Готовимся к ЕГЭ по математике. Разбор задачи №21 (базовый уровень)

РМО учителей математики Куйбышевского района

Тема: Готовимся к ЕГЭ по математике. Разбор задачи №21 (базовый уровень)

Учитель математики ГБОУ

«Школа №60 г. о. Донецк»

Цыганок Т. Н.

29.10.2025

Уважаемые коллеги!

Выпускникам предстоит сдать единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике. Основная задача – получить достойную оценку на экзамене и аттестат о среднем образовании благодаря хорошей математической подготовке. Подготовка будет эффективной, если заниматься систематически, начиная с младших классов.

Экзаменационная работа состоит из 21 задания с кратким ответом базового уровня сложности. На её выполнение отводится 3 часа (180 минут). Ответы к заданиям 1–21 с кратким ответом записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби в бланке ответов № 1. Задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, а также умения анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. На экзамене разрешается пользоваться только теми справочными материалами, которые выдаются вместе с вариантом контрольных измерительных материалов. При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой. Использовать на экзамене калькулятор нельзя. Максимальное количество первичных баллов, которое может получить участник экзамена за выполнение всей экзаменационной работы, – 21 балл. За правильное выполнение каждого из заданий 1–21 начисляется 1 первичный балл. Для прохождения государственной итоговой аттестации по математике необходимо набрать не менее 7 первичных баллов.

Залог успеха на экзамене – регулярные занятия математикой в течение всего периода обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем. Предлагаю для использования в работе, при подготовке к экзамену:

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А.В. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий,

А.С. Трепалин, Е.А. Кукса, Л.А. Титова

МАТЕМАТИКА

БАЗОВЫЙ УРОВЕНь

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭКЗАМЕН

ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Электронное издание

Сборники заданий под редакцией Ященко 2024,2025,2026 г.г. (базовый и профильный уровни)

Хочу поделиться с вами решением задачи 21, которая вызывает у учащихся некоторые затруднения.

Некоторые из заданий такого типа были на олимпиаде по математике (Сириус),

а именно: (предлагаю ВАМ решение этих задач):

1. Задача об обмене монет:

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 3 золотых получить 4 серебряных и одну медную;

2) за 6 серебряных можно получить 4 золотые и одну медную.

У N. были только серебряные монеты . После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато осталось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у N?

Решение:

Пусть в 1 обменном пункте у N принимают только золотые монеты, а втором только серебряные.

х- количество посещений 1 обменного пункта,

у- количество посещений второго обменного пункта.

Тогда х+у=35 (каждый раз при посещении обменного пункта он получал только 1 медную монету)

И 4у-3х=0 (Т. к. золотых у него изначально не было, значит он сначала посещал второй обменный пункт и при посещении обменных пунктов золотых монет не осталось.

Решим систему

Получим х=20, у=15.

15 6=90 (серебрянных монет у него было изначально)

20 =80 (серебряных монет получит после посещения 1 обменного пункта)

90-80=10 – осталось

Ответ: 10

Задача 2. (О столбцах и строчках)

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 148, во втором – 108, в третьем -70, а сумма чисел в каждой строке больше 26, но меньше 29. Сколько всего строк в таблице?

Ответ: 12

Задача 3 (На каком этаже живет Дима?)

Дима пригласил Петю в гости сказав, что живет в восьмом подъезде в квартире №468, а этаж забыл сказать. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом 12-этажный. На каком этаже живет Дима? (на всех этажах число квартир одинаково, нумерация начинается с единицы)

Напомним, что Дима живет в 8-м подъезде в 12-этажном доме. Подсчитаем число лестничных площадок в первых семи подъездах:

7 (лестн. площадки в первых 7-ми подъездах)

Подсчитаем число квартир на этаже:

468:84=5,57….

Получаем, что на каждом этаже 5 квартир, остаток 48: 468-84

Теперь узнаем на каком этаже 468-я квартира: здесь можно считать по-разному. 1-2 этажи занимают 10 квартир,3-4 тоже 10, …. Или 48:5=9 (ост 3). Квартира №468 на 10-м этаже

Ответ:10

Задача 4. Прямоугольник и его части (о периметре)

(В задачах, в которых прямоугольник разбит на части двумя прямолинейными разрезами, нужно вводить обозначения измерений каждого получившегося прямоугольника)

Задача 4 (а). Пусть 24,28,16-это площади полученных прямоугольников.

Тогда:

ас=24 (1),

аd=28 (2),

bd=16 (3)

ac-?

из (1): с= ; из (3) b= , тогда ас=

Задача 5 .

Угловые клетки (их 4) имеют по 2 соседа, значит всего пар 4

Крайние клетки (идущие по периметру, не угловые ) имеют по три пары таких соседей, крайних клеток в нашей задаче 14, тогда 14

Средних клеток у нас 12 и они имеют по 4 пары соседей : 12

Всего пар 8+42+48=98

Но в приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 98 : 2 = 49. Поэтому пар белого цвета 49-26-6  =  17.

Ответ: 17.

Задача 6. ( О бензоколонках на кольцевой дороге)

На кольцевой дороге расположены 4 бензоколонки А. Б. В. Г.

Расстояния между А и Б-65 км, между А и В-50 км, между В и Г-35 км,

между Г и А- 45 км. Все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге. Найти расстояние между Б и В.

Расположим на кольцевой дороге бензоколонки так, как указано в условии задачи

Так как расстояние АБ наибольшее, не совсем понятно, где находится бензоколонка Б, поэтому начнем с А и В.

Расстояние между В и Г 35 м. Предположим, что бензоколонка Г находится между А и В с правой стороны дуги АВ (на рис.-это сиреневая часть дуги), тогда получим:

АВ=АГ+ГВ = 35+45=80, а у нас АВ=50. Значит, бензоколонка Г находится с правой стороны

Все три условия выполнены (пока кроме первого) и мы можем найти длину кольцевой трассы:50+35+45=130. Теперь нам понятно, что бензоколонка Б АБ=65 км) находится как раз посередине, она диаметрально противоположна бензоколонке А

Тогда расстояние БВ=АБ-АВ=65-50=15 км

Ответ: 15 км.

Итог:

Как видим из приведенных выше задач, что задания не такие и сложные, все они предусматривают знания средней школы, но если не готовиться с учениками, не разбирать такие задания, то у учащегося они вызовут затруднение на экзамене. Желаю всем успехов!

Задачи из этих сборников

6