Готовимся к ЕГЭ.Решение стереометрических задач.

Задачи по стереометрии

Задача 1

В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: .

Найдите угол между плоскостями и .

Ответ:

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: .

Найдите угол между плоскостями и .

Ответ:

Задача 3

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра: .

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой линии , где точка - середина ребра , а точка - делит ребро в отношении .

Ответ:

Задача 4

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра: . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой линии , где точка - середина ребра .

Ответ:

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде угол между ребром и плоскостью основания равен . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды, если плоскость проходит через точку и середину ребра параллельно диагонали .

Ответ:

Задача 6

В основании прямой призмы лежит ромб .

Известно, что и . Найдите угол между плоскостями и , где точка - середина ребра .

Ответ:

Задача 7

Точка лежит на ребре куба , точка является точкой пересечения диагоналей грани . . Найдите косинус угла между прямой линией и прямой линией, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины .

Ответ:

Задача 8

В кубе точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .

Длина ребра куба равна 10. Найдите косинус угла между прямой линией и диагональю куба, которая выходит из вершины , если .

Ответ:

Задача 9

На шаровой поверхности лежат все вершины треугольника. Точка - центр шара. Найдите угол между прямой линией и плоскостью треугольника, если .

Ответ: .

Задача 10

На ребре куба взята точка - середина этого ребра. Найдите синус угла между прямой линией и диагональной плоскостью . Ответ:

Задачи по геометрии

Задача 1

В треугольнике: . Точка лежит на прямой линии так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников и , касаются прямой линии в точках и соответственно. Найдите длину отрезка .

Ответ:

Задача 2

В трапеции с основанием и диагонали и пересекаются в точке так, что одна из них делится в отношении . Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 8.

Ответ:

Задача 3

Длина общей касательной, проведенной к двум окружностям радиусами 4 и 8, равна 5. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Ответ:

Задача 4

Две окружности радиусами и , , касаются в точке . Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке , а две другие точки лежат на разных окружностях, если .

Ответ:

Задача 5

Расстояние между центрами двух окружностей равно 50. Одна из окружностей имеет радиус 25, вторая – 30. Некоторая прямая линия пересекает меньшую окружность в точках и , и касается большей окружности в точке . Найдите длину хорды , если .

_Ответ:

Задача 6

В окружность радиусом вписана трапеция с основаниями 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.

_Ответ:

Задача 7

В окружность радиусом вписана трапеция с основаниями 1 и 4. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ:

Задача 8

Из вершины трапеции проведена биссектриса, которая пересекает диагональ в точке . Найдите площадь трапеции, если и .

Ответ: 28,8.

Рисунки приведены в разделе: Геометрия – Экзамен.

Рисунки и решения

Стереометрия

Задача 1

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, расположенных в данных плоскостях.

Задача 2

Задача 3

Угол между прямой линией и плоскостью – это угол между наклонной и проекцией наклонной на эту плоскость

Задача 4

Задача 5

Сторона основания равно

Диагональ основания

Осевое сечение - равносторонний треугольник.

Точка расположена на середине ребра

Линия является медианой и высотой треугольника

Требуемые плоскости пересекаются по линии ,

, наклонная перпендикулярна

Искомый угол – угол между двумя плоскостями

Задача 6

Проведем линию .

Искомая плоскость пересекает плоскость основания по линии

Из точки опустим перпендикуляр к линии пересечения плоскостей

По теореме о трех перпендикуляров наклонная

Искомый угол между плоскостями

Задача 7

Необходимо определить угол между скрещивающимися прямыми линиями и

В плоскости линию параллельно переместим и совместим с линией

Определим стороны треугольника и по теореме косинусов найдем угол между прямыми линиями и .

Стороны и определим по теореме Пифагора

,

Теорема косинусов

Задача 8

Параллельным переносом на вектор переместим прямую линию .

Получим линию .

Угол между линиями и равен углу между линиями и .

По теореме Пифагора определим стороны треугольника

Примем сторону куба равную 10.

Теорема косинусов

Задача 9

Точки лежат в одной плоскости – на окружности шара

Из центра шара всегда можно провести перпендикуляр к данной плоскости

Равные наклонные, радиус шара, имеют равные проекции, радиус описанной окружности проведенной плоскости

Так как треугольник - равнобедренный, то высоту, проведенную к основанию, определим по теореме Пифагора

Площадь треугольника

Радиус описанной окружности ,

Угол между радиусом шара и плоскостью

Задача 10

Диагонали грани куба взаимно перпендикулярны. .

.

Искомый угол – угол между наклонной и проекцией наклонной .

Плоскости и взаимно перпендикулярны.

Сторона куба равна

Треугольник - прямоугольный

Определим стороны треугольника

,

Определим искомый угол

Геометрия

Задача 1

Задача имеет две конфигурации

Решение по конфигурации 1

Точка расположена на отрезке

_Из соотношения определим длины отрезков

Применим свойство длин касательных

Длина отрезка :

Рассмотрим треугольник , применим теорему косинусов

,

Треугольник равносторонний,

Длина отрезка

Решение по конфигурации 2.

Точка расположена на отрезке

Задача 2

Задача имеет две конфигурации

Рассмотрим 1 конфигурацию

В трапеции треугольники и подобны

Коэффициент подобия

В подобных треугольниках

Площади треугольников, прилегающие к боковым сторонам равны

Обозначим их как

Определим площади треугольников и , определим их отношение

Следует отметить, что мы вывели формулу площади, прилегающей к боковой стороне вне зависимости от коэффициента подобия

,

Площадь трапеции

Перейдем ко второй конфигурации

Задача 3

Применим теорему Пифагора к построенным прямоугольным треугольникам

Конфигурация 1

Расстояние между центрами

Конфигурация 2

Расстояние между центрами

Задача 4

Задача имеет две конфигурации

Введем углы и

Для конфигурации 1:

Сторона равностороннего треугольника

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен

В треугольнике :

,

Решим уравнение

,

Конфигурация 2:

,

,

Задача 5

Определим длины отрезков

- хорда меньшей окружности.

Из центра меньшей окружности восстановим перпендикуляр к хорде

Перпендикуляр делит хорду на равные части

Таким образом, отметим равные отрезки

По теореме Фалеса, при пересечении параллельных прямых линий получим равные отрезки

Тогда точка лежит на окружности меньшего радиуса

В прямоугольном треугольнике , , - касательная к окружности большего радиуса,

,

Длина хорды

Конфигурация 2

Точка лежит на линии центров . Хорда делится на равные отрезки, когда диаметр окружности перпендикулярен данной хорде

Длина хорды

Задача 6

В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию

Определим высоту трапеции

,

Длина отрезка равна длине средней линии трапеции

Диагональ трапеции

Конфигурация 2

,

Задача 7

Основные расчеты приведены в задаче № 6

Длина отрезка

Для конфигурации 1:

Длина боковой стороны

Для конфигурации 2:

Длина боковой стороны

Задача 8

Свойство биссектрисы:

Из подобия треугольников и

Длина отрезка

Площадь треугольника определим по формуле Герона

Полупериметр треугольника

Высота трапеции

Площадь трапеции

Задачи по стереометрии

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: . Найдите угол между плоскостями и . Ответ:

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: . Найдите угол между плоскостями и . Ответ:

Задача 3. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра: . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой линии , где точка - середина ребра , а точка - делит ребро в отношении .

Ответ:

Задача 4. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра: . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой линии , где точка - середина ребра . Ответ:

Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде угол между ребром и плоскостью основания равен . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды, если плоскость проходит через точку и середину ребра параллельно диагонали . Ответ:

Задача 6. В основании прямой призмы лежит ромб . Известно, что и . Найдите угол между плоскостями и , где точка - середина ребра . Ответ:

Задача 7. Точка лежит на ребре куба , точка является точкой пересечения диагоналей грани . . Найдите косинус угла между прямой линией и прямой линией, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины .

Ответ:

Задача 8. В кубе точка лежит на ребре , точка лежит на ребре . Длина ребра куба равна 10. Найдите косинус угла между прямой линией и диагональю куба, которая выходит из вершины , если . Ответ:

Задачи по геометрии

Задача 1. В треугольнике: . Точка лежит на прямой линии так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников и , касаются прямой линии в точках и соответственно. Найдите длину отрезка .

Ответ:

Задача 2. В трапеции с основанием и диагонали и пересекаются в точке так, что одна из них делится в отношении . Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 8. Ответ:

Задача 3. Длина общей касательной, проведенной к двум окружностям радиусами 4 и 8, равна 5. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. Ответ:

Задача 4. Две окружности радиусами и , , касаются в точке . Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке , а две другие точки лежат на разных окружностях, если . Ответ:

Задача 5. Расстояние между центрами двух окружностей равно 50. Одна из окружностей имеет радиус 25, вторая – 30. Некоторая прямая линия пересекает меньшую окружность в точках и , и касается большей окружности в точке . Найдите длину хорды , если .

_Ответ:

_{Задача 6}. В окружность радиусом вписана трапеция с основаниями 3 и 4. Найдите диагональ трапеции. Ответ: