Геометрия и искусство

Содержание:

Введение…………………………………………………….3-5

Глава 1. Из истории геометрии…………………………….5-6

Глава 2.

Симметрия – царица архитектурного совершенства …6-8

Глава 3. Геометрия в архитектуре……………………… 8-9

Глава 4. Орнамент………………………………………. 9-11

Глава 5. . «Золотое сечение»……………………………11-14

Глава 6. Тело человека и «золотое сечение»…… …..14-15

Глава 7. Наши исследования. …………………………15-17

Заключение …………………………………………… 17-18

Литература……………………………………………….18

Введение

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг–геометрия. Ле Корбюзье

...геометрия родилась для удовлетворения потребностей практики. Об этом сказано почти во всех учебниках. С другой стороны, геометрия, как и поэзия, живопись, скульптура, музыка, есть потребность человека в духовности, в познании и красоте. Истина, по-видимому, где-то между ними.

Возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремёсел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира.

Геометрия – наука, изучающая форму, размеры и взаимное расположение фигур. Геометрическая фигура – мысленный образ предмета, учитывающий только его форму и размер.

Проблема состоит в том, что многие школьники предмет геометрии считают трудным и не интересным, их мнении отражается на результатах обучения.

Актуальность работы заключается в возможности получения интересной информации о геометрии.

Теоретическая значимость нашей работы заключается в том, что многие одноклассники и не только, возможно обратят внимание на наше исследование. Практическая значимость работы состоит в том, что она может быть использована школьниками для повышения математической грамотности при изучении предмета геометрии.

Цель: показать геометрию с интересной и увлекательной стороны.

Задачи: 1. Проанализировать специальную литературу по данной теме; 2.Расширить рамки школьного курса геометрии;

3.Углубление и расширение знаний, полученных на уроках;

4.Показать связь геометрии с искусством.

Объект исследования– эстетический потенциал математики.

Предмет исследования - эстетический потенциал в геометрии

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы: опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, исследование.

Гипотеза: Найденная нами информация, заинтересует наших одноклассников и возможно они будут более углубленно изучать геометрию, что повысит их результативность обучения.

Мы провели анкетирование среди 7-х классов нашей школы. В опросе приняли участие 37 человек. Результаты опроса представлены в виде таблицы:

Проведя статистическую обработку данных, мы сделали вывод, что учащимся не нравится предмет геометрия, но они хотят получать хорошие оценки по геометрии. Желают изучать геометрию на примере изобразительного искусства.

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы. Но не только в процессе работы люди знакомились с геометрическими фигурами. Люди всегда любили украшать себя, свою одежду и жилище. Понятие «правильности» в геометрии всегда связано с гармонией, красотой.

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно.

Мауриц Корнелис Эшер(1898-1972) - нидерландский художник-график. Известен, прежде всего, своими гравюрами (рис. 1) на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии. Его гравюры образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

(рис. 1)

Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже перспективу. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Глава 2. Симметрия – царица архитектурного совершенства.

О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!

Слово симметрия произошло от греч.слова symmetria–соразмерность.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности –ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии -"зеркальная" и "лучевая". "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук. К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево.

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

Глава 3. Геометрия в архитектуре

Архитектура (греч. "architecton" - "мастер, строитель") - монументальный вид искусства, целью которого является создание сооружений и зданий, необходимых для жизни и деятельности человечества, отвечая утилитарным и духовным потребностям людей.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов. Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не обладает ни каким видом симметрии.

«Прошли века, но роль геометрии не изменилась.

Она по-прежнему остается грамматикой архитектора»

Ле Корбюзье

Глава 4. Орнамент

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики. /Г.Вейль/

Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий ( лат. "ornamentum", -"украшение").

Орнамент как самостоятельное художественное произведение не существует, но иногда он может стать основой формообразования изделия. Орнамент всегда связан с формой, масштабом, материалом изделия, его практическим назначением и художественно-образным смыслом. В орнаменте всегда отражается характер и особенности культуры народа, создавшего его, а также эпоха, и которую он возник.

Орнамент имеет следующие особенности:

1. Состоит обычно из повторяющихся элементов - мотивов, которые являются основой орнамента. Определенное сочетание мотивов создает художественный образ.

2. Орнамент может быть повторяющимся (раппортным) , замкнутым (в круге, в квадрате), многоцветным (полихромным) и одноцветным (монохромным), выполнен на поверхности предмета выпукло, рельефно или, наоборот, углублен.

По мотивам, используемым в орнаменте, его делят на:

- Геометрический орнамент состоит из точек, линий (прямых, ломаных, зигзагообразных, сетчато-пересекающихся), и фигур (кругов, ромбов, многогранников, звезд, крестов, спиралей и др).

- Растительный орнамент составляется из стилизованных листьев, цветов, плодов, веток и т.п.

- Зооморфный орнамент включает стилизованные изображения реальных и/или фантастических животных (иногда подобный орнамент называют "звериным" стилем).

- Антропоморфный орнамент в качестве мотивов использует мужские и женские стилизованные фигуры или отдельные части тела человека.

Орнаменты с давних времён использовались людьми для украшения одежды, посуды, жилищ и храмов.

Большое место орнамент занял в народном художественном ремесле. На практике бордюры встречаются в разных видах. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика.

В орнаменте запечатлено эстетическое осмысление деятельности человека, творчески преобразующей, упорядочивающей природу. В орнаменте, особенно в народном творчестве, где он имеет самое широкое распространение, запечатлелось фольклорно-поэтическое отношение к миру. Каждая эпоха, каждый стиль, каждая последовательно выявившаяся национальная культура вырабатывали свою систему орнамента. Особенного развития достигает в искусстве Востока и доколумбовой Америки, в азиатских культурах древности и средних веков, в европейском средневековье.

Глава 5. «Золотое сечение»

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер.

«Золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н. э. Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB, откладывают на нѐм отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AN, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AM, равный AN.(рис. 2)

(рис.2)

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения, как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников,  скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции. «Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи). КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Он имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Глава 6. Тело человека и «золотое сечение».

Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.

Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.

А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т. д.

Глава 7. Наши исследования:

1) Мы захотели проверить, что «Золотая пропорция» действительно является универсальным информационным кодом. И провели следующие измерения учеников нашего класса, нашли отношения величин и получили следующие результаты:

Анализируя приведенные таблицы, можно сделать вывод, что пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга.

2) Исследование стелы «Клявлинский»: Отношение большего отрезка (цвет синий) к меньшему (цвет красный) равно 1,6

Вывод: Стела- сооружение с гармоничными пропорциями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Геометрия необходима в дизайне, архитектуре и в изобразительном искусстве. В глазах настоящего геометра геометрия везде, она окружает нас. Она сыграла значительную роль в упорядочении человеческого мышления. Это лучший способ развития интеллектуальных и творческих способностей. Можно отметить значение геометрии для естествознания, для понимания того, как устроен мир. Геометрия нужна и в практической жизни: каждый человек должен иметь простейшие представления о геометрических фигурах. Геометрия играет важную роль во многих профессиях.

Выводы:

1.Мы убедились, что все-таки существует связь между геометрией и архитектурой, между геометрией и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью геометрии и проявляющиеся в различных видах искусства.

2.Нас поразил тот факт, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

3. Эта работа вызвала у нас интерес, и мы надеемся, что она заинтересует и других учащихся. Мы познакомим одноклассников с нашим исследованием с целью повышения их математической культуры.

Литература:

1.Популярная художественная энциклопедия, 1986;

2.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии, 1998г;

3.Пидоу «Геометрия и искусство»-М. Мир,1979г;

4.http:// WWW.edu.ru/ - Российский образовательный Федеральный портал;

5. http:// WWW.kvant.info / - Научно – популярный физико – математический журнал для школьников и студентов «Квант»;

6. http:// pictoris.ru/ - Геометрия как искусство (сборник статей).