Графики тоже могут улыбаться

Муниципальное автономное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школы № 4 г.Черняховска

Тема: «Графики тоже могут

улыбаться»

Научно-исследовательская работа

на научно-практическую конференцию.

Автор: Мухина Вероника,

Вишневская Дарья

9 «Б» класс

Научный руководитель:

Вязимова Л.М.

2017 год

Оглавление:

• Немного из Истории (Слайд №2)____________ Стр.3

• Что такое график функций? (Слайд №3)______ Стр.3

  • Преобразование графиков функций

(Слайд №5)______________________________ Стр.4

• Y=f(x)+k(Слайд №5)____________________Стр.4

• Y=af(x) (Слайд №6)_____________________Стр.5

• Y=-f(x) (Слайд №7)_____________________Стр.6

• Y=f(-x) (Слайд №8)_____________________Стр.6

• Y=f(x+c) (Слайд №9)___________________Стр.7

• Все преобразования графиков

(Слайд №10)__________________________Стр.8

• Построение графиков функций, содержащих модули

(Слайд №11)__________________________Стр.9

• Y=|f(x)| (Слайд №11)___________________Стр.9

• Y=f(|х |) (Слайд №12)___________________Стр.10

• |Y|=f(x) (Слайд №13)___________________Стр.10

• График кусочно-заданных функций

(Слайд №14)__________________________Стр.11

• Метод линейного сплайна (Слайд №15)__Стр.12

• График функций – это не просто множество точек на оси координат…

(Слайд №16 и 17)_____________________Стр.13

• Вывод (Слайд №16 и 17)___________________Стр.14

• Литература(Слайд №18)____________________Стр.15

Немного из истории. (Слайд №2)

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива у лука тем дальше полетит стрела.

Позже, высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже для суммы квадратов чисел и их кубов. Иначе говоря это было табличное задание функций: у=х²; у=х³; _ ; у=х²+х³

Арабские же ученые ввели новые тригонометрические таблицы и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. В исследованиях аль-Бинури впервые встречаются мысли о «всех таблицах», то есть о всевозможных зависимостях между величинами.

В средних веках началось исследование общих зависимостей функции, в которых были важные достижения Николая Оресма, Рене Декарта, Пьера Ферма, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и многих других.

В 19ом веке немецкий математик Георг Кантор заложил начало теории множеств, концепции которой произвели огромное впечатление на многих математиков. Следует сказать, что в зависимости от природы множеств Х и У термин «функция» в различных разделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, соответствие, преобразование и так далее.

Что такое график функций? (Слайд №3)

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.

Преобразование графиков (Слайд №4)

Преобразование графика Y=f(x)+k (Слайд №5)

Рис №1

Данное преобразование рассмотрим на примере графика функций: у=х²-3. График данной функции образован от графика функции у=х² параллельным переносом вдоль оси Оу на 3 единицы вниз. Направление параллельного переноса зависит от знака числа К, если К0 , то параллельный перенос вдоль оси Оу на К единиц вверх, а если K

Преобразование графиков Y=af(x) (Слайд №5)

Рис №2

График функции af(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси Оу в а раз при а1 и сжатием вдоль этой оси в _ раз при 0a

Построим два графика функций у=2|x| и у=_|x|.

У=2|x| так как а=2 , то расстояние от оси х должно увеличиться в два раза, а если у=_|x| то расстояние от оси х должно уменьшится в два раза.

Здесь показано преобразование графиков с помощью умножения «х» переменной на какое-либо число в данном случае я беру у=|x| - это график под номером 1 и умножаю в этом уравнении х вдвое тогда: у=2|x| тогда он вытягивается вдоль оси у как на чертеже номер 2, а если у=|x| умножить на ½ , то график будет вытягиваться вдоль оси х как на графике номер 3. Из этого следует вывод что если функцию умножить на число x1 то график будет вытягиваться вдоль оси у, а если 0x

Преобразование графиков Y=-f(x) (Слайд №6)

Рис №3

График функций Y=-f(x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Ох. Ясно, что при а_-1 нужно осуществлять два преобразования: у=f(x)­­_у=a1f(x)_у=-а1f(x), где а=-а1

Преобразование графиков Y=f(-x) (Слайд №7)

Рис №4

График функций Y=f(-x) получается симметричным отображением графика Y=f(x) относительно оси Оу. То есть представим что мы только что на оси координат начертили желтыми красками график y=Sin x и краска еще не высохла, а мы «сгибаем» координатную плоскость вдоль оси Оу и если мы потом «раскроем» её то увидим, что график отпечатался так же как чертеже выше. Желтая нарисованная, а черная «отпечатанная».

Преобразование графиков Y=f(x+c) (Слайд №8)

Рис №5

У=f(x+c) – график функции получившийся параллельным переносом графика f(x)в отрицательном направлении оси Ох на |c| при с0и в положительном направлении при с

Рассмотрим на примере графика функций у=3|x+2|-1

Чертим первый график:

1. y=|x|

Чертим второй график:

1. y=|x+2|

Чертим третий график:

1. y=3|x+2|

Чертим четвертый график:

1. y=3|x+2|-1

Все преобразования графиков (Слайд №9)

Рассмотрим функцию:

f(x)=x²+2x+4– квадратичная функция, ветви вверх т. к. а=10, вершина в точке (х₀; у₀), где Х₀=_, значит

Х₀=-2/2=-1 , тогда

У₀=1-2+4=3, поэтому

(-1;3) – вершина параболы

образованная от графика у=x²

Параллельным переносом вдоль оси Ох на 1 единицу влево и параллельным переносом вдоль оси у на 3 единицы вверх.

f(x)=x²+2x+4

f(x)=-f(x-1)-3

1. F(x)=x²

2. F(x)=-x²

3. F(x)=-(x-1) ²

4. F(x)=-(x-1) ²-3

Рис №6

Построение графиков функций содержащих модули. (Слайд №10)

График функции Y=|f(x)| получается от графика Y=f(x) следующим образом: часть графика Y=f(x), лежащая над осью Ох сохраняется; часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

У=|-2(x-3)²+4|

Y=-2(x-3)²+4 – квадратичная функция, график – парабола ветви вниз а=-2

Образован от у=х² параллельным переносом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо и вдоль оси Оу на 4 единицы вверх. Т.к. уравнение задающее данную функцию содержит часть графика, лежащая над осью Ох отображается симметрично относительно оси Ох. См. рис№7.

Рис №7

Построение графиков содержащих модули Y=f(|х|) (Слайд №11)

График функции Y=f(|х|) получается из графика функции у=f(x) следующим образом: часть графика где х0 у=f(x) сохраняется, и эта же часть симметрично отражается относительно оси Оу.

Рис №8

Построение графиков содержащих модули |Y|=f(x) (Слайд №12)

Построим: |y|=|2|x|-3|-1

1. Y=|x|

2. Y=2|x| – растяжение вдоль оси у в 2 раза

3. Y=2|x|-3 – сдвиг вниз на 3 по оси Оу

4. Y=|2|x|-3| - симметрия точек графика, для которых 2|x|

5. Y=|2|x|-3|-1 – параллельный перенос вдоль оси у на 1 единицу вниз

6. Y=||2|x|-3|-1| - симметрия точек, для которых |2|x|-3|-10 относительно оси х

(Окончательный результат Рис.№9)

Рис №9

График кусочно-заданных функций (Слайд №13)

Построим график:

-х+3 при x≤-3

x²-3| при-3≤x≤2,2

f(x)=

при x≥2,2

Рис №10

Мы взяли не полностью графики функций, а только их части, например x≤-3, то есть от -3 и до минус бесконечности и так из каждого графика взяли по куску, а потом их соединили и получили кусочную функцию.

Метод линейного сплайна (Слайд №14)

Метод линейного сплайна – это непрерывная кусочно-линейная функция. Ее график есть ломанная с двумя бесконечными крайними звеньями. Например:

y=x+|x-2|-|x|

х+2 при 0≤х≤2 (1)

у= -х+2 при х2 (2)

х-2 при х

Вывод (Слайд №15 и 16)

Графики функций – это не просто множество точек на координатной плоскости

Это жизнь…

1. Y=0,5x²+0,4x-0,8 x€ [-5,5; 0,5]

2. Y=-0,5x²-0,6x+2,8 x€ [-5,5; 2]

3. Y=0,5x²-2x+14,8 x€ [-5,5; 3]

4. Y=0,5x²+5,8x+28,5 x€ [-5,2; -1,5]

5. Y=-0,5x²+0,5x+2,7 x€ [-5,2; -1,5]

6. Y=0,5x²+2,7x-1,7 x€ [-7,3; 4]

7. Y=0,5x²+7,3x+34,9 x€ [-7,3; 3]

8. Y=-0,5x²-0,6x+4,3 x€ [-1,5; 2,8]

9. Y=-0,5x²-2x+13,3 x€ [0;42]

10) Y=-0,5x²-3x+25,7 x€ [0,8; 5,3]

11) Y=0,5x²+0,8x+3 x€ [-1,5; 0]

12) Y=0,5x²-0,5x+0,9 x€ [0; 1,3]

13) Y=0,5x²-2x+1,7 x€ [1,3; 2,8]

14) Y=0,5x²-0,5x+5,9 x€ [0; 1,3]

15) Y=0,5x²-2x+6,7 x€ [1,3; 2,8]

16) Y=0,5x²-3,5x+10,8 x€ [2,8; 4,3]

17) Y=0,5x²-1,5x+10,7 x€ [0,8; 2,2]

18) Y=0,5x²-3x+14,1 x€ [2,2; 3,9]

19) Y=0,5x²-4,6x+20,2 x€[3,9; 5,2]

Творчество…

1. Y=05,(x+4)²+2 x€[-8,3; 0,5]

2. Y=0,1(x+4)²+9,5 x€[-8,3; 0,5]

3. Y=0,5|x+4|+4 x€[-5,5; -3,5]

4. Y=0,1|x+4|+4,5 x€[-5,5; -3,5]

5. Y=0,5(x+5,5)²+7,5 x€[-6,5; -4,5]

6. Y=-0,5(x+5,5)²+8,5 x€[-6,5; -4,5]

7. Y=0,5(x+2,5)²+7,5 x€[-3,5; -1,5]

8. Y=-0,5(x+2,5)²+8,5 x€[-3,5; -1,5]

9. Y=(x+11)³+7

И красота…

Уравнения к кораблю

1)Y=1/8(х+19)²-6 х€ [-19;-15]

Y=1/8(x+11)²-6 x€ [-15; -11]

Y=1/16(x+11)²-6 x€ [-11; -7]

Y=1/8(x-4)²-6 x€ [0; 8]

Y=1/8(x-12)²-6 x€ [8; 12]

2) Y=-(x+10)²+1 x€ [-11; -10]

Y=-1/18(x+7)²+1,5 x€ [-10; -4]

X=-4 y€[0,5; 1]

Y=1/32x² x€[-4;0]

Y=0 x€[0; 2]

Y=x²-4 x€[0; 2]

Y=-5 x€ [-7; -4]

Y=1/16(x+4)²-5 x€ [-4; 0]

Y=5/16(x+7)²-5 x€ [-11; -7]

3) X=-6 y€[7; 8]

Y=7 x€[-13 ; 1]

Y=-3(x+12)²+7 x€[-13 ;-12]

Y=(x+11)² x€ [-13; -11]

Y=-1/2(x+9)²+2 x€[-11; -9]

Y=-2/81(x+9)²+2 x€[-9; 0]

Y=4x² x€ [-1; 0]

Y=-3x²+7 x€ [-1; 0]

4) X=-5 y€[19; 20]

Y=19 x€{-9; -1]

Y=-3/4(x+8)²+19 x€[-12; -8]

Y=-1/36(x+6)²+8 x€ [-12; 0]

Y=8/9x²+7 x€ [-3; 0]

Y=-4(x+2)²+19 x€ [-3; -2]

5) Y=24 x€[-6,5; -1,5]

Y=-5/4(x+6)² +24 x€ [-8; -6]

Y=-2(x+2)²+24 x€[-3; -2]

Y=3(x+2)²+19 x€[-3; -2]

Y=-1/9(x+5)²+20 x€[-8; -2]

6)Y=26 x€ [-0,5; 4,5]

Y=-5/4x²+26 x€[-2; 0]

Y=3(x-4)²+21 x€ [3; 4]

Y=-1/9(x-1)²+22 x€ [-2; 4]

Y= -2(x-4)²+21 x€ [3; 4]

7)X=1 y€[21; 22]

Y=21 x€[-2,5; 4,5]

Y=-3/4(x+2)²+21 x€[-6; -2]

Y=-1/36x²+10 x€[-6; 6]

Y=(x-6)²+9 x€ [3; 6]

Y=-3(x-4)²+21 x€[3; 4]

Y=21 x€[6; 11]

8) (x-15,5)(y+27)=16

Y=26 x€[-4; -9]

Y=24 x€[6; 10]

Y=22 x€[-16; -20]

Y=23 x€[8; 13]

Y=18 x€[-11; -15]

Y=16 x€[-11; 16]

Y=25 x€[-8; -13]

Литература и сайты: (Слайд №18)

-Сборник элективных курсов Математика 8-9 классы М.Е. Козина Выпуск №2

-Алгебра 9 класс Ю.Н. Макарычев

-Функции и графики И. М. Гельфанд Е.Г. Глаголева Э.Э. Шноль

-Алгебра учебник 9 класс под редакцией Телявского

-Цукарь А. Я. Рисуем графиками функций. Математика в школе

- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 классы

-Google.ru

Программы:

Graph Master v1.1

Graphics

10

1

0

1

0

y=x²

y=x²-3

0

1

1 0 2 1 3 0 1" width="640"

y=|x|

а1

0

2

1

3

0

1

y=f(x)

y=-f(x)

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

y=|x ²-3|

y=-x+3

y=

y=x+2

y=-x+2

y=x-2

0

1

1

0

0

1