Графики во круг нас

Конкурс проектных работ «Первые шаги в науку»

Секция: ИНФОРМАТИКА

Графики во круг нас
Построение математических графиков функции с помощью прикладных программ
«От простого к сложному»

Докладчики:

Федоров Александр,

Шуваева Юлия,

1 группа, 10Б класс

МБОУ СОШ №100

Научный руководитель:
Овчинникова Елена Геннадьевна, учитель информатики

г. Ижевск 2016-2017 у.г.

ВВЕДЕНИЕ

В окружающем нас мире много предметов, которые описывают некоторую математическую функцию.

Что же такое функция и что же такое графики функций?

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Свой метод мы назвали «метод математической графики». Он состоит в том, что используя графики различных функций, можно построить образ какого-либо предмета. В школе стандартный метод предполагает построение графика функции и его преобразований независимо друг от друга.

Преобразование графиков функции является одним из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. В графиках отражены изменчивость и динамичность реального мира, взаимные отношения реальных объектов и явлений.

Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследования является изучение преобразование графиков функции в школьной математике и сравнение их с графиками параметрических кривых.

Предмет исследования – процесс построение и преобразование графиков функции с помощь программных средств на уроках информатики.

Цель исследования: образовательная - заключается в выявлении методической схемы построения и преобразования графиков функции;

развивающая - развитие абстрактного, алгоритмического, логического мышления, пространственного воображения;

воспитательная – воспитание графической культуры школьников, формирование навыков умственного труда.

Цели обусловили решение следующих задач:

1. Проанализировать учебно-методическую по исследуемой проблеме.

2. Выявить алгоритм построения графиков функции средствами программного обеспечения на уроках информатики.

3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе, способствующие: осмысленному усвоению учебного материала; повышению познавательной активности обучающихся; развитию их творческих способностей.

ГИПОТЕЗА исследования: формирование графических навыков в процессе изучения функций и воспитание графической культуры обучающихся будет эффективным, если обучающихся владеют методической схемой построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики с элементами высшей математики.

В работе использованы следующие методы: анализ научных статей и публикаций по изучаемой теме; изучение и обобщение интернет - ресурсов; апробация полученных результатов.

Практической значимостью исследовательской данного проекта является возможность применения данного материала на уроках математики и на факультативных занятиях по математике и информатике в рамках дополнительного образования.

Перспективой для дальнейшего исследования по проблеме данного проекта является построение изображений в графическом редакторе и среде программирования Pascal ABC, и работа в этом направлении уже ведется.

Учебная дисциплина, в рамках которой проводится работа по проекту: математика и информатика.

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: биология, астрономия, физика.

Возраст обучающихся, на который рассчитан проект:15-17лет.

Тип проекта: исследовательский, творческий, практико-ориентированный

Продукт данного проекта: графики математических функции и параметрических кривых построенных в программе MS Excel, а так же фильм «Графики во круг нас через танец».

Функция – это зависимость y=f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная), x – значение аргумента (независимая переменная).

Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. Чтобы построить график функции, рассмотрим допустимое значение x и отвечающее ему значение y. Например, пусть значение x - это число a, а соответствующее ему значение y - b число. Эту пару чисел a и b изобразим на плоскости точкой с координатами (a;b). Посмотрим такие точки для всех допустимых значений x. Набор получившихся точек и есть график функции.

График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

Функция – это зависимость y=f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная), x – значение аргумента (независимая переменная).

Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. Чтобы построить график функции, рассмотрим допустимое значение x и отвечающее ему значение y. Например, пусть значение x - это число a, а соответствующее ему значение y - b число. Эту пару чисел a и b изобразим на плоскости точкой с координатами (a;b). Посмотрим такие точки для всех допустимых значений x. Набор получившихся точек и есть график функции.

График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

1. 1. Линейная функция

Функция y=k x + b называется линейной функцией. Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y = kx на b вверх, если b  0, и на |b| вниз, если b  .

Графики всех линейных функций, имеющих один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу. Графики функций, коэффициенты k₁ и k₂ которых связаны соотношением k₁k₂ = –1, перпендикулярны друг другу.

1. По двум точкам. Выберем произвольные (удобные для построения) значения абсцисс x₁ и x₂, найдем соответствующие им ординаты y₁ = k x₁ + b, y₂ = k x₂ + b. Построим на координатной плоскости точки (x₁; y₁), (x₂; y₂) и проведем через них прямую. Это и будет искомый график.

2. По пересечениям с осями. Решим уравнение y = k x + b, подставив в него сначала x₁ = 0, а затем y₂ = 0. Получим две точки (0; y₁), (x₂; 0). Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую.

1.2.Функция обратной пропорциональности

1. Рассмотрим функцию

1. Она определена при x: .

2. Значения функции также принадлежат промежутку E(x)= .

3. Функция нечетна.

4. Она не пересекает координатные оси.

5. При x  0 f (x)  0.

6. Функция убывает на промежутках (–∞; 0) и (0; +∞).

7. Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x → ∞ и x → 0 соответственно).

График функции , а также графики функций вида , называются гиперболами.

Функция вид   (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной.

Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости y= , графиком которой является прямая линия.

1. Квадратичная функция

График функции f(x) = a при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию f(x) = a :

1. Областью определения этой функции являются все x R.

2. Решив уравнение a  = 0 получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0.

3. Функция является четной (для любых  x)

4.   Ось OY является ее осью симметрии.

   Рис. 3. График функции y = ax2, a = 1  0.

5. При a  0 функция убывает на x  0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

6. При a  0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

1.4.Функция вида y=

y= , возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

=x, заменим x на y, и y на x, получим:

y= - обратная для

Свойство функции y= :

1. D(f)= ; );

2. Возрастает;

3. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

4. =0, не существует;

5. Непрерывна;

6. E(f)= ;

7. Выпукла вверх.

Рис. 4. Функция y= и y=

1.6. Зависимость вида + =

Графиком данного уравнения является окружность на координатной плоскости x Oy с центром в точке O(a;b) и радиусом r (r0).

График данного уравнения нельзя назвать графиком функции, т.к. нарушается определение функции: каждому значению x соответствует единственное значение y.

Рис. 5. Окружность.

1. 2. Построение графиков в программе MS Excel

Построение графиков функций - одна из возможностей  Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку:

В нашем случае y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

Т еперь можно приступать к созданию графика.

Выделим числовой диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у) и выполняем команду Вставка Точечная Точечная с гладкими кривыми и маркерами.

Получим график линейной функции.

2) Рассмотрим процесс построения графика квадратичной функции - параболы y=2x²-2

Параболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Зададим интервал на оси x, на котором будет строиться парабола. Например,

x [-5; 5].

З адим шаг. Чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график. Возьмём шаг h= 0,2. Заполняю столбец со значениями х, используя маркер автозаполнения  до значения х=5.

Столбец значений у рассчитывается по формуле: =2*B4^2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х.

Выбираем:

Вставка Точечная Точечная с гладкими кривыми и маркерами и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Получим:

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

1. 2. Построение графиков в программе PascalABC.Net

Построение графика функции происходит в два основных этапа: построение системы координат и, собственно, рисование самого графика. Кроме того, процесс создания системы координат тоже разбивается на несколько частей.

Для построения системы координат нам необходимо знать, в каких границах графического окна она будет находиться. Можно было бы опустить этот этап и строить декартову систему так, чтобы она занимала все графическое окно. Но это не очень удобно и просто некрасиво выглядит, когда график функции занимает всю область, не имея свободных полей слева-справа и сверху-снизу. Поэтому, чтобы задать прямоугольник, в котором будет находиться система координат, достаточно знать координаты левого верхнего и правого нижнего его углов.

Пусть (xLeft; yLeft) – координаты левого верхнего угла декартовой системы координат в графическом окне PascalABC.Net, (xRight; yRight) – соответственно координаты правого нижнего угла.

Итак, отложим по оси ОХ числа от a до b с интервалом dx, по оси OY – числа от fmin до fmax с разницей dy; причем обязательные условия: a≤0, b≥0, fmin≤0, fmax≥0. Для правильного отображения засечек на осях необходимо также, чтобы dx было делителем a и b, а dy было делителем fmin и fmax, и эти числа придется выбирать самостоятельно для каждого интервала.

График функции будем строить по точкам, используя процедуру SetPixel(x, y, c), где x, y – координаты точки в графическом окне паскаля, c – цвет точки. Для рисования осей координат ОХ и OY воспользуемся процедурой Line(x1, y1, x2, y2), где (x₁; y₁) – координаты начальной точки, (x₂; y₂) – координаты конечной.

Рассмотрим пример программы построение графика зависимости y(x)=0,4x+2sin3x на промежутке [-15;15].

Код PascalABC, PascalABC.Net

program Grafik;

uses GraphABC;

var x0, y0, x1, y1, k: integer;

x, y: real;

begin

SetWindowSize(640,400); // размер окна

x0:=320; // координаты начала отсчета

y0:=200;

line(20,y0, 620,y0); //ось абсцисс

line(x0,20, x0,380); //ось ординат

k:=20; // шаг

setPenColor(clRed); //цвет пера

x:=-15;

While xdo

begin

y:=0.4*x+2*sin(3*x); // задание функции

x1:=trunc(x0+x*k); // экранные координаты

y1:=trunc(y0-y*k);

circle(x1,y1,2);

x:=x+0.02

end;

end.

В программе можно изменить код программы задать движение окружности по заданной траектории.

Program n1;

uses GraphABC;

const R = 30;

var i, y, w, h, x: integer;

x1, mx, my, x2, p: real;

begin

p := 4 * pi;

SetWindowSize(800, 500);

W := windowwidth;

H := windowheight;

mx := W / p;

my := H / 2.5;

LockDrawing;

x2 := 0;

SetBrushColor(clRandom);

while x2

begin

SetPenColor(clGreen);

SetPenWidth(1);

Line(20, H div 2, W - 20, H div 2);

Line(20, 20, 20, H - 20);

SetPenColor(clRed);

SetPenWidth(2);

x1 := x2;

while x1 do begin

x := round(x1 * mx);

y := H div 2 - round(my * cos(2 * x1 * x1 / (x1 + 2)));

if abs(x1 - x2) then begin

Circle(x, y, R);

MoveTo(x, y);

end

else LineTo(x, y);

x1 := x1 + 0.1

end;

sleep(50);

x2 := x2 + 0.1;

redraw; ClearWindow; end; end.

Глава 3. Функции вокруг нас

x=cos3t, y=sin3t

Продукт проекта: созданный фильм.

ФИЛЬМ: Математика - Графики в жизни