Вишневский Л.Д. Под знаком углерода: Элементы IV группы период. системы Д.И. Менделеева. Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1983 – 176 с.
• Гончар В.В. « Модели многогранников » — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.
• Золотухин И. В., Фуллерит – новая форма углерода, Сорсовский Образовательный Журнал, №2, 1996, с. 51-56.
• Петров М.М., Михалёв Л.А., Кукушкин Ю.Н. Неорганическая химия : Учебное пособие для техникумов. Л.: Химия, 1981
• Смирнов Е. Ю. « Группы Кокстера и правильные многогранники »  Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
• Сидоров Л. Н., Газовые кластеры и фуллерены, Соровский Образовательный Журнал, №3, 1998, с. 65-71.
• Химия в школе, №1, 2001, ИССЛЕДОВАНИЯ, ОТКРЫТИЯ, ПРОГНОЗЫ: Фуллерен С 36
• Шарыгин И. Ф., Геометрия 7-9, М., Дрофа, 2002.
• Интернет-ресурсы