Геометрия ножниц в задачах

 

 

 

Глава 1 … История возникновение геометических задач на разрезание..

Геометр иногда не считает, что прямая линия

красивее, чем кривая, и для него неимеет значения,

является ли прямая противоположностью кривой,

или нет, потомучто красивое и противоположное

не являются существенными свойствами линии,

и эти понятия не входят в предмет геометрии и

не подлежиат орпеделению , как ее обьекты.

Задачи на разрезание или на перекраивание фигур возникли в глубокой древности. В их основе лежат задачи о равновеликих и равносоставленных фигурах. Уже вVII—V вв. до н.э. в Индии в книге «Правила веревки» рассматриваются задачи на перекраивание фигуры, состоящей из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат и перекраивание прямоугольника в квадрат. Позднее, примерно во II в. дон.э. в «Началах» Евклида приводится решение тех же задач, но уже с использованием метрических отношений в прямоугольном треугольнике. Первый трактат, в котором исследовались способы решения задач на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу-л-Вефа (940—998). Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновелики­ми. Венгерский математик Я.Больяи в 1832 г. и немецкий математик П.Гервин в 1833 г. доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными (теорема Больяи—Гервина), т.е. любой многоугольник разрезанием на части и перекладыванием этих частей можно превратить в равновели­кий ему квадрат. Естественно возникает вопрос: верно ли, что равновеликие многогранники являются равносоставленными?

Сформулированный вопрос является третьей проблемой Гильберта.

В начале XX в. научно-популярная литература по математике стала доступной,

составление из них новой фигуры привлекли внимание широких слоев

общества, они оказались прекрасным средством для развлечения. Известными

специалистами в этой области были знаменитые классики занимательной

геометрии и составители головоломок Генри Э.Дьюдени и Гар­ри Линдгрен.

 

Глава 2….Равносоставленные и равновеликие фигуры

Равносоставленные фигуры - фигуры, которые можно разрезать на неодинаково число соответственно равных частей.

Равновеликие фигуры - плоские фигуры, имеющие равные площади.

Теорема 1:Равносоставленные многоугольники - равновелики, то есть имеют одинаковую площадь.

Теорема 2: Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.

 

 

 

 

 

 Перекраивание греческого

креста в равновеликий

(равносоставленный) квадрат.

 

многогранники

 

 

 

 

 

Октаэдры Бикара

 

 

 

Полуправильные и правильные многогранники.

 

 

 

 

Площадь треугольника

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

 

Дано: АВС- треугольник, АС - основание, ВН- высота.

Доказать: S_АВС=  АС*ВН.

Доказательство:

Перекроим треугольник в параллелограмм, для этого проведем среднею линию

МN и разрежем треугольник АВС на две части. Треугольник МNС приложим к

отрезку ВМ как показано на рисунке. Получим параллелограмм АВДN,

Равносоставленный с треугольника АВС, а следовательно и равновеликий .

Тогда S_АВДN = S_АВC

S_АВДН =АNх ВН, АН = ½ АС, т.к.N- середина АС.

Следовательно S_АВС=  АС х ВН. Теорема доказана

 

Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

 

Дано: АВСД – параллелограмм, АД- основание

Доказать: S_АВСД = АД х ВН

Доказательство:

Перекроим параллелограмм в прямоугольник. Для этого разрежем его по

высоте BH , и треугольник ABH приложим справа как показано на рисунке.

Получим прямоугольник HBCH1 , равносоставленный с параллелограммом

ABCD. Но равносоставленные фигуры являются равновеликими,т.е.

S_НВСН1 =S_АВСД

S _НВСН1=BC x BH. Но BC=AD по свойству параллелограмма

Тогда S_АВСД=AD x BH. Теорема доказана.

Площадь трапеции.

Площадь трапеции равна полусуммы ее  оснований  на высоту.

 

Дано: АВСД – трапеция,  ВС и АД основания. ВН – высота

Доказать : S_АВСД = 1/2 (ВС+ АД) х ВН.

Доказательство:

Перекроим трапецию в треугольник. Для этого разрежем её по отрезку BM,

где M- середина стороны CD.Треугольник BCM приложим к отрезку MD

как показан на рисунке. Получим треугольник ABN равносоставленный с

трапецией ABCD, а следовательно и равновеликий , т. е. SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (1)

Но AN =AD + DN, а DN = BC.

Откуда AN=AD + BC.Подставим в (1), получим SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доказана.

 

Глава 3.     Решение задач на разрезание

Задача 1.Разрежьте равнобедренный треуголь­ник на такие две части, чтобы из

них можно было сложить: а) прямоугольник; б) параллелограмм.

Решение задачи.

 

Задача 2. Нарисовать прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше

другой. Покажите:

а) на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них

прямоугольный треугольник;

б) на какие три части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них квадрат.

 

 

 

Решение задачи  изображено на рис. 5 и рис. 6

Следующая задача является усложненным вари­антом задачи 2, б.

Задача 3. Разрежьте прямоугольник на такие ча­сти, чтобы из них можно было

составить равновеликий ему квадрат.

 

 

 

 

 

Решение:рис. 7. Пло­щадь прямоугольника равна ab (рис. 7, а), значит,

сторона равновеликого ему квадрата равна Jab. По­строим отрезок, равный стороне

квадрата (рис. 7, б). Затем отложим этот отрезок на больших сторонах данного

прямоугольника и проведем прямые, как показано на рис. 7, в. На рис. 7, г

обозначены линии разреза и способ перекраивания прямоугольника в квадрат.

В итоге, мы получили квадрат (рис. 7, д) равновеликий данному прямоугольнику.

 

Глава 4.     Греческий крест

Очень большое количество задач на разрезание связано с так называемым

греческим крестом. Греческий крест — это многоугольник, составленный из пяти равных квадратов (рис. 8).

 

Задача 1. Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы из них можно было

составить равновеликий ему квадрат.

Решение задачи показано на рис. 9.

Рассмотрим  и обратную задачу

Задача 2. Разрежьте квадрат на такие части, чтобы из них можно было сложить

равновеликий ему греческий крест.

Задача 3 Из греческого креста вырезан квадрат, равный одному из квадратов,

из которых сложен крест (рис. 10). Разрежьте оставшуюся часть креста на такие

части, чтобы из них можно было составить равновеликий ей квадрат. Решение

задачи показано на рис. 11. Здесь положение вырезанного квадрата строго

зафиксировано. Он расположен так, что продолжение каждой стороны

вырезанного квадрата проходит через соответствующую вершину креста

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

До сих пор решались задачи на перекраивание одной фигуры в другую,

равновеликую данной. Теперь рассмотрим задачу, когда одну фигуру разрезают

на такие части, чтобы из них можно было составить две фигуры, сумма площадей

которых равна площади заданной фигуры

Задача 4. Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы одна из частей была

греческим крестом меньшего размера, а из остальных можно было бы сложить

квадрат.

Первая часть решения: раскроим центральный квадрат (рис. 12) греческого

креста на такие части, чтобы можно было сложить из них греческий крест (эта

задача уже встречалась ранее).

Вторая часть решения: от квадратов 1—4 отрежем необходимые для нового

греческого креста части. В результате получим решение, изображенное на рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5     Задачи на перекраивание

Задачи, которые предлагаются, относятся к одному из

увлекательных разделов занимательной математики - «теории разбиений».

Иногда решения задач просты, иногда хитроумны, но всегда их неожиданные

решения подскажут, как следует браться за многие практические задачи на

плоскости и в пространстве.

Задача 1. Один фермер решил разделить принадлежащий ему квадратный

участок земли. Себе он оставил четвёртую часть земли. Его поле имело форму

квадрата и занимало угол участка. Остальную землю он хотел разделить

между четырьмя сыновьями так, чтобы участки сыновей были одинаковой

формы и одинаковых размеров. Можно ли это сделать?

 

Решение. Начертим план участка (квадрат ABCD). Покажем на плане участок

отца. Как разделить оставшийся участок на четыре равные части? Попробуем

участки сделать такой же формы, которую имеет фигура NCDAMO.

Оказывается, не так трудно разрезать фигуру NCDAMO на 4 части одинаковых

по форме и размерам. Понятно, что участки сыновей будут одинаковой  

площади. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются

равновеликими.

Задача 2. В следующий раз фермеру пришлось разделить на 4 части, равные

по форме и размерам, участок, имеющий форму равнобокой трапеции ABCD.

фермер не отступил перед трудностями и смог найти решение. Но всё-таки

Трапеция ABCD особенная. Попробуем найти углы этой трапеции.

Решение. И здесь, как и в предыдущей задаче, фермер разделил участок на

участки меньшей формы, имеющие ту же форму, что и исходный участок. Но

это можно сделать, если угол ABK= KBC= BAN; но  BAN+ ABC=180°.

Значит  BAN=60°, Можно так же заметить, что АВ=ВС. Если бы лучше знали

Трапецию, мы ещё многое могли бы рассказать о ней.

Задача 3. Доказать, что для любого натурального n >6 квадрат можно разрезать

на n квадратов (среди которых могут быть и квадраты одинакового размера).

 

Решение. Если квадрат разрезан на n квадратов, то разрезая любой из них на 4

равных квадрата, мы получим разрезание исходного на n+3 квадрата. Поэтому

достаточно придумать разрезание для n=6, что даст все разрезания для n=3k,

где k=2, 3, ...; для n=7, что даст все n=3k+l и для n=8, что даст все n=3k+2.

Покажем все эти разрезания на рисунках.

Задача 4 В два слоя

На листе бумаги размером 3x4 сделали надрезы так, что он (лист) при этом не

распался, но им стало возможно оклеить кубик 1x1x1 в два слоя. Как это

сделали? ? Решение. Вот один из вариантов оклейки: разрежем

прямоугольный лист 3x4 так, как показано жирными линиями на рис. 10, а, и,

перегнув бумагу в нужных местах, положим заштрихованные прямоугольники

на белые. В результате получим двухслойную развертку куба (рис. 10, б).

 

Задача 5. Кубическая коробка.

Все стенки и дно картонной коробки (без крышки) представляют собой квадраты с площадью 1 каждый. Разрежьте коробку на три куска так, чтобы из них можно было сложить квадрат площади 5.

Решение: Сначала развернем коробку на плоскость, сделав

соответствующие разрезы , а потом отрежем два треугольника. Приставив их к

оставшейся части, получаем нужный квадрат.

 

 

 

Задача 6. Можно или нельзя?

Имеется кубик и шесть одинаковых крестообразных фигур, вырезанных из

бумаги (рис. 12). Площадь каждой бумажной фигуры равна площади

одной грани кубика. Можно ли этими кусками бумаги целиком оклеить

поверхность кубика?

Решение. Можно. На каждую грань кубика наклеивается одна из фигур

так, как показано на рис. 13, а затем все уголки загибаются (рис. 14)

 

 

Задача 7. Бумажный тетраэдр

Правильный тетраэдр склеили из бумаги. Можно ли его разрезать так,

чтобы получилось бумажное цилиндрическое кольцо, высота которого

равна половине ребра тетраэдра?

Решение. Можно. Разрезы производим по четырем высотам граней

тетраэдра, как показано тонкими линиями на рис. 15, а. Затем раздвигаем модель по разрезам (рис. 15, б) и составляем из них прямоугольную рамку

(рис. 15, в). Поскольку бумага — мягкий материал, рамка легко выгибается в

цилиндрическое кольцо (рис.  15, г).

 

Задача 8. Клетчатый кубик.

Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Всякий отрезок, являющийся

общей стороной двух из 24 полученных квадратов, окрашен в синий или в

красный цвет. Известно, что красных отрезков 26. Докажите, что на

поверхности кубика найдется замкнутая ломаная линия, состоящая только из

красных отрезков.

 Решение. Разрежем поверхность кубика по красным линиям. Если при этом

она распадается на две или больше частей, то это значит, что на поверхности

кубика есть замкнутые линии, состоящие только из красных отрезков. Если

кубик не распался на части (всего один кусок), то будем отрезать квадратики по

синим линиям. Чтобы разрезать весь кусок из 24 квадратиков на отдельные

квадратики, необходимо сделать не меньше 23 разрезов, но у нас всего 22 синих

отрезка.

Следовательно, предположение о том, что после разрезания по красным

отрезкам кубик не распался на части, неверно

Задача 9. Параллелограмм для цилиндров

Два разных цилиндра имеют одинаковую боковую поверхность, равную 100 см²

Докажите, что можно вырезать из бумаги параллелограмм площадью 100 см²,

которым можно оклеить боковую поверхность как первого, так и второго

цилиндра.

Решение. Вырежем параллелограмм площадью 100 см², одна высота которого

равна высоте первого цилиндра, а вторая — высоте второго цилиндра. Таким

параллелограммом можно оклеить боковую поверхность любого из двух

цилиндров (рис. 16)

 

Задача 10.Бумажный куб.

Поверхность кубика с ребром 1 можно оклеить шестью бумажными квадратами, каждый из которых имеет площадь 1, это ясно. А можно ли поверхность такого кубика целиком оклеить 12 бумажными квадратами,

каждый из которых имеет площадь 0,5?

Решение. Можно. Для этого в каждой грани кубика проведем две диагонали. Эти 12 диагоналей разделят поверхность кубика на 12 областей, каждая из которых может быть оклеена одним бумажным квадратиком площади 0,5, но для этого его придется перегнуть по диагонали (рис. 6)

Задача 11. Воткнем булавку

На стол положили несколько одинаковых листов бумаги

прямоугольной формы. Оказалось, что верхний лист покрывает

больше половины площади каждого из остальных листов. Можно ли в

таком случае воткнуть булавку так, чтобы она проколола все листы?

Решение. Можно. Для этого нужно воткнуть булавку в центр

верхнего листа бумаги, ибо этот центр, в силу условия задачи,

принадлежит каждому из остальных прямоугольников.

Задача 12 Квадрат на куски

Квадратный лист бумаги разрезали на 6 кусков в форме выпуклых

многоугольников. Пять кусков затерялись, остался один кусок в форме

правильного восьмиугольника. Можно ли по одному этому

восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

Решение. Первый ответ, который приходит в голову: нельзя. Ведь

затерялись пять кусков, а остался один! Но правильный ответ

противоположен: восстановить исходный квадрат можно! Ввиду того,

что потерявшиеся куски бумаги выпуклы, ни один из них не мог

примыкать к восьмиугольнику по двум его разным сторонам. Значит,

затерявшихся кусков должно быть не меньше числа тех сторон

восьмиугольника, которые не проходили по границе листа бумаги.

Значит, не меньше трех сторон лежат на границе листа. Но так как лист

квадратный, эти три стороны попарно параллельны или перпендикулярны. Значит, это — три стороны восьмиугольника, взятые

подряд через одну. Теперь мы видим, что наш квадрат получается из

восьмиугольника приставлением четырех уголков (и,  в частности,  на

границе листа лежат целых 4 стороны восьмиугольника). Но ведь

потерялось 5 кусков! Значит, один из уголков был как-то разрезан на

две части (рис. 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность кубика 1x1x1 нельзя оклеить целиком полоской бумаги 1x6, не

допуская разрывов. Можно ли такой кубик оклеить полоской бумаги 1x12 в два слоя?

Решение. Можно. На рис. 17 показана полоска 1x12, на которой пунктиром наме­чены линии сгиба. Согнув полоску по этим линиям, получим двуслойную зигзагообраз­ную полоску, изображенную на рис. 18, после чего оклеиваем кубик этой полоской так, как показано на рис. 19

.

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 6     Математический софизм(парадокс)

Софизмом -называется рассуждение, обосновывающее заведомую нелепость,

абсурд или парадоксальное утверждение.

Задача 1. Оклейка в два слоя

В математических софизмах, как правило, не учитываются условия применения

теорем, формул или правил. В геометрических софизмах обычно используются

ошибочный чертеж или кажущиеся «очевидности»

Задача 1 У одной хозяйки был красивый ков­рик с рисунком, состоящим из 13

темных и 13 светлых полос (рис. 26). Хозяйке очень нравился ее коврик, но она

была суеверна и поэтому решила изменить количество полос, при этом не потеряв

ни кусочка коврика. Наконец она нашла мастера, который разрезал коврик на две

части, а затем сшил их так, что рисунок стал состоять из 12 темных и 12 светлых

полос. Покажем линию разреза

 

 

 

 

 

 

В предлагаемой задаче речь идет о перекраивании одного прямоугольника в

другой. Здесь мы имеем дело с другим способом разбиения, а именно

ступенчатой ломаной. В качестве знакомства с этой идеей предлагаем вам

перекроить сначала прямоугольник 2x3, затем 3x4. Определить размеры

получившихся прямоугольников. попробовать взять произвольный

прямоугольник и проделать с ним то же самое. После такой подготовительной

работы можно вернуться к исходной задаче, ее решение продемонстрировано

на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении следующей задачи для перекраивания также используется

ступенчатая ломаная.

Задача 2. Столяру принесли столешницу разме­ром 9 х 12 с испорченной

серединой и попросили ее исправить. Столешница оказалась сделана из древесины редкой породы, и мастеру захотелось так исправить ее, чтобы при

этом не потерять ни кусочка дерева. Сначала он вырезал из середины по

поврежденную часть размером 1 х 8 (рис. 28). Затем оставшуюся часть разрезал на

два куска, из которых сделал столешницу размером 10 х 10. Покажите, как он

это сделал

 

Задача 3.Разрезать куб на части.