Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ТЕМА:   ГЕОМЕТРИЯ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.

ФОРМУЛА ПИКА.

                                                                  ВЫПОЛНИЛА РАБОТУ:

РУКОВОДИТЕЛЬ: КРАСИКОВА ТАТЬЯНА ИЛЬИНИЧНА,

                         УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

Введение

При подготовке к ЕГЭ по математике я обратила внимание на задания, в которых нужно было найти площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Актуальность темы данного исследования определяется рациональностью вычисления площади любой фигуры с вершинами в узлах сетки. При вычислении площадей фигур можно воспользоваться формулами площадей треугольника, параллелограмма, прямоугольника, трапеции, квадрата, ромба,  а также различными способами: разрезание многоугольника на достаточно простые фигуры или достроить данный многоугольник до прямоугольника.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов. В Древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. В сохранившейся рукописи «Книга сошного письма, написанной в 1629 году, имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». В этой главе собраны правила измерения площадей фигур различной конфигурации и приведён ряд примеров, как этими правилами пользоваться. В рукописи рекомендуется производить измерение и вычисление площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь прямоугольника согласно указаниям в этой рукописи следует вычислять путём выделения из прямоугольника наибольшего квадрата, а площадь оставшегося после отсечения квадрата прямоугольника вычислить, узнав, какую долю наибольшего квадрата составляет его площадь, посредством сравнения длины стороны квадрата и малого прямоугольника.

 Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна восемнадцати квадратным метрам, площадь приусадебного участка – шести соткам и т. д. можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. Измерение площадей с помощью палетки позволяет находить их значения с очень низкой степенью точности, как говорят, «в первом приближении». Такая точность измерений мало кого устраивает, поэтому выводятся формулы для вычисления площадей через длины некоторых «линейных» элементов фигур или применяются специальные методы и приёмы, в частности, определённый интеграл.

Цель работы заключается в адаптации способа вычисления площадей фигур, изображённых на обычном листке клетчатой бумаги с вершинами в узлах сетки по формуле Пика.

Для достижения цели необходимо решение следующих задач:

• изучить способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге;
• доказать формулу Пика для вычисления площадей произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки;
• показать практическую значимость формулы Пика.

В работе использованы следующие методы исследования:

• теоретический;
• анализ;
• практический эксперимент;
• сравнение.